集合的概念（七种常考题型）（原卷版）

集合的概念（七种常考题型）

元素与集合的概念

1,元素与集合的概念;

2.元索的特性集

合

元素与集合的关系的

概

念

集合的表示方法

1.列举法；

2.描述法

知识点1元素与集合的概念

1.元素与集合的概念

（1）元素：一般地.把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母。，b,G...表示.

（2）集合：把i些元素组成的总体叫做集合（简称为集），集合通常用人写的拉丁字母AAC,...表示.

（3）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的.

2.元素的特性

（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的.也就是说,给定一个集合，那么任何一个元素在不在

这个集合中就确定了.简记为“确定性

（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的.也就是说，集合中的元素是不重复出现的.简记为

“互异性

（3）无序性：给定集合中的元素是不分先后,没有顺序的.简记为“无序性”.

注意：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解

决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么.集合中的元素可以是数、点,也可以是一些人或一些物.

知识点2元素与集合的关系

（1）属于：如果。是集合A的元素，就说。属于集合A,记作。£A.

（2）不属于：如果。不是集合A的元素，就说。不属于集合A,记作。它A.

温馨提示：（1）符号“£'”送’刻画的是元素与集合之间的关系.对于一个元素〃与一个集合A而言，只

有“ae4”与“。任A”这两种结果.

（2）£和任具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如RwO是错误的.

知识点3常用的数集及其记法

常用的数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集

记法NN'或N+ZQR

知识点4集合的表示方法

1.列举法

把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.

温馨提示：（1）元素与元素之间必须用“，”隔开.

（2）集合中的元素必须是明确的.

（3）集合中的元素不能重复.

（4）集合中的元素可以是任何事物.

2.描述法

（1）定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合

表示为{X£4|P（X）},这种表示集合的方法称为描述法.有时也用冒号或分号代替竖线.

（2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖

线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

注意：（1）写清楚集合中元素的符号.如数或点等.

（2）说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等.

（3）不能出现未被说明的字母.

题型一集合的概念

1.判断正误.

（I）接近于0的数可以组成集合.（）

（2）分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的.（）

（3）一个集合中可以找到两个相同的元素.（）

2.下列各组对象的全体能构成集合的有（）

（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数：（4）某校高一年级学生身

高在1.7米的学生：（5）平面内到线段48两端点距离相等的点的全体.

A.2个B.3个C.4个D.5个

3.由下列对象组成的集体属于集合的是（填序号）.

①不超过10的所有正整数;②高一⑹班中成绩优秀的同学;③中央一套播出的好看的电视居IJ；④平方后不等于

自身的数.

4.（多选）现有以下说法，其中正确的是（）

A.接近于0的数的全体构成一个集合

B.正方体的全体构成一个集合

C.未来世界的高科技产品构成一个集合

D.不大于3的所有自然数构成一个集合

5.以下对象：

①上海市现有各高中的校名；

②很接近0的所有实数；

③方程V+3=0在实数范围内的解；

④平面直角坐标系内的一些点；

⑤所有大于3或小于1的实数.

能够组成集合的序号是.

题型二用列举法表示集合

6.设〃，〃是非零实数，那么g詈可能取的所有值组成集合是一

7.一元二次方程3/-6x=0的解集为（）

A.{2}B.{0}C.{0,2}D.{0,-2}

8.用列举法写出集合4={.v|)，=x2-ZxeZJx|<3}=.

xyzxyz

9.已知xy，z为非零实数,代数式甲十甲南的值所组成的集合是则历=

10.直线y=2x+i与），轴的交点所组成的集合为（）

A.{0,1}B.{(0,1))

题型三用描述法表示集合

11.直角坐标平面上由第二象限所有点组成的集合用描述法可以表示为

\r-2y-3z=0+,

12.方程组。,八的解集可表示为()

2x->'+3z=0

A.{(x,y,z)b=gz,y=gz,zeRB.,(/,y,z)|x=-gz,)，=一gz,zwR

C.{(x,y,z)\x=3z,y=3z,zeR}D.((x,y,z)\x=-3z,y=-3zfz6R)

13.集合{1,0,6,2,行，}用描述法可表示为()

A.{xIxNl}B.{x|x«右}C.{x|x=Vw}D.lx\x=4n,ne^

14.用描述法表示不等式3x+2〉5的解集为.

