2025-2026学年北京市石景山区高一（下）期末考试数学试卷（含答案）

2026北京石景山高一（下）期末

数学

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.在生平面内，复数z=2-i对应的点的坐标（）

A.（2,1）B.（2,-1）C.（-2,1）D.（-2,-1）

2.已知非零向量〃，〃满足忖=1,且（4一3_L人，则4/=（）

A.2B.x/3C.1D.T

3.若cosa=,则sin(a+-y-1=(

)

5k2)

A.亚2百

RLr•--旧---D..正

5555

4.已知函数/(x)=tanx+sinx,则/(x)是()

A.偶函数，且最小正周期为兀B.偶函数，且最小正周期为2兀

C.奇函数，且最小正周期为工D.奇函数，且最小正周期为2兀

5.已知圆锥的母线长是底面半径的2倍，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为（）

6.要得到函数）=sin2x的图象，只要将函数产sin（2xj）的图象（）

A.向右平移g个单位B.向左平移个单位

6

C.向右平移J个单位D.向左平移。个单位

0

7.在▲A4C中，若b=3\[^,。=6,cosB=——,则NC二()

2

71'兀-3兀

A.-B.-C.—D.一或一

64344

8.正四棱锥的底面边长为2,其他」楂长的值不可能是（）

A.1B.2C.3D.4

,B1

9.在二44c中，若cos4=±，则是“/+〃</”的()

33

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

10.已知函数/（x）=asinx-〃cosx（H/0）的一条对称轴方程为x=T，/（5）+/（9）=。，且函数/（“

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在（苔,毛）上具有单调性，则的最小值为（）

二、填空题

H.已知复数2=旨+公（i为虚数单位），则彳=.

12.已知向量a=（2,x）,/?=（1,-!）,若，则,+力|=.

13.在二ABC中，若sin2C=6sinC.则NC=.

14.已知命题〃:sinxVx,能说明命题〃为假命题的一个x的值是.

15.如图，在校长为2的正方体A4CO-ASG。中，点M,N分别是棱AO,。。的中点，点P在正方

形只。"人及其内部运动，给出下列四个结论：

①存在无穷多个点P,使得8/_LMN；

②存在点P，使得直线与尸与直线CG相交；

③存在点P,使得点P到直线A。和4a距离相等；

④若BF〃平面BMN,则男尸长度的最大值是石.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题

16.在中，cosA=—!，」sinB='，°.

33

（1）求b的值；

⑵若〃+c=10,求BC边上的高.

17.已知函数/（x）=2sin5cos8+2cos3xsine（3>0,|e|<9.若的最小正周期为兀，且

f⑼=6.

（1）求。，。的值；

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⑵若函数/(X)在区间［一不,］上有两个零点，求/的取值范围.

18.如图，在三棱柱人4C-中，侧面8CC］卅为矩形，平面BCC［B］_L平面,M,N分别为

A4和AC的中点.

⑴求证：MN〃平面BCCM；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求证：8片1平面ABC.

条件①：AB1MN：

条件②：AB=BC,BM=MN.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

19.设集合{4，令，，/}={1,2,，川(〃N3,〃wN),定义变换M：对任意有序数组。=(4,4人必)，经过

变换M得到尸=3也L也)，其中〃=min{4,4+J1=1,2,、??吗+1=%),其中min{〃/}表示a,Z?中的

最小者.记S(a)为数组a所有元素之和.

(1)若a=(l,3,2,4),求夕与S(0；

⑵当〃=5时，有序数组a经过变换M得到夕，夕再经过变换M得到/,求S(y)的最小值.

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参考答案

题号12345678910

答案BCADBBBAAB

1.B

【详解】复数z=2-i,实部为2,虚部为7,因此其在夏平面为对应的点的坐标为(2,-1).

2.C

【分析】根据题意，利用向晟的数取积的运算公式，列出方程，即可求解.

【详解】因为非零向量。力满足M=l，且(。-b)_LA,

可得(a—力)0=a〃_/=a/_]=0，解得a0=l.

3.A

【详解】已知cosa=乎，根据三角函数诱导公式可得sin(a+])=cosa=^.

4.D

【详解】函数/5)的定义域为卜|XH；+E/WZ},关于原点对称，

又f(-X)=tan(-x)+sin(-x)=-tanx-sinx=-f(x),

所以函数/(“为奇函数；

因为tanx的最小正周期为冗，sinr的最小正周期为27r,

所以函数/(”的最小正周期为2Tl.

5.B

【分析】设圆锥底面圆的半径为「，求出侧面积和表面积得解.

