勾股定理-九年级数学（人教版）原卷版

知识点01勾股定理

1.文字定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2.标准公式：在RtDABC中，口。=90。，直角边为a、b,斜边为c

a2^-b2=c2

B

（勾）

J,（股）c

3.高频变形公式

a=y/c2-b2,b=y/c2-a2,c=y!a2+b2

4.使用前提：图形必须为直角三角形，斜边为三角形最长边

5.勾股定理的证明

方法图形证明

姿

因为大正方形的边长为c,所以大正方形的面积为又大正

“赵爽弦图”方形的面积c?=（a—6）2+4x化简得a?+b2=c2

实,

C

设大正方形的面机为S,则S=".根据“出入相补，以盈补虚”

的原理，得5="+〃，所以/+//=/

刘徽“青朱出入图”友人

设梯形的面积为S,则5=加+2)3+份=/+#+时又s

加菲尔德总统拼图

=-ab+-ab+-(^=-^~\~ab,所以〃+〃=〃

2222

ba

由图①得大正方形的面积=/+4x^4

由图②得大正方形的面积=〃+b2+4x14比较两式易得

:•①b:

毕达哥拉斯拼图□

\

6b

aa

a②b

1.（25-26八年级上•山东枣庄•期末）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理

2.（25-26八年级下•山西阳泉•期中）已知，在Rt△力8C，ZC=90°,。0_1,48于0,=60。，AC=2,

求线段8c和的长.

BDA

知识点02勾股定理逆定理

1.内容：三角形三边长为4、〃、G若满足。2+块=。2,则该三角形为直角三角形，最长边C对角为直角。

2.三角形形状判定（培优拓展）：

a12^b2>c2：锐角三角形（c为最长边）

+炉=c2：直角三角形（C为最长边）

。2十炉<：钝角三角形（0为最长边）

3.核心作用：不靠角度，通过边长计算证明线段垂直、判定直角。

4.勾股定理与其逆定理的关系

定理勾股定理勾股定理的逆定理

在Rl△ABC中，/A,NB,ZC的对在△ABC中，NA,NB,NC的对边

条件

边长分别为小b,c,ZC=90°长分别为小4c,且〃+加

结论a2+b2=/△ABC为直角三角形,且NC=90。

4勾股定理---------

N(>a2+b2=(r

b\\勾股定理的逆定理------5------

；

•：

直角三角形的性质41

形.二数

—直角三角形的判定一

画

3.（25-26八年级下•北京•期中）以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是（）

A.1,1,1B.2,3,4C.3,4,6D.6,8,10

4.（25-26八年级下•江西宜春•期中）已知△A8C中，41、NB、NC所对边长分别为a、b、c,若Q、氏

c三边满足卜-9|+也-12|+卜一15|=0,试判断的形状.

知识点03勾股数

1.定义：满足勾股定理的一组正整数；一组勾股数同乘同一个正整数，仍为勾股数C

2.必背基础勾股数（考试直接用）

基础组：3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17

倍数组：6.8,10；9,12,15；9.40.41

3.通用构造公式

奇数n（n>3）:几?，咚1

偶数m(m"):m,(^)2-l,(^)2+l

5.（2526八年级上•江苏南京期中）如果满足等式M।b2=c?的小b,。是三个正整数，我们称a,b,c

为勾股数.

⑴已知m,〃是正整数且">〃,证明：a=2mn,b=m2-n2,c=M+〃?是勾股数.

（2）请写出任意一组含有68的“勾股数〃：.

