2026届高三数学一轮复习讲义：二项式定理

二项式定理

【课标要求】能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的

简单问题.

■落实主干知识.

1.二项式定理

二项式定理（a+6）〃=C%"+Cia""1・・・+C+C〃（〃七N*）

二项展开式的通项八+Ma”它表示展开式的第R1项

二项式系数C伙=0，1，…，〃）

2.二项式系数的性质

（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.

⑵增减性与最大值：

①当仁号T、f,C随k的增加而增大；由对称性知，当■时，C随左的增加而减生

-1+1

②当丹是偶数时，中间的一项《■取得最大值；当〃是奇数时，中间的两项C■?与C■?相等，且同时取得

最大值.

（3）各二项式系数的利：S+6）”的展开式的各二项式系数的和为c°+Ci+C2+…+C=空

M自主诊断

1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打或"X”）

（1）C〃“方是5+份〃的展开式中的第立项.（X）

（2）（"/犷的展开式中每一项的二项式系数与明〃无关（Y）

（3）二项展开式中系数的最大项就呈二项式系数的最大项.（X）

（4）二项展开式项的系数是先增后减的.（X）

2.（2024•浙江省G5联盟联考）在2一2）6的展开式中，第4项为（）

A.240B.-240C.160x3D.-160x3

答案D

解析由题意知，2一,展开式的通项为工工26--B=G2）&X12-3A

t

令人3,得7>(・2)3C/，X3=]60M即第4项为-16(h4

3•若+W)展开式中只有第7项的二项式系数最大，则〃等于()

A.9B.IOC.llD.12

答案D

解析由+4)的展开式中只有第7项的二项式系数最大，得展开式共有13项，所以〃=12.

4.在二项式-W)的展开式中二项式系数的和是32,则展开式中各项系数的和为

答案-1

解析因为二项式系数的和为2』32,所以〃=5.

令-1,可得各项系数的和为(1-2)占1.

M微点提醒

1.二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第〃+1项.

2.牢记一个注意点：5+份〃与(6+0〃虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的

第一个量。与第二个量b的位置不能颠倒.

3.理清二项式系数与项的系数的区别.

；---------------------------探究核心题型---------------------------；

题型一通项公式的应用

命题点1形如(〃+/))"(〃£N*)的展开式的特定项

例1(多选)已知2一3)的展开式中第3项与笫5项的系数之比为3：14,则下列结论成立的是

()

A./i=10

B.展开式中的常数项为45

C.含/的项的系数为210

D.展开式中的有理项有5项

答案ABC

解析二项展开式的通项为

7ki=C号

2

=(-1比-Tz

由于第3项与第5项的系数之比为3：14,

则言，

3IUE214

―1x2x3xZ-

得〃2-5〃-50=0,解得〃=10(负值舍去)，故A正确；

A

则^!=(-l)C102°与，

令20?0,解得48,

则展开式中的常数项为(-l»C?o=45,故B正确；

令20号=5,解得七6,

则含/的项的系数为(-1)6*0=210,故C正确；

令205"，则k为偶数,

此时上0,2,4,6,8,10,故有6项为有理项，故D错误.

命题点2形如m+6)"'(c+")〃(〃[，"UN)的展开式问题

例2在(犬+2)一1)的展开式中，常数项为(请用数字作答)

答案-46

解析二项式-I,展开式的通项公式为/-1=毋6"」)=(-1)。＜咒kGN,kW6,由6-2E)或6-2人

4,得Q3或依5,

所以展开式的常数项为2X(一1)30(一1)5卷=_46.

■微拓展--------------------------------------------------------------------------------------

破解二项展开式问题

求三项展开式中某些指定的项，常常利用这几种方法：

(1)两项看成一项，利用二项式定理展开.

⑵因式分解，转化为两个二项式再求解.

(3)看作多个因式的乘积，用组合的知识解答.

典例(1)(32+2+1)1。的展开式中，含小的项的系数为.

答案210

解析因为(32+2+1)10=[32+(2+1)]i°=qo(3/y°+C|o(3x2)9(2x+l)+Go(3/)8(2x+l)2+

…+c%(3/)g+1y+q8(2.什"。，

所以含有r的项为GO3X2.鸟19+q8W0(2x)218=21Ox2

所以(32+2+1)1。的展开式中，含炉的项的系数为210.

(2)(1+2-3分5的展开式中含炉的项的系数为.