【详解】设圆锥底面圆的半径为「，则母线长为2八

22

/.S例=gx2nrx2r=2nr,S&=2兀产+nr-37n•?,

.邈二

,至3，

故选:B.

6.B

【详解】因为)，=sin-寺=sin2x,

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所以只要将函数丁=呵2.冶）的图象向左平移春个单位，可得函数产sin2式的图象.

7.B

【洋解】因为cos8=-g,0<B<7I,所以8=与

bc

在.4月C中，由正弦定理得又因为〃=3卡，c=6,

sinBsinC

3瓜_6R

所以二万二砒，解得sinC=上，又。<C<9所以C=f.

—234

2

8.A

【详解】设正四棱锥的侧棱长为/,

由正四棱锥的定义，顶点在底面的射影为底面正方形的对角线的交点，

所以2/>2&，所以/〉&.

9.A

【分析】先由sinBvsinA证明8<A,结合cos2A>0得4+8<?，从而进而推出/+/『<c?以证

22

明充分性，再举反例即可证明必要性不成立.

【详解】因为cosA>0,所以Ae（O^）,则sinA=5‘当'

充分性验证：

若£巾^<:，则sinBvsinA,下面证明/+yvc',

假设8为钝角,则sin8=sin（九一3）,

由于71-匹（0,34€（0百且正弦函数在该区间内单调递增，

22

则sin（7t-B）<sin4n兀-A,即4+8>北，

这与三角形内角和为冗矛盾，故B为锐角，

故BvA,于是A+8v2A,

Q17

cos2A=cos2A-sin?>4=---=—>0,所以2A为锐角，

即2A（巴，即A+B<2A<2,贝IJC>巴，则cosCvO,

222

即“心一。，即/+//<已充分性得证，

2ab1

必要性验证：

因为A为锐角，则5由人=，<立=5m四，且正弦函数在该区间内单调递增，则4<£,

3244

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取8=2,则A+B<2+m=^<［则。>5,即

6461222

但sin8=：>；不符合sin8<；的条件，故必要性不成立，

综上，"sin”!”是'2+户</，，的充分不必要条件

10.B

【分析】求出函数/(力的最小正周期为2江，结合其对称轴方程得到其对称中心坐标，由

/(X1)+/(X2)=O,且函数/(x)在(方,占)上具有单调性，得到I石十七I的表达式,从而确定其最小值.

【详解】函数f(x)=as\nx-bcosx=\la2+b2sin(x-^?)(ab^O),

a.b

其中COS(二,SH10=i.

\Ja'+b'\Ja'+/?'

/(x)的最小正周期为2T.

因为/(x)的一条对称轴方程为］=一方，

所以/(x)的对称中心为(一方+与+E，0)kcZ,即(e+E,0}wZ.

由“与)+/(动=()，且函数在(8,七)上具有单调性,

所以知8关于x=：+E,女wZ对称.

6

目?以=£+〃兀,&eZ,即%一花=殳+2E«wZ.

26~3

所以当％=0时，|%+9|取得最小值，最小值为

11.-i

【详解】因为z=二+2i=/°：)、+2i=l-,T+2i=_i+2i=i,

1+i(l+i)|l-i)2

所以乞=—i.

12.3yf2

【详解】因为向量d=(2,x),且〃/人

所以2x(—1)—lxx=0,解得工=—2,

所以。=(2,-2),所以a+〃=(3,-3),

所以,+司=^32+(-3)2=3\/2.

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13.乡/30。

6

【分析】根据二倍角公式结合三角形内角的取值范围求角.

【详解】由sin2C=石sinC=2sinCcosC=VJsinC.

因为。为三角形内角，所以Ce（O,7i）,

所以sinCwO,所以cosC=X3,所以C=5.

26

故答案为：

0

14.-1（答案不唯一，任意负实数均可）

【详解】当工=一二时，sinx=-l?此时sinx>x,

2

所以命题〃为假命题的一个x的值是（答案不唯一，任意负实数均可）.

15.①③④

【分析】由线面垂直的判定定理可证MN_L平面44C。，由此判断①；假设存在点P,使得直线3/与直

线CG相交，由平面基本事实判断②；举出特例判断③；根据面面平行的判定定理确定点P的轨迹，由此

求出8/氏度的最大值，判断④.

【详解】正方体ABCD-ABCR中,4石•!•平面AAR。，

而ARu平面A4,。。，所以4/14。.

正方形明"。中，AD.LA.D,

又A耳CAQ=A，A蜴,AOu平面A&C。，

所以平面AB。。.

因为点M,N分别是棱AO,。。的中点，

所以MN//A。，所以M7V_L平面A/C。.