知识点04数轴作无理数

构造直角边为整数的直角三角形，利用斜边长度，在数轴上画出戈、W、瓜网等无理数对应线段。

如图，当直角三角形的两条直角边长都为।时，斜边长为

V2,即/+12=（夜）2；当两条直角边长分别为1,&时，

面长为«1

1心

斜边长为百，即产+（近产=（百>；…依此类推，可以

的线段

画出长为机，V5,V6,…的线段飞

如图构造两条直角边长都是1的直角三角形，利用勾股定

理得到斜边的长为四，再用圆规截取的方法画出班在数

(5

012

轴上的对应点；构造两直角边长分别为近，1的直角三角

在数轴上

表示形，利用勾股定理得到斜边的长为近，再用圆规截取的

方法画出或在数如上的对应点，….依此规律可以在数轴

上作出表示机，V5,遍，…的点

主要应用画出长为无理数的线段，在数轴上画出我示无理数的点

6.（25-26八年级下•北京西城•期中）利用勾股定理在数轴上画出扃的点P

O

-2-1~~0~1~~2~~3~~4~~56~~7-^

题型1直角三角形边长计算（必考分类讨论）

【典例1]（24-25八年级下•广东广州•期中）若实数加、n满足|，〃一3|十薪不=0,且机、n^Rt^ABC^]

两条边长，则第二条边长是（）

A.扃B.4C.5或4D.后或4

方法技巧定直角一分边归类一公式计算一舍去负数解

【变式1-1]（25-26八年级下•安徽滁州•期中）在△ABC中,AD是高.若AB=5,AC=3,A0=2,求8C的长.

【变式1-2]（25-26八年级下•广东潮州•期中）定义：如果一个三角形存在两边的平方和等于第三边平方的

3倍，那么我们称此三角形为“三倍平方三角形〃.

⑴若一个三角形的三边长分别是3,瓜,3,这个三角形是“三倍平方三角形〃吗？请判断并说明理由.

（2）若一个直角三角形是“三倍平方三角形”，且其中一条直角边长为2,求该直角三角形的另外两条边长.

【变式1-3]（25-26八年级下•贵州遵义・期中）在A/IBC中，ZACB=90°MC=6,Afi-BC=2,动点P从点B

出发，沿射线8c以2个单位/s的速度移动，设运动的时间为/秒：

⑴求线段BC的长；

⑵当a/lBP为直角三角形时，求/的值.

题型2逆定理判定直角三角形

【典例2】（25-26八年级下•黑龙江哈尔滨•期中）由线段人b、c可以组成直角三角形的是（）

A.。=5、力=8、c=7B.a=l、/?=3、C=2\[1

C.a-3、/，-3、c-6D.a-S、b-5、c-6

方法技巧

匚三边从小到大排序；口计算最长边平方；□对比另外两边平方和，相等即为直角三角形。

【变式2-1]（24-25八年级下•广东广州•期中）已知〃、b、。为直角三角形三边，且c为斜边，八为斜边上

的高.

⑴下列说法正确的是.

A./、〃2、/能组成三角形；B.右、扬、。能组成直角三角形三边；

C.a+b、。+/?、h能组成直角三角形三边；D.，、/、（•能组成直角三角形三边.

⑵请选择一个正确选项进行证明.

【变式2-2］（25-26八年级下•四川南充・期中）如图，在△48C中，AD1BC,AD=\2,BD=\6,8=9.求:

⑴AABC的周长；

⑵判断△力BC是否是直角三角形？为什么？

题型3网格几何求值与证垂直

【典例3-1］（25-26八年级下•河北邢台•阶段检测）如图，在3x3的正方形网格中标出了和42,则Nl+N2=

B.45°C.60°D.75°

【典例3-2］（25-26八年级下•黑龙江哈尔滨•期中）如图，在3x2的正方形网格中，每个小正方形的边长为

1,点A、B、C、。都在格点上，以人为圆心，28的长为半径画弧，交CD于点E,则CE的长为

【典例3-3］（24-25八年级下•云南临沧・期末）如图，网格图中每个小正方形的边长都是1.AABC的三个

顶点都在网格段的交点上.求证：ABJ.AC.