答案92

5

解析将1+2-3z5看作5个因式l+2x-3f的乘积，这5个因式乘积的展开式中形成x的来源有：

①5个因式各出一个2x,这样的方式有百种，对应的项为备(2针；

②有3个因式各出一个2x,有1个因式出一个-3f,剩余1个因式出一个1,这样的方式有碍©种，对应的

项为髭(2x呢(_3r)；

③有I个因式出一个2x,2个因式各出一个-3f,剩余2个因式各出一个1,这样的方式有弓鬣种，对应的

项为禺X2YX*X(-3/)2；

所以含用的项的系数为aX25+C|X23XC1X(-3)+C(X2XBX(-3产92.

思维升华(1)求二项展开式中的问题，T殳是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为

零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数什1,代回通项即可.

⑵对于几个多项式积的展开式中的问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适

当地运用分类方法，以免重复或遗漏.

一\9

跟踪训练1(1)(多选)关于2一£)的展开式中，下列结论错误的有()

A.展开式中含；项的系数为-128

B.第5项和第6项的二项式系数相等

C.展开式中的常数项是第7项

D.展开式中的有理项共三项

答案AD

解析二项式2一)展开式的通项小尸C92"=(-2)(/居+攵EN,攵W9.由18-3H3,即47,

得7H・2)7日炉，展开式中含［项的系数为-128CJ,A错误；

展开式共10项，则第5项和第6项的二项式系数相等，B正确；

由18-3Q0,即Q6,得展开式中的常数项是第7项，C正确；

由18-32为整数，kGN,氏9可知有理项共有10项,D错误.

(2)已知(QX-1)(2X+1)6的展开式中丁的系数为48,则实数。等于()

A.2B.lC.-lD.-2

答案B

解析二项式(Zr+1卜的展开式通项T>I=C6(2丫产•心《6-26'k-x6'k.

45

(ax-l)(2x+l)6=a«2x+l)6-(2x+l)6的展开式中，好的系数为t/c1-2-C1-2=15X16r/-6X32=48,解得。=1.

题型二二项式系数与项的系数的问题

命题点1二项式系数和与系数和

例3⑴（多选）（2025•福州模拟）已知（l-2x）9=4o+aix+w2+...+a优9,则（）

A.£7O=1

B.ai=18

C.m+a2+…+。9=-1

1+39

DM+43+45+47+49=-2

答案AD

解析令x=0,得(1-2X0)9=00=1,所以A正确；

囚为展开式中④代表一次项系数，所以(1办)”的展开式中含有一次项福似-2.»=-18.丫，可得勿=・18,所以

B错误；

令X=l,即可得(1-2)9=40+0+02+…+。9=-1,①

则。1+。2+…+〃9=-1-。0=-2,所以C错误；

令X=-l,得(1+2)9=40-。|+。2-。3+…-69=39,②

①.②得2⑷+。3+。5+。7+。9)=-(1+3。),得.+的+的+乃+所"'^^,所以D正确.

20242

(2)(多选)已知(1-2x)2025=40+4ix+a2X2+..・十G024.V+t?2O25X°?’，则()

A.展开式中二项式系数和为1

B.展开式中所有项的系数和为-1

口.。1+2。2+3。3+…+2024。2。24+2025。2。25=-4050

答案BCD

解析二项展开式中的二项式系数和为22必，故A错误；

令％=1,可得(1-2)2侬=40+0+。2+・・叶42024+。2025=-1,即展开式中所有项的系数和为・1,故B正确;

丁025%十/贷…+线+量=0,所以

令尸0,可得的=1,令尸发可得1一2x

宜/•考•・•+滑声-1，故C正确；

将等式(1-2x)2。25=的+。武+。2》2+…+s024X2024+a202〃必两边同时求导可得,

2025X（-2）X（1-2x）2g=口,।2sx।i-i2024a,以谭onI2025a；02M（心,

再令x=\,可得。1+2〃2,3。3+…+2024s024+2025。2025=-4050,故D正确.

命题点2系数与二项式系数的最值

例4(2024•全国甲卷改编)若0+的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则各项系数中的最大

值为_____________

答案5

解析因为0+的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以展开式有11项,

故〃=10,

所以展开式通项公式为加i=C10停j°0WAW10且攵£Z,

C⑶0C-(旷，

设展开式中第什I项系数最大，则|°匕，

C10(3)口51(¥一，

螂

导

又kWZ,故Q8,

所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为C；OQ2=5.