15.集合M={(x,y)|Ay>0,x+)Y0,xwR.)，€R}表示的是

题型四集合表示方法的应用

16.定义集合运算：A*"={可尸%%2不ee邱，若A=[1,2,3},4={1.2},则4*a=________

17.用另一种方法表示下列集合：

(1)[-3,-1,13,5);

(2){L22,32,42.*)；

⑶已知"={2,3},P={(x,y)\xeM,yeM},写出集合P：

(4)集合A={xeZ|-2«x<2},B={x2-\\XEA},写出集合B

18.用适当的方法表示下列集合.

⑴方程组JQ的解集；

3x+2,y=8

⑵由所有小于13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；

(3)方程Y_4户4=0的实数根组成的集合；

(4)一次函数)，=V+2%-10的图象上所有的点组成的集合；

(5)二次函数)，=/+2x-10的图象上所有点的纵坐标组成的集合.

19.已知集合A={0J2},A={(x,.y)|xe人大一)，£川，则集合8中有个元素.

a+Aa与阴勺奇偶性相同

20.对于。、〃wN,规定人=«集合M={(〃2),*方=12,“力wN"),则M中元

axb,a与阴勺奇偶性不同

素的个数为()

A.6B.8

C.15D.16

题型五元素与集合的关系

21.记方程/-X-机=0的解构成的集合为M,若2eM,试写出集合”中的所有元素.

22.(多选)已知集合A中有3个元素2,4,6,且当aeA时，6-aeA,则。可能为()

A.2

B.4

C.6

D.2或4或6

23.已知集合4含有两个元素。和层,若204,则实数。的值为.

24.已知集合人=卜,丁+1,-1}中的最大元素为2,则实数.

25.已知集合S满足:若atS,则丁LeS.请解答下列问题：

1一《

(1)若2eS,则S中必有另外两个元素，求出这两个元素.

⑵证明:若"S,则l'wS.

a

(3)在集合S中，元素能否只有一个?若能，把它求出来;若不能，请说明理由.

26.集合人={x|x=+,判断下列元素x是否属于集合A：

(l)x=0；

⑵》卷

(3)菁£4巧£4,1=芯十%2.

27.已知集合4={-3,-2,0,1,2,3,7},B={X\XGA-x^A},则8=()

A.{0,1,7}B.{1,7}C.{-2,0,7}D.{-2,1,7}

28.已知集合A中含有两个元素G-3和2a-l.

(1)若-2是集合A中的元素，试求实数〃的值；

(2)-5能否为集合A中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由.

题型六集合的元素特性

29.(多选)下列说法中，正确的是()

A.血的近似值的全体构成一个集合B.自然数集N中最小的元素是0

C.在整数集Z中，若awZ,则-awZD.一个集合中不可以有两个相同的元素

30.若a,b,c,d为集合A的4个元素，则以mb,c,d为边长构成的四边形可能是（）

A.菱形B.平行四边形C.梯形D.正方形

31.以方程/+X-2=0和“+工-3=（）的解为元素的集合含有的元素个数是（）

A.1B.2C.3D.4

32.一个书架上有九个不同种类的书各5本，那么由这个书架上的书组成的集合中含有个元素•.

33.已知集合从={0,1,"},5={0,1,2+3},若AM,则a等于（）

A.-1或3B.0或1

C.3D.—1

34.已知集合A中有三个元素：a-3,2a-\,/+1,集合8中也有三个元素：0,1,才.

（1）若-3wA,求实数。的值；

（2）若/GB,求实数1的值.

35.由后,2一3组成的一个集合4,若4中元素个数不是2,则实数。的取值可以是（）

A.-IB.1C.73D.2

36.已知集合A的元素满足条件:若则手£4（存1）,当。WA时，则集合A中元素的个数是（）

\-a3

A.1B.2C.3D.4

37.设集合人=卜3,/-3d4+1+7卜8={|〃一2|,3},已知4cA且4任小则”的取值集合为.

题型七常用数集或数集关系应用

38.若集合/={x|—JCN,X€Z},用列举法表示M=____.

x+3

39.下列说法正确的有（）

①IwN；②&eN,;@|eQ；④2+&任R;⑤兀eQ

A.1个