方法技巧

网格线段横纵分格为直角边，勾股求斜边；求出三边长度，利用逆定理判定直角，证明垂直。

【变式3；】（25-26八年级下•山东滨州•期中）如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接

小正方形的三个顶点，可得到△力BC,则△48。中BC边上的高是（）

A7R2「3&2>/3

A•ZD.-C•----------nU•--------

323

【变式3-2］（25-26八年级下•辽宁葫芦岛•期中）如图，△A8C在4x4的正方形网格中，每个小正方形的边

长都为1,点。在线段力。上运动，连接3D,则线段8。的最小值为

【变式3-3］（23-24八年级下•北京•期中）如图，在4x4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1.

(1)则4s_,BC=,AC=

(2)求证:乙ABC=90°.

【变式3-4］（25-26八年级下•广西河池•期中）如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方

形的顶点称为格点，△4BC的三个顶点均位于正方形网格的格点之上.

⑴直接写出△ABC的三边长（结果应化简为最简二次根式）,BC=,AC=

（2）证明：△ABC是直角三角形.

题型4勾股定理四大经典生活应用题（期末高频）

【典例4-1］（25-26八年级下•四川德阳•期中）如图，一根直立的旗杆高8m,因刮大风旅杆从点C处折断,

顶部B着地且离旗杆底部A处4m.

⑴求旗杆从距地面多高处折断：

（2）工人在修复旗杆的过程中，发现在折断点。的下方L25m的点。处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从

点。处吹断，则距离旗杆底部周隹多大范围内有被砸伤的危险？

【典例4-2］（25-26八年级下•江西南昌•阶段检测）教材呈现：如图1,一架长为2.5m的梯子斜靠在竖直的

墙匕此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点8到墙面的距离8。为0.7m.

⑴如果将梯子底端沿OB向外移动0.8m,那么梯子顶端会沿墙40下滑多少m?求出梯子会沿墙4。下滑的距

离4C的长度；

解决问题：

（2）如图2,某物流公司仓库内有一座17m的货架力8,货架顶部安装一个高5m的装卸平台4C,现需对该平

台进行设备检修.一辆高2m的叉车在货架前点M处，展开25m的升降臂（最长25m）刚好接触到装卸平台

底部4点.叉车向货架方向行驶多少m后，其长25m的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部C点？请通过计算

后说明理由.

【典例4-3］（25-26八年级下•陕西西安♦期中）如图，某日两艘渔船4和渔船8与灯塔C的位置如图所示，其

中渔船A在灯塔C的北偏西57。方向上，与灯塔C的距离是400海里，渔船B在灯塔C的南偏西33。方向上，与

灯塔C的距离是300海里.

⑴求渔船A与渔船8之间的距离AE；

（2）若灯塔。发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船8沿<5所在直线向渔船4靠拢的过程中，BD段可

以接收到信号，4。段无法接收到信号，请你求出渔船8在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段80的

长）是多少？

【典例4-4］（25-26八年级上•河南郑州•期末）《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一

尺.引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何.大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长48为1丈

（1丈=10尺）的正方形.在水池正中央。处有一根芦苇。C,它高出水面的部分。。为1尺.如果把这根芦

苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即OC=OE.

⑴求水池的深度OD.

⑵数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法.其解法可表示为：如图，将水池

底面边长48记作2”，。为AB的中点，水的深度。。记作儿芦苇高出水面的部分CD记作〃（〃<〃），则水池

的深度〃可通过计算上“匚得到.请说明此解法的正确性.

2〃

方法技巧

1.梯子下滑模型：梯子长度固定为斜边，墙面、地面为直角边，下滑前后分别列勾股方程

2.水池芦苇模型：设水深为X,芦苇长=x+高出长度，水池半宽为直角边，列方程：x2+池宽2=Q+九）2

3.旗杆折断模型：折断上段为斜边，剩余杆长、地面落点距离为直角边

4.方位航海模型：南北、东西方向垂直，直接构造直角三角形求解边长、距离

【变式4-1]（25-26八年级下•广西北海•期中）消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到

25米，消防车高4米，如图2,某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云

梯伸长至最长，此时消防车的位置4与楼房的距离04为15米.

图I图2

⑴求8处与地面的距离.