思维升华⑴赋值法的应用

一般地，对于多项式他+6尸如+小卢侬:+…+⑶必令欧彳)=5+沃)〃，则5+W)"的展开式中各项的系数和为

第I),(a+bx)"的展开式中奇数项的系数和为3g(1)+g(-1)],(a+bx)”的展开式中偶数项的系数和为3g(1)-g(-1)].

⑵二项展开式系数最大项的求法

如求(肝辰)〃(右6£R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为4,

生，…，4+1,且第4项系数最大，应用°t从而解得〃.

u+1，

跟踪训练2(1)(多选)(2024・临沂模拟)在。-24的展开式中，下列说法正确的是()

A.常数项是24

B.所有项的系数的和为1

C.第3项的二项式系数最大

D.第4项的系数最大

答案ABC

解析依题意，(--2=4rV24-32x2+1

常数项是24,A正确；

当时，所有项系数的和为(1-2XI>=1,B正确；

(--2”的展开式共5项，所以第3项的二项式系数Q最大，C正确；

展开式第4项的系数为-32,最小，D错误.

(2)(多选)已知(2x-5)9=a(>+ai(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3+…+〃9(x-2)9,则下列结论成立的是()

A.tzo=-1

8。1+。2+~+。9=1

C.ao-41+〃2-。3+…-49=3"

D.m+2a2+3s+…+9。9=18

答案AD

解析设X-2=Z,原式为(2h1)9=的+°］什为+。32+…+。9汽令片0,得。0=・1,A正确;

令片1,得。0+。1+。2+…+。9=1,所以0+。2+…+。9=2,B错误；

令片・1,则(-3)9=40-。1+。2-的+…・。9,所以。0-。1+。2・。3+…-。9=-39,C错误；

两边同时求导得18(23)8=。1+2。2什3〃3尸十…+9。9产，再令片1,得s+2a2+3。3十…+9硒=18,D正确.

题型三二项式定理的综合应用

例5⑴(2025•南通模拟)0.995的计算结果精确到0.00］的近似值是

答案0.951

解析由0.995=(1-0.01户Cg•1&00l+C10.012・踊0.013+C^0.014-C10.015=1-0.05+0.001-0.00001+C10.014-

盘0.01注0.951.

(2)(2024•重庆九龙坡期中)已知a=l+C%2+C知22+4-23+…+C翁22。，则。被10除所得的余数

为____________

答案1

解析ax%・2。+1・2+C牙2斗4◎+…+嚼吗1+2严=32。，

a=32°=9i°=(lO-l)i°=lOQC；oXi()9+C：oXIO'-…-1乂10+1

9

=IO(1O-C}oxlO'+QoX10。…-C；o)+1,

所以。被10除所得的余数为1.

思维升华二项式定理应用的题型及解法

⑴在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式(数)的因

式.

⑵二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当〃不是很大，限小时，(1十斤F+〃工

跟踪训练3设a£Z,且0W〃vl3,若512。26+。能被於整除，贝U。=.

答案12

025

解析因为512。26+―(52-1)2°26+4=1026依必(；(^6”+C1026即叫…避025.52+1+〃

2023

=52522025_C1026522024+%52-...-Ciq

+1+。，

因为52能被13整除，所以51202被能被13整除,则1+a能被13整除,且0，＜13,故a=12.

课时精练

（分值:80分）

IY知识过关

一、单项选择题（每小题5分，共20分）

L二项式一乙丫的展开式中％系数是（）

A.-80B.80C.-10D.10

答案A

解析-）的展开式的通项

一乙）=（-2六Cs'Y5-"，k=Q,L2,3,4,5.

令5・2右・1,解得七3,

可得北=（-2优次—80W,

即坨勺系数为-80.

2.（a-x）（2+x）6的展开式中金的系数是12,则实数〃的值为（）

A.4B.5C.6D.7

答案C

解析利用二项式定理展开得（〃-©（2+工）6=伍-幻（皑26+吐24+髭・2*+髭-23%3+皓22/+皤2好+的/）,则必的

系数为璃-2-Cj-22=12,/.a=6.

3.（2024・武汉模拟）若（l+2x）i0=ao+ai（l+x）+a2（l+x）2+…+aio（l+x）。,则9+02+03+…+aio等于（）

A.310-lB.1023C.2D.0

答案D

解析令片1+x,则原式可化为（2E・iy°=ao+ai什敢产+…+。10卅,

令/=（）,得“0=1,

令片1,得。0+。|+。2+…+。10=1,

故。1+。2+。3+~+。10=0.

