第5章 直角三角形 章测 2026-2027学年湘教版八年级数学下册

第5章直角三角形章测

一、选择题（本大题共24分，每小题4分）

1将一副直角三角板和一把宽度为3cm的直尺按如图方式摆放先把60。角和45。角的顶点及它们的直角边重合，

再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A,B两点，

A.（3^3—3）cwB.（3-V3）cw

C.3cmD.375cM

2如图.在△ABC中、NACB=902/B=35。,分别以点A和点B为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相

交于点M,N,作直线MN交AB于点D,交BC于点E,连接CD,则/CDE的度数为（）

3如图.BM是NABC的平分线,D是BM上一点T为直线BC上的一个动点.若△ABD的面积为I2,AB=8,则线

段DP的长不可能是（）

A.2B.3C.4D.5.5

4某港口P位于东西方向的海岸线上「远航”号、“海天号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远

航''号每小时航行16海里「海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距

30海里若知道“远航”号沿东北方向航行,则“海天”号的航行方向为（）

A.西南B.东北C.西北D.东南

5足球是世界上非常受欢迎的运动项目，如图，球员A向边线CD传球，传球落点在边线CD上任何位置都

能被边线球员接住球，而边线球员不运球直接传给球员B,图中四边形ABCD为直角梯形,AD=5,AB=BC=10,NB二

60。,则两次传球中足球的最短路径长为（）

A.I5B.10V3C.20D.20百

6如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图二得到正方形ABCD与正方形EFGH.连接EG,BD相交于点O.

BD与HC相交于点P若GO=GP,则:曲形处”的值是（）

“国方形EFOH

A.1+V2B.2+V2

C.5-V2D.?

4

二、填空题（本大题共20分,每小题5分）

7如图,△ABC中,AB=BC,NABC=90o,F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF.若NEAC=25。,则NACF

（第8题图）

8如图，笔直的河流一侧有一营地C,河边有两个漂流点A,B,其中AB=AC,由于周边施工，由C到A的路

现在已经不通，为方便游客，在河边新建一个漂流点H（A,H,B在同一直线上），并新修一条路CH,测得BC=10

千米CH=8千米，BH=6千米.则原路线AC的长是______千米

9如图.在△ABC中.AB:CB:CA=3:4:5且周长为72cm，点M以每秒2cm的速度从A向B运动，点N以每秒3

cm的速度从B向C运动，如果两点同时出发，经过4秒时,△BMN的面积为cm2.

A

（第9题图）（第10题图）

10如图，在RSABC中,NABC=90o,NA=30。，N8=2的,BC=2,点D是边AC上一动点，连接8。,将4ABD沿B

D折叠得到△EBD,其中点A落在E处,BE交AC于点F,当△EFD为直角三角形时,EF的长度是______.

三、解答题（本大题56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

11某中学有一块四边形的空地ABCD,如图所示，为了绿化环璜，学校计划把空地改成小花园，经测量,NB二

90°,AB=6米,BC=8米,CD=24米,AD=26米.

⑴求空地ABCD的面积：

（2）若学校准备用A,B两个品种的鲜花美化空地，每种植1平方米A品种的鲜花需要150元，每种植I平方

米B品种的鲜花需要200元，若投入总费用不超过25800元,求至少种植多少平方米A品种的鲜花.

12如图，在四边形ABCD中,AC为/BAD的平分线过点C作CF_LAD,已知CB=CD.

（1谓!J断NABC与/ADC之间的数量关系；

（2）若CF=6,AB=4,54。=21,求DF的长.

13综合与探究

【问题情境】数学课上,同学们以直角三角形纸片为背景进行探究性活动.如图（1）,在^ABC中,/ACB=90。，

NA=30。.将^ABC绕点C逆时针旋转使线段AB的对应线段AB恰好经过点B.线段AC与AB相交十点D,

如图⑵.

【初步分析】⑴判断△CBB的形状，并说明理由.

【深入探究】（2）乐学组的同学将图⑵中的△BDC沿射线BA的方向平移得到△EFG（E,F,G分别是点B.D,C

的对应点），线段EG,FG分别与边AC用交于点M,N.

①如图⑶，当点M恰好是线段EG的中点时，他们发现MN=FN,请证明这个结论；

②若BC=4,当点N恰好是线段AM的中点时，请直接写出△BDC平移的距离.

4'

图（1）图⑵图（3）

1.A【解析】如图,在R(AACD中,NACD=45°,所以NCAD=45°=NACD,所以AD=CD=3cm.在RtAB

2222

CD中,NBCD=60。,所以NCBD=30。,所以BC=2CD=6cm,所以BD=7^C-CD=V6-3=3>/3(<?w),BfUZAB=

4Q-/1Z>GV5-3%”故选A.

2.D【解析】由题意可知MN为线段AB的垂直平分线，所以NBDE=90°,AD=BD.因为NB=35。,所以NDE

B=55°.因为NACB=90。,所以CD=8D=\AB^XZDCE=ZB=35°,pjf1UZCDE=ZDEB-ZDCE=20。,故选D.

3.A【解析】如图过点D作DE±AB于E.DF1BC于F.因为△ABD的面积为12,AB=8所以。后平=3.

O

因为BM是NABC的平分线，所以DF=DE=3,所以DPN3.故选A.