⑵完成R处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的。处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩,

消防车从4处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？

【变式4-2]（25-26八年级上•江苏泰州•阶段检测）如图，一根直立的旗杆高9m,因刮大风，旗杆从点。

处折断，顶部8着地，且离旗杆底部A的距离为3m.

⑴求旗杆在距地面多高处折断;

⑵在折断点C的下方1m的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗

杆底部5m处是否有被砸到的风险？

【变式4-3］（25-26八年级下•重庆•期中）在海平面上有A,B,C三个标记点，C为灯塔，港口人在灯塔C

的北偏西55。方向上，港口A与灯塔C的距离是80海里；港口B在灯塔。的南偏西35。方向上，港口B与

灯塔。的距离是60海里,一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时.

A

R

⑴货船从港口A航行到港口8需要多少时间.

（2）为了保障航行的安全，。处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为50海里，这艘货船在由港

口A向港口8运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行

安全标准.请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？

题型5图形折叠求值（中考高频）

【典例5］（25-26八年级下•内蒙古呼和浩特•期中）如图，丑少灰：中，AB=8,BC=6,ZF=90°,M,

N分别是边AC,48上的两个动点.将沿直线MN折叠，使得点力的对应点。落在边8C的三等分点处,

则线段BN的长为（）

15„15„5

A.3B.—C.3或一D.3或一

443

方法技巧

L找等量：折叠前后对应边、对立角完全相等；

2.设未知数：设所求边长为X,剩余边长用含X代数式表示；

3.构直角：锁定直角三角形，列勾股方程解方程。

【变式5-1］（25-26八年级下•黑龙江哈尔滨•阶段检测）如图，在△ABC中，=90°,AB=4,BC=8,

将A48C折叠，使点C与点八重合，折痕为则BE=

【变式5-2］（25-26八年级下•福建南平期中）如图，长方形纸片ABCD中，沿4C折叠，使点B落在点E处,

CE交AD于点F,AB=4,BC=6.

（1）证明：AF=CF；

⑵求小F的长.

【变式5-3］（25-26八年级下•山西阳泉•阶段检测）综合与探究

问题情境：如图1，在AABC纸片中，乙48c=90。，点。是边8c上的一个动点，连接A。，将△A8C沿AO

折叠，得到△A。。’，点。的对应点为C'.

图1图2备用图

操作计算：

⑴如图2,当点U落在力B的延长线上时，80=3,8=5.

①求线段C'S的长.

②求线段旗与4。的长.

⑵连接BC',CC,若AB=6,AC=4"，当△8CO是以8。为一条直角边的直角三角形时,，请直接写出

的值.

题型6最短路径

【典例6-1］（25-26八年级下•青海西宁•期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、

3dm、2dm,力和B是这个台阶上两个相对的端点，点力处有一只蚂蚁，想到点8处去吃可口的食物，则蚂蚁

沿着台阶面爬行到点8的最短路程是（）

B

A.20B.24C.25D.35

【典例6-2］（25-26八年级下•北京•期中）如图，有一个圆柱体，一只蚂蚁从圆柱体下底面边缘处的点A出

发,沿着圆柱体的侧面爬行到与点4相对的上底面边缘处的点8,圆柱体的底面周长是24厘米，圆柱体

的高是5厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为（）

A.13厘米B.17厘米

12

C.（5+—）厘米D.5厘米

7V

【典例6-3］（25-26八年级卜.•安徽蚌埠•期中）综合与实践

【项目主题】

几何模型在最短路径问题中的应用

【项目准备】

求代数式77方+J（12-%丫+22的最小值,V?三可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，

J（12-X）+22是直角边分别是12-x和2的直角三角形的斜边.因此，构造两个直角三角形，使它们的一

个顶点重合、各有一条百角功在同一直线上（如图1所示），这时AC=.r+12-x=12,AB=3,8=2.原

问胭就变成"点E在线段BC的何处时，AE+OE的值最小？〃

解决方法：如图2,连接AD,交于点£,此时当点E与点E重合时，A£+O£的值最小，依据为

®,将48延长至点凡使得BF=（2）（填线段）,连接DF,则八尸=A4+8/=3+2=5,

BC=DF=12,易求得A"=③,即4E+OE的最小值为/W的长.

