2025-2026学年湖北省武汉市某中学高一（下）期末数学试卷（含简略答案）

2025-2026学年湖北省武汉市外国语学校高一（下）期末数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.若复数z=i+2F,则£的虚部为（）

A.-iB.iC.-1D.1

2.已知一组数据修，0，…，Xn的平均数为，则数据2勺十3,2&十3,…，2/十3的平均数为（）

A.2xB.2x+3C.4xD.4x+3

3.图1为元代醛器白地褐彩龙凤纹罐，高约为30cm,把该宽器看作两个

相同的圆台拼接而成，如图2.圆台的上底直径约为20cm,下底直径约为

40cm,忽略其壁厚，则该瓷器的容积约为（）

A.42007TC7H3B.7000工

C.840071cm3D.140007rcm3

4.在△48C中，而=；四，点E是CD的中点.设乙？=五，CB=b,则屈=（）

A.+B.^a+^bC.D."五十:”

5.已知t即。=一2,则竺竺铲丫的值（）

cos2a''

A.2B.-2C.3D.-3

6.柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出两只，则取出的鞋成双的概率为（）

A.qB,-C.-D.g

7.在锐角△力BC中，角4,B,C的对边分别为Q,b,c,且JIc=2bs出C,AC=g则△4BC周长的取

值范围是（）

A.（2<3,3/3]B.（3+俱,373]C.（2+41,4aD.（2+73,3d

8.G,b为异面直线，且a,b所成角为60。，过空间一点P作直线c,直线c与a,b均异面，且所成角均为仇

若这样的c共有四条，则。的范围为（）

A.0°<0<30°B.30。V9V60°C.60°<0<90°D.30°<0<90°

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.在△48C中，角4B,C所对的边分别是a,b,c,下列命题正确的是（）

A.若力=30。，b=4,a=3,则△ABC恰有1解

B.若/一接=儿，则4=28

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C.若sin24=sE2B,则44BC是等腰三角形

D.P是△4BC所在平面上一点，若可•丽=丽•亚=无.瓦5,则P是△48C的垂心

10.在一个有限样本空间中，事件4,B,C发生的概率满足。(4)=P(B)=P(C)='则下列说法正确的是

()

A.若4与8相互独立，则P(4+B)=。

B.若4与C互斥，则PG4Z)=5

C.若尸(4+F)=则0(48+/1B)=1

rp

D.若P(4U8)=W，4与。互斥，则P(力UBuGWg

11.长方体48co-力i/gDi中，AB=4,AD=2,441=2,若£为棱A8中点，A[F=AA^,经

过C,E,尸三点的平面将已知长方体分成两部分，则()

A.当A=1时，平面CE尸截长方体所得截面多边形为四边形

B.当4=1时，体积较小的部分对应几何体内部可放进一个半径为耍的小球

C.当入=：时，截面与平面ABCD所成二面角的正弦值为?

口.当2=”寸，截面分长方体所得两部分中，体积较小部分与体积较大部分的体积之比为55：89

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知％,y都是正数，若％+2y=2,贝ky的最大值是.

13.在棱长为2的正方体力BCD-Ai/CiDi中，P在8%上，Q在BC上，则。产+尸。的最小值为一.

14.设集合"={2025,2026,2027},N={2026,2027),从所有函数f：M->N中随机选取一个，则f满足函

数下=f(f(%))为常函数的概率为一.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知平面向量高b,K且卜=(-1,2),b=(3,1).

(1)求力在石方向的投影向量的坐标；

(2)般/伍，旦同=3=，求向量Z的坐标.

16.(本小题15分)

某学校开展人工智能科普与创新实践素养测评活动，着力培养学生科创思维与综合实践能力.信息中心从本

次测评全部试卷中随机抽取100份答卷作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均不低于40分)分成

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六组：[40,50),[50,60),[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.

(1)由频率分布直方图，求出图中Q的值，并估计样本成绩的第75百分位数；

(2)已知落在[50,60)的平均成绩是58,方差是9,落在[60,70)的平均成绩为64,方差是6,求两组成绩合

并后的平均数万n方差s2.

【附：设两组数据的样本量，样本平均数和样本方差分别为：m，xi,n,x2,s§,记两组数据总体的

样本平均数为一则总体样本方差八岛

W回+（丫1-W）?]+诉K+（丫2-W）?]]

17.(本小题15分)

如图，在三棱柱力BC-481G中，平面441GC1平面力BC,四边形A41GC是边长为2的菱形，Z.AXAC=

60c,AC1BC,D,E分别是棱BBi，的中点.

(1)证明：DE〃平面为BC：

(2)求直线08与平面48c所成角的正弦值.

注：本题仅限纯几何法作答，建立空间直角坐标系解题不F计分.

18.(本小题17分)

在非直角三角形48C中，角4B,C的对边分别为a,b,c.

（1）若a+b=2c,且C=%判断△力BC的形状:

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(2)若Q+匕=3c,△48。的内切圆半径为r,外接圆半径为R.

①求cosC的最小值；

(ii)求5的最大值.

A

19.(本小题17分)

如图，现有边长为4cm的正方形线片4BCD,E,r分别为线段BC,CD上的动点，AH=AAD,AG=AAB,

CE=HCB,CF=1.1CD,将△4GH沿”G折起，△CEF沿四折起，使得点力与点C重合于点P.

(1)当4=〃=亨时，

(i)求二面角P-GH-E的余弦值；

(〃)求六楂锥P-8EFDHG的体积：

(2)当4£(0,1),〃€弓怖］时，若二面角P-EF-8的大小为120。，求四棱锥尸一B。/咕外接球表面积的最

大信.

注：本题仅限纯儿何法作答，建立空间直角坐标系解题不予计分.

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1.【答案】c

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】BD

10.【答案】ACD

11.【答案】ARD

12.【答案】

13.【答案】2+V2

14.【答案】

15.【答案】

(-3,6)或(3,-6)

16.【答案】a=0.03；84

z=62,s2=15

17.【答案】取CCi的中点F,连接E兄DF,

因为D，E分别是棱BBi，4G的中点，

所以。///BC,EF"A\C,

又QEF="，BCC\AXC=C,DF、EFu平面DEF,BC、4]Cu平面

所以平面DEF//平面48C,

而DEu平面0