4.C【解析】如图.根据题意彳导PQ=16x1.5=24（海里）,PR=12x1.5=18（海里）,QR=30海里.因为242+182=3

（A即也2+*?2=0吐所以NQPR=9O。因为WE为海岸线，所以Q、R位于WE的同一侧.由“远航”号沿东北方向航行

可知，NQPN=45。厕NNPR=45。,即海天号沿西北方向航行.故选C.

北

5.B【解析】如图作A关于CD的对称点E.连接BE交CD于O,连接AO,过A作AF1BE于F,所以DE=

AD=5,AO=EO,所以AE=AD+DE=10=AB,AO+BO=EO+BO=BE,所以NE二NABE,BE的长即为两次传球中足球的最

短路径长.依题意得AD/7BC，所以NE=NCBE,所以NE二NCBE二NABE.因为NABC=NABE+ZCBE=60°,所

以ZABE=30。.又AP_LBE,所以“Ag/IAS,所以DF=JAB?5=5仄又AE=AB,所以AF垂直平分BE，所以

8E=2BF=10v5,即两次传球中足球的最短路径长为106,故选B.

，A什CMCJ

DOC

E

6.B【解析】因为四边形EFGH为正方形，所以/£6止45。,46卜1=90。.因为0G=GP,所以NGOP=NOPG=67.

5°.所以/PBG=22.5°又因为NDBO45。,所以NGBC=22.5。,所以NPBG=ZGBC.因为NBGP=ZBGC=90°,BG=B

G.所以ABPG04BCG(角边角).所以PG=CG.设0G=PG=CG二x,所以BF=CG=x.因为0为EG,BD的交点，所以易知

22222

EG=2x,FG=所以BG=x+岳，所以BC=BG+CG=(v2+1J\^=(4+2v?)x，所以$"方形"""=°+g”=2+75.

，访形EFCH

7.65【解析】因为/ABC=9(T,AB二BC,所以NCBF=18()o・/ABC=90o,NACB=NBAC=45。.在RtaABE和Rt

△CBF中.{所以RQABEgRtzxCBF(斜边、直角边)，所以/BCF:NBAE.因为NEAC=25。所以NBCF=NB

AE=ZBAC-ZEAC=45°-25°=2O°,0T1UZACF=ZACB+ZBCF=45。+20。=65。,故答案为65.

8.8；【解析】在ACHB中，因为CH2+BH2=82+62=100,8。2=]00,所以，所以△HBC是直角三

角形且NCHB=90。.设AC=AB=x千米则AH=AB-BH=(x-6)千米在RsACH中.由勾股定理得元=而+CH?,所

以『=(工-6)2+82,解得x=8；.故答案为8；.

9.60【解析】由题设AB=3xcm,CB=4xcm,CA=5xcm,所以3x+4x+5x=72,所以x=6,所以AB=18cm,CB=24c

211

m,CA=30cm.因为4炉+圆2=182+242=900,02=3()2=900所以AB+CB=CAABC是直角三角形，ZB=90°.

经过4秒时,BM=AB-AM=18-2x4=10(cm),BN=3x4=12(cm),所以S氏的二:BM1BN=60c〃?2.故答案为60.

102V3-2或V3【解析】因为在RIAABC41,ZABC=90°,ZA=30°,^rlUZC=60°.由折叠知，[E=[\A=3

0刀8=48=2>/1分两种情况：①如图⑴，当NEDF=90。时"DFE=90°-ZE=60°,所以ZBFC=NDFE

=60*/C所以△BCF是等边三角形所以BF=BO2,所以EF=BE-BF=2V5-2;②如图(2),当NDFE=90。时、NB

FA=18()o-NDFE=90。.在RiAABF中，因为NA=30。.所以月尸="8=15,所以£7三防-夕开=/综上所述，当口EFD为

直角三角形时，EF的长度为26-2或6.故答案为2V5-2或V3.

图（1）图⑵

II.【解】⑴连接AC.因为口8=90,43=6米，BC=8米，

所以4C=再罚？=而于=10：米）.

因为CD=24米，AD=26米，所以AC2+CD2=4》,所以口力⑦是直角三角形，且口力8=90，所以

四形ADLD

=s:ABC+S口ACD/AB•乙C+^CLCD=；x6x8+ixi0x24-144（平方米）.

答：空地ABCD的面积为144平方米.

（2）设种植m平方米A品种的鲜花,则种植（144-m）平方米B品种的鲜花.由题意得150m+20Ci（144-m）<25800,

解得：/H>60.

答：至少种植60平方米A品种的鲜花.

12思路分析

要判断角之间的过点。作CHL4B,

证明全等，结

数量关系，一般交AB的延长线于

।合等量代换即

从相等或者互补点H,构造△4CH

可得解

（余）考虑和△AC尸全等

【解】（l）NABC+NADC=180。.理由如下：如图,过点C作CHJ_AB,交AB的延长线于H.

因为AC平分NBAD,所以NBACnNCAD.

BAC=CAD,

在AACH和^ACF中.{□〃=□力R>9(),

AC=AC,

所以△ACHdACF(角角边)，所以CH=CF,AH=AF.

在RtABCH和R（ADCF中，｛:羟■所以RSBCH^RtADCF（斜边、直角边），所以NADC=NCBH.因为/C

BH+ZABC=180°,所以/ADC+NABC=180°.

(2)因为RsBCHgRsDCF.所以BH=DF.因为SACD=2\=^ADCF,CF=6,

所以42=6AD,所以AD=7.

因为AD+AB=AF+FD+AH-BH=2AF=7+4=11,所以/斤=£