⑴请将上述材料中横线上所缺内容补充完整：

①；②；③.

【项目应用】

⑵如图3,一条河的两岸平行，河宽5km,A村庄到河岸的垂直距离为2km,B村庄到河岸的垂直距离为

3km,且A,B之间的水平距离为12km.现计划在河上建一座垂直于河岸的桥PQ,使得从A到B的路程最

短，求出这个最短路程的长.

方法技巧

L平面最短：两点之间线段最短，结合将军饮马轴对称作图，勾股求值

2.立体最短（圆柱、长方体）：展开立体图形为平面长方形，连线求斜边最小值

【变式6-1]（25-26八年级下•青海西宁•期中）如图，一只蚂蚁处在正方体的一个顶点A处，它想爬到顶点

B处寻找食物，若这个正方体的边长为1,则这只蚂蚁所爬行的最短路程为.

【变式6-2]（25-26八年级下•北京•期中）如图1,一圆柱的底面半径为5cm,KC是底面直径，高48为5cm,

求一只蚂蚁从点力出发沿圆柱表面爬行到点。（点力与点。正对）的最短路线，小明设计了两条路线.

沿AB剪

开摊平

图1图2

路线1：侧面展开图中的线段/C,如图2所示.

设路线1的长度为4,则=AC2=AB2+BC-=52+(5万『=25+25/.

路线2：高线A5+底面直径8c.

设路线2的长度为5则片=(5+10『=225.

为比较的大小，采用"作差法"：

因为/：-/；=25(/一8)>(),所以所以《乂，所以小明认为路线2较短.

⑴小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成“圆柱的底面半径为1cm，高为5cm〃.请你用上述方法

帮小亮比较出4与的大小.

⑵请你帮他们继续研究：在一般情况下，若圆柱的底面半径为，cm,高为〃cm.蚂蚁从点力出发沿圆柱表

面爬行到点C,当:满足什么条件时，路线2较短？请说明理由.

h

【变式6-3](25-26八年级卜・河南许吕・期中)【模型建立】“数形结合"和“建模思想”是数学中的两个很重

要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题.

例：求代数式7773+“27)2+22的最小值.

分析：仔和J(12-X)2+22很容易让人联想到利用勾股定理求直角三角形第三边的情形,可以用

“必手”表示直角边分别是』、3的直角三角形的斜边的长，用“J(I2-X)2+22〃表示直角边分别是(2-此、

2的直角三角形的斜边的长，基于以上联想，我们构造两个这样的直角和并使直角边BC和“

在同一直线上(图1),向右平移直角△力反;使点B和E重合(图2),这时C/=x+12—x=12,AC=3,。尸=2,

问题就变成“点8在线段CF的何处时，48+08最短？”

图1图2图3釜用图

⑴根据：两点之间，得到：线段4。就是钻+03的最小值，如图3连接AD,延长AC至，，使

CH=FD=2,连接〃£>,可证：四边形C”Q/是矩形，AH=,DH=，在Rl^AHD

中，由勾股定理可求得4。的长，V?寿+427)2+2?的最小值是.

【模型应用】

(2)代数式77M+1(5—X)2+1的最小值是.

【模型拓展】

⑶根据以上学习，结合备用图解决问题：已知正数%满足而二？+疯=7=10,求％的值.

题型7勾股树面积

【典例7.1】（25-26八年级下•广东汕头•阶段检测）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是

正方形.已知正方形4B,C,。的面积分别是12,16,9,12,则正方形E的边长为.

【奥例7-2］（25-26八年级下•全国•课后作业）解答：

毕达哥拉斯树，也叫“勾股树〃.是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树

形图形，因为重复数次后的形状好似•棵树，被称为毕达哥拉斯树.