所以当点尸在线段A。上时，4Pu平面A4C。，

所以8/JLMN.

即存在无穷多个点尸，使得故①正确；

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G

假设存在点p,使得直线qp与宜线CG相交，记交点为Q,

则由。出e平面得4Qu平面B4GC,

即Pw平面BAGC.

显然与点。在正方形AORA及其内部运动矛盾，故②错误;

若点PcAA，则点P到直线AD和4G距离相等，均等于正方体的棱长，长度为2.

所以③正确；

分别取AA，AR的中点GH,连接

则//A4,〃3综"〃=AA=BBX,

所以四边形44〃何为平行四边形，所以

因为a平面8MN,8Wu平面8MN,

所以与，//平面BMN；

同理由Ga//ADJ/MN可证G/7〃平面BMN,

又B\HcGH=H,B、H,GHu平面妫G”.

若BF〃平面BMN,则PeG”.

<.80"中，G“=Je+AH?=&,

Bfi=B}H=JAS+A"2=非

所以BZ长度的最大值是石.故④正确.

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16.(1)7

（2）?

【分析】（1）由正弦定理，得到asin8=〃sinA,结合asin8=列出方程，即可求得人的值;

3

（2）由（1）得到〃=7,求得c=3,利用余弦定理，求得〃=依反，结合三角形的面积公式，列出方程,

即可求解.

【详解】（1）解：由正弦定理一三二一二，可得asin8=/”inA,

sin4sinB

因为asinB=】,可得Z?sinA=,

33

又因为cosA=—J，且Ae（O,兀），可得sin—l-cos"=^

33

所以b乂辿=也2,可得b=7.

33

（2）解：由（1）知：b=7,因为〃+c=10,所以c=3,

又由余弦定理得M=〃2+C2-2〃CCOSA=72+32-2X7X3X(—；)=72,所以。=6拒,

因为S.HC=—/?csinA=-x7x3x-^^-=7>/2,

X223

设BC边上的高为人可得5皿=4"=70,即：x6后〃=7&,解得〃=：,

JJJ

所以BC边上的高为g.

17.(1)69=2,*=］；

【分析】（1）先利用两角和的正弦公式将函数/"）化简，再根据最小正周期公式求出3的值，最后结合

/（0）=6求出。的值；

（2）先根据（1）的结果确定函数〃x）的表达式，根据题意，求得的取值范围为-与，2，+]，再

结合正弦函数的图象性质，可知2/+方W[OK）,解不等式即可求得f的取值范围.

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【详解】（1）由题意，/1（x）=2sin69Xcos^9+2cos69%sin^7=2sin（69%+^9）,

又因为函数/（工）的最小正周期为兀，且®>0，

所以生=冗,解得3=2,所以〃x）=2sin（2x+0）,

（0

又"0）=6,所以/⑼=2sin（2x0+e）=G,即sino=#，

又|同〈日，所以e=?，

综上所述，69=2,隼=三、

（2）由（1）可知0=2,0=；,所以〃x）=2sin2x+g）,

又名W,所以-¥42丹*2/+?，

6333

又函数/（“在区间一系"上有两个零点，

所以根据正弦函数的图象，可得（/2/+3<兀，解得

363

所以函数/（X）在区间［-葛“上有两个零点，贝V的取值范围为-患］

18.（1）取8C的中点P,连接PN/瓦，

因为N是4c的中点，所以PN//A8,且

三棱柱/WC—A4£中，A8//A4,因为M为A4的中点，

所以用“二^^片二:人民

所以用W//PN,B|M=PN,

所以四边形为平行四边形，

所以MN//B/.

又B/u平面8。。4，MNU平面BCC4,

所以MM/平面3CC4.

⑵

在三棱柱ABC-ABC中，侧面5CC石为矩形，

所以8C_LB片.

因为平面平面ABqa，平面BCG4c平面A84A=6q,8Cu平面8CGA，

所以BC_L平面

因为45u平面人"MA，所以/WJ_〃C.

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若选择条件①：ABtMN,

由(1)知MNMBF,所以人8，4/\

又BpcBC=P,BRBCu平面BCC.B,,

所以/W_L平面8CG4.

因为平面3CG瓦，所以48_18片.

因为4CcA3=3,BC,A6u平面A8C,

所以平面48C.

若选择条件②：AB=BC,BM=MN,

取A3的中点。，连接MQ,NQ,

则MQ//B4,NQi/BC,NQ=；BC=BQ.

所以NQ_L平面AB4A.

又MQu平面所以MQJ_NQ,