4.已知今天是周四，那么3⑷天后是（）

A.周一B.周三C.周五D.周日

答案B

解析由题意得3⑷=3347=Q8・1产，

由二项式定理得。8-1)47=4-28吐(-1)。+&-2846(1)1+・・・+哈28«・1)46+昭・28。・(-1严=4-2847(

46l,46

1)0+C*7-28-(-1)+-+C^-28•(-1)-1,

因为28可以被7整除，则3⑷除以7后的余数为6,则3⑷天后是周三.

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

5.已知2-当)展开式中各项二项式系数之和为128,则()

A.«=7

B.展开式的各项系数之和是-1

C.展开式中第4项和第5项的二项式系数最大

D.展开式中无常数项

答案ACD

解析由题意可知2"=128,则〃=7,故A正确；

令-1,则2x1-37=1,故B错误；

因为〃=7,所以由二项式系数的性质可知中间两项系数最大，即第4,5项二项式系数最大，分别为0,G，

故C正确；

展开式的通项为办生_7k7ik显然无整数解,

2-3)i=C;(2x)7-2=Q7-2-*-(_1)-x-(keZJ,0WAW7),7-3D

故D正确.

6.若2+-21°=。0+。/+。2/+43A3+…+〃2加0,则()

A.ao=l024

B.a1+力+。5+•••19=512

C.O2=6400

D.a।+2。2+3。3+…+2Oso=O

答案ACD

解析令尸0,则劭=(-2严=1024,故A正确；

令X=l,得。0+。|+-・+。20=0,令x=-l,得40-〃|+42-的+3+08-〃19+。20=1024,两式相减得11+。3+的+…+。19=-

512,故B错误；

(声/2严=(x-l严(%+2严，而(x-1严中常数项为1,含x的项为含炉的项为C油2.(/)8=45*

(x+2＞。中常数项为2u1024,含x的项为C"29=5120x,含x2的项为用产弓匕1520,故s=lX11520+(・

10)X5120+45X1024=6400,故C正确；

两边求导可得10(2%+1)24-—29=。1+2。2什3的f+…+20a2D令产］,可得。1+2。2+3的十…+20。20=0,故

D正确.

三、填空题(每小题5分，共10分)

7.（2025•榆林模拟）已知二项式3+9的展开式中存在常数项，则正整数〃的一个可能的值为

答案4（答案不唯一）

解析二项式3+B的展开式的通项为3-G）=C”x,要使展开式中存在常数项，只需3〃・

4^=0,0W女W”，keZ,〃0N■有解即可，贝可取4.

-15

8.2+—2的展开式中常数项为

答案88

解析2+二2s中的常数项为取苗。）2（-2）2+（-2）5=88.

四、解答题（共28分）

9.（13分）已知%24-1）的展开式中所有项的二项式系数和为12B,各项系数和为J.

⑴求〃和。的值；（3分）

（2）求展开式中小项的系数；（4分）

（3）求2一工2+1）的展开式中的常数项.（6分）

解⑴由已知条件可得2

+1=—L

解得=7,

=—2.

（2）由⑴知%2+2）=_22+T7

­/-22+-17的展开式的通项为

27

n.i=c7-2-t

《7（・2产£4叫D,1,2,…,7,

,当I4.3Q4即Q6时,工"项的系数为C$x（-2）=.14.

（3）2-4）x2+-）

=（2x-r2）-22+-17

=2x-22+t7-r2-22+t7,

・•・①当14-31,即A—5时，

2xC^（-2）2r'=168；

②当14-3公2,即44时，.2仁（-2）3/=280.

••・所求的常数项为168+280=448.

10.（15分）已知一『）（〃£N）

（1）若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求〃的值；（3分）

⑵当〃=6时，二项式的展开式中V的系数为人常数项为8,若8=44求〃的值；（5分）

（3）当〃=6,。=-2时，求二项式的展开式中系数最大的项.（7分）

解（1）展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式共9项，故〃=8.

⑵当〃=6时，二项式为一了丫,

展开式的通项小户C6、6'-『）=（-。代6Tf1,…，6）,

令6?3,得Q2,所以力=〃2牖=1542,

令680,得仁I,所以8=//=1543

又B=4A,解得。=0（舍去）或。=2或斫・2,

所以＜7=2或a=-2.

（3）当〃=6,。=-2时，二项式为+为6,

展开式的通项加1工、64仔：）=2七66一。=0,1,…，6）,

设第叶1项系数最大，则2。6口21号：，

2C6D2+1C针,

0—,

即故Q4