经过小组讨论，制定了如下规则:

1.画出不同类型三角形形成的树形图;

素材二

2.所画的基础三角形周长为8cm,其中一条边长固定为2cm,根据规则，三位同学分别画出

了不同类型的树形图并进行探究.

素材三

类型①类型③

S,

⑴小明画出类型①锐角△48C,AB=AC,BC=2cm,则”=

⑵小金画出了类型②直角△DEGZDFE=90°,EF=2cm,计算S3-邑的值:

⑶小山画出了类型③钝角AG"/,ZGIH=120°,HI=2cm,计算'-S?的值.

方法技巧

以直角三角形三边向外作正方形、半圆、等边三角形，直角边上图形面积之和二斜边上图形面积。

【变式7-1］（25-26八年级下•黑龙江哈尔滨•期中）如图，有一个面积为1的正方形，经过一次“生长〃后，

在它的左右肩上“生长〃出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长〃

后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长〃下去，它将变得"枝繁叶茂"，“生长”了2025次后形成的图

形中所有的正方形的面积和是（）

B.2024C.2025D.2026

【变式7-2］（25-26八年级下•广东深圳•期中）"勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该

直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图依次是第一代勾股树、

第二代勾股树、第三代勾股树，以此类推，如果第一个正方形面积为1,则第2026代勾股树中所有正方形

的面积和为.

第一代勾股树第二代勾股树第三代勾股树

【变式7-3】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周

髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦

图"（如图1）,后人称之为“赵爽弦图〃，流传至今.

⑴①请叙述勾股定理：

②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理;

（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）

⑵①如图4、5、6,以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个

图形中面积关系满足S+S?=$3的有个;

Si，52,直角三角形面积为§3,请判断Si，S2,S3的关系并证明；

⑶如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这

一过程就可以得到如图8所示的“勾股树〃•在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为

定值加，四个小正方形4B,C,。的边长分别为。，b,c,d,已知Nl=N2=N3=Na,则当Na变化

时，回答下列问题：（结果可■用含〃?的式子表示）

则：a2+b2+c2+d2=:

图8图9

题型1长方体最短路径

【典例1】（25-26八年级下•四川自贡•期中）如图,一只蚂蚁要沿长为15,宽为10,高为20的长方体表面

从顶点4爬到上表面的边上的点B处，点B离点。的距离为5,蚂蚁爬行的最短距离是（）

A.25B.5回C.5>/37D.35

【变式1-1］（25-26八年级下•黑龙江齐齐哈尔•期中）如图，棱柱的底面是边长为4的正方形，侧面都是长

为8的长方形，点。是8c的中点，在棱柱下底面的4点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点。处的食物，需要

爬行的最短路程是s,则s的值为

【变式1-2］（25-26八年级上•安徽宿州•阶段检测）如图，长方体的长、宽、高分别为2,4,3,4。为长

方体的两个顶点.

⑴求点4到点。之间的距离；

⑵若一只蚂蚁从长方体表面的点人爬到点D，求爬行的最短路程.

【变式1-3]（24-25八年级下•山东德州•阶段检测）叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设计了

以下问题.请你根据下面所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）.

5

①②③

⑴如图①，正方体的棱长为5cm,一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点G处；

（2）如图②，长方体的长和宽都为5cm,高为6cm,一只蚂蚁从长方体底面上的点A处沿着长方体表面爬到

点G处；

⑶如图③，长方体的长、宽、高分别是6cm、5cm和3cm，一只蚂蚁要从顶点A处沿着长方体的表面爬

到长方体上和力相对的顶点8处.

题型2动点直角三角形存在性压轴

【典例2】（25-26八年级下•河北廊坊•阶段检测）嘉嘉在电脑上设计了一款“寻宝〃游戏.在的某一边

上有一处宝藏0,已知AB=6cm,BC=8c〃?，AC=1Ocm.

图I图2图3

⑴如图1,探险者P从点4处出发，沿AB寻宝，探险者Q从点C出发，沿CB寻宝，他们同时出发匀速运动，

在点B处首次相遇.设P的速度为acm/s,则Q的速度可以表示为cm/s（用含a的代数式表示）；

（2）探险者P,Q在点8相遇后，并没有寻到宝藏，然后他们又同时出发，探险者P沿BfC-4的路径寻宝，

速度每秒提高了2°〃.探险者Q保持原速度不变，沿8fAfC的路径寻宝.结果他们同时到达了4C边上

的宝薇点。处，如图2所示.此时藏宝点。处距离A处2夕〃，则a的值为；

⑶在（2）的条件下，探险者尸、Q在B处首次相遇后，探险者Q发现一条与力。垂直的小路8E,如图3所示，

他选择从点8出发，沿8-Er。的路径寻宝，速度降为自身速度的|.判断P能否与Q同时到达藏宝点。处,

并说明理由.

【变式2-1](25-26八年级下•四川成都•期中)如图,已知在直角△48C中，Z.ABC=90°,E为AC边上一点,

连接BE,过E作EO_LAC,交BC边于点D.

图1图2图3

(1)如图1,连接力。，若CE=4,RD=6叵,LC=45°,求△ADE的面积；

(2)如图2,作NA8C的角平分线交AC于点F,连接DF,若/BDE=/CDF,求证：AE+DE=^BE;

(3)如图3,若NC=3O。，将ZkBCE沿BE折叠,得到△8EF,且8F与47交于点G,连接49,DF,点E在AC边

上运动的过程中，当〃"_ZAC时，请求出”的值.

AD

【变式2-2](25-26八年级下•山东济南•期中)如图，A/IBC中，ZC=90°,48=5,BC=3,若动点夕

从点C开始，按C-Af8的路径运动，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为/秒.

A

⑴当点户在线段4c上运动，£=秒时，点P到力B的距离与点。到8C的距离相等；

(2)若/CP是以P8为腰的等腰三角形，求/的值；

⑶另有一点Q，从点C开始，按CfBfAfC的路径运动，且速度为每秒1个单位长度，若P,。两点

同时出发，当P,。中有一点到达终点时，另一点也停止运动.当/为何值时，P,Q两点之间的距高为石？

请直接写出答案.

【变式2-3]（25-26八年级下•广东惠州•期中）如图，在△力BC中，18=6,cm,BC-8cm,AC=10cm,

动点P从点B出发，沿着a/lBC的三条边逆时针走一圈，回到点B后停止，速度为2cm/s,设运动时间为£秒.

备用图

⑴证明：△48C是直角三角形；

⑵若44BP是以力B为腰的等腰三角形，求£的值；

⑶另有一动点Q，从点8开始，按顺时针方向走一圈回到点氏且速度为lern/s.若P、Q两点同时出发，当

其中•个点到达终点时，另•个点也停止运动.请亶按可中当£为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等

的两部分.

题型3线段平方关系证明培优

【典例3]（25-26八年级下•黑龙江大庆•阶段检测）对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所

示的“垂美〃四边形为BCD,对角线4C,8D交于点O.

BC

(1)若AO=2,130=3,CO=4,DO=5,请求出AS?，BC2.CD2,DM的值;

⑵若AB=6,8=10,求8。2+八°2的值

【变式3-1］（24-25八年级下•陕西西安・期中）问题提出

（1）如图1,在△A8C中，ADLBC.若A8=5,BD=3,CD=6,则AC=

问题探究

（2）如图2,在四边形48。。中，对角线力C,BD交于点、O,且/CJL80.

求证：BC2+AD2^AB2+CD2.

问鹿解决

（3）如图3,△ABC是某小区的局部示意图，其中N8=90。，仞=600米，AD,DE是两条小道，D为8c的

中点，OE/AC于点E.该小区物业计划在4c的下方修一条骑行小道4F,且满足£F=EC,4庄=900.请

根据上述条件，求骑行小道4户的长.

图I图3

【变式3-2］（24-25八年级上•黑龙江大庆•期中）己知，如图①，在中，CA=CB,。为斜边49的

中点，OROE分别交力。于点。，交BC于点、E,RZDOE=90°,连接。

⑴下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②△4BC的面积等于四边形CQOE的面积的2倍・；（3）

CD+CE=—AB,其中正确的结论有______（填序号）；

2

（2）求证：AD2+BE2=DE2i

⑶如图②题目中的条件&4=CB改为6<8,其余条件不变，则（2）中的结论A£>2+8£：2=0炉还能成立

吗？若成立请证明，若不成立请说明理由.

【变式3-3]（25-26八年级下•安徽淮南•期中）如图1,在AABC和aCDE中，已知AC=8C=CO=OE,

4C8=NCOE=90。，CD,CE分别交48于点M,N.

（1）如图2,作△ACF/4BCN,连接FM,求证：ACMFmACMN；

⑵改变△CDE的位置；

①如图2,在（1）的条件下，当点M,N在4B上（不与点力，B重合）时，求证：AM、BN2=MN?;

②如图3,当点M在AB上，点N在48的延长线上时•，①中的结论是否仍然成立？请说明理由.

题型4矩形折叠压轴固定模型

【典例4】（25-26八年级上•江苏无锡•期中）我们知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角,

即：如图1,在长方形48co中，ZA=Z4BC=ZC=ZAOC=90°,AB=CO,AO=BC,ABIICO,

AO//BC.将长方形O48C沿。8翻折，点4的对应点为O,OD与BC交于点E,OC=4,BC=8.

⑴求CE的长；

（2）A80E的面积为:

⑶如图2,点。从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着。川句终点A运动，设点P运动的时间为/秒.当

△QPE是等腰三角形时，求符合条件的，的值；

【变式4-1］（25-26八年级下•湖南郴州•期中）如图1,在长方形纸片FBCD中,

NB=NC=ND=90,AB=CD=6,8C=AO=8,点P是线段8c上的动点，连接4P，A4QP是由△48P沿

AP翻折所得到的图形.

图1图2图3图4

⑴如图2,连接力C,当点Q落在AC上时，QC的长.

⑵如图3,点M是DC的中点，连接AM,当点Q落在AM上时，求BP的长.

⑶如图4,点M是0C的中点，连接MP,"Q,求MQ的最小值.

【变式4-2］（25-26八年级上•福建漳州•阶段检测）如图，在长方形ABC。中，AB=CD=\O,BC=AD=6.

D'A'

图①图②图③

⑴如图①，将长方形力沿EF翻折，使点4与点C重合，点D落在点。'处，求8户的长；

（2）如图②，将△力8。沿8。翻折，若A8交。。于点E,求△BDE的面积：

⑶如图③，，尸为/W边上的一点，将△48P沿8P翻折得到△A'BP,A'B,4尸分别交CO边于点E,F,且

DF=A'F,求CE的长.

【变式4-3］（25-26八年级上•江苏常州•期中）在四边形力BCD中，ZA=ZB=ZC=ZD=90°,AB=CD=\O,

BC=AD=S.

⑴如图（1）,P为边8c上一点，将AABP沿直线4P翻折至△AEQ的位置（点B落在点E处）.

①如图（2）,当点E落在边CD上时，利用尺规作图，在图（2）中作出折痕力P,画出△AEP,（不写做法,

保留作图痕迹）并直接写出此时。E=.

②在①的条件下，求8P的长.

⑶已知IQ为射线DC上的一个动点，将△AOQ沿直线4Q翻折，点。落在直线BQ上的点。处，求。。的长.

一、单选题

1.（2025•安徽•中考真题）如图，在△力BC中，4=120。，AB=AC,边AC的中点为。，边BC上的点E

满足ED_LAC.若DE=百,则4c的长是（）

A

D

BEC

A.4GB.6C.2x/3D.3

2.（2025•山东东营•中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置.4处摆绳。4与地面垂直，摆绳长2m,

向荡起到最高点8处时距地面高度L3m,摆动水平距离3。为L6m,然后向后摆到最高