菱形的性质与判定-九年级数学预习（北师大版）学生版

第一讲菱形的性质与判定

【学习目标】

1.理解菱形的定义。

2.经历探索菱形的性质和判别条件的过程，进一步了解和体会说理的基本方法.

3.了解菱形的现实应用和常用判别条件.探索并掌握菱形的判定.

4.在操作活动过程中，加深师生的情感.培养学生的观察能力，并提高学生的学习兴趣.

【基础知识】

1、菱形的性质

菱形的性质由平行四边形的性质+菱形的特性组成。因此，要学习菱形的性质，在平行四边形性质各性质基

础上，我们更应该熟练掌握的是菱形的特性

1).菱形的邻边相等

2).对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角：

3).菱形面积=对角线乘积的一半；

2、矩形的判定方法分为两种途径：

1).在四边形基础上证明四条边相等的四边形是菱形；

在平行四边形基础上+菱形特性：

2).邻边相等的平行四边形是菱形；

3).有对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

【考点剖析】

考点一：应用菱形的性质进行计算求解

例I.如图，已知菱形A8CD的对角线相交于点。，延长至点E,使鸵=/W,连接CE.

(1)求证：四边形8ECD是平行四边形;

(2)若NE=60。，求NBA。的大小.

(3)在第(2)问的基础上，且A3=2,求四边形8ECO的面积.

考点二：菱形的判定

例2.如图，在^ABC中，ZACB=90°,CDJ_AB垂足为D,AE平分NCAB交CD于点F,交BC于点E,

EH1AB,垂足为H,连接FH.

⑴求证：CF=CE

(2)试判断四边形CFHE的形状，并说明理由.

考点三：菱形与尺规作图

例3.如图，平行四边形ABCD中，以B为圆心，BA的长为半径画弧，交BC于点F,作/ABC的角平分

线，交AD于点E,连接EF.

(1)求证：四边形ABFE是菱形；

(2)若AB=4,ZABC=60°,求四边形ABFE的面积.

【真题演练】

I.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是()

A.两组对边分别平行B.两组对角分别用等

C.对角线互相平分D.对角线互相垂直

2.如图，菱形A3CO中，Z1=I5°,则/。=()

A.130°B.125°C.120°D.150°

3.如图，菱形A8CQ中，E,尸分别是A。，B。的中点，若石尸=4,则菱形A8CO的周长为()

A.8B.16C.24D.32

4.如图过菱形对角线的交点的任意一条直线，把菱形分成两个狒形，这两个梯形全等的理由是（）

A.因为菱形是轴对称图形

B.因为菱形是中心对称图形

C.因为菱形既是轴对称图形又是中心对称图形

D.因为菱形对角线相等且互相平分

5.如图，平行四边形的周长是24cm,对角线4CJL8D于点，若NBW=60。，则AC的长等于（）

A.3cmB.36clMC.6cmD.65/3cm

6.如图，在中，ZB=90°M^=6,BC=8,将.AA。沿DE折叠，使点。落在边AB上的点C'

处，并且C'O//8C，则C0的长是（）

25

D.

T

7.如图，在aA6c中，作以乙4为内角，四个顶点都在AA6c边上的菱形时，如下的作图步骤是打乱的.

H

①分别以点A,G为圆心，大于;AG的长为半径在AG的两侧作弧，两弧相交于点M，N；

②作直线MV分别交A3，AC于点P,Q,连接PG,GQ：

③分别以点。，E为圆心，大于1。后的长为半径作弧，两弧相交于aA8C内一点尸，连接AF并延长

2

交边BC于点、G；

④以点A为圆心，小于AC长为半径作弧，分别交A8，AC于点O,E.

则正确的作图步骤是（）

A.②④①③B.④③©①C.②©③①D.④③①②

8.如图，在菱形ABCD中，点E在C。上，若AE=AC,NB=48。，则NB4E的大小为

10.一个菱形的边长为5,两条对角线的长度之和为14,则此菱形的面积为

II.在菱形"CD中，两条对角线相交于点O,且/W=IOcm"C=12cm.则菱形八8C7）的面积是____cm2.

12.如图，在菱形A6c。中，对角线AC、BD交于点、O,过点A作AMJ_C。于点M,已知4c=6,BD=8,

则AM=.

A

13.如图，点E,尸分别在菱形48CD的边BC,CD±,且NB4E=NOAF.求证：AE=AF.

14.已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB>AC.

求作：BC边上的高A。.

作法：①以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC的延长线于点E：

②分别以点8,七为圆心，以A8长为半径画弧，两弧相交于点网不与点A重合）;

③连接AF交BC于点D.

线段八。就是所求作的线段.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接AE,EF,BF.

•:AB=AE=EF=BF,

・•・四边形ABFE是_______（）（填推理依据）.

：.AF1BE.

即AD是AABC中8C边上的高.

15.如图，在四边形中，AB=AD,CB=CD,点F是AC上一点,连接BF、DF.

B

C

D

（1）证明：△ABF9XADF，、

（2）若AB//CD,试证明四边形ABC。是菱形.

16.如图，AE//BF,AC平分NBA。，且交B广于点C,8。平分N48C,且与AE交于点。，连接CD

（1）求证：四边形ABC。是菱形；

（2）若AC=6,BD=8,AMJ_BC于M,求AM的长.

ADE

一

BMCF

【过关检测】

1.下面性质中，菱形不一定具备的是（）

A.四条边都相等B.每一条对角线平分一组对角

C.邻角互补D.对角线相等

2.如图，菱形A8CO中，点£,F分别是AC,DC的中点.若EF=5,则菱形A8CQ的周长为（）

O

i

A.15B.20C.30D.40

3.如图，菱形ABCD的顶点C在直线MN上,若N1=50。，Z2=20°,则NBDC的度数为（）

乜

MCN

A.20°B.30°

C.35。D.40。

4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,下列结论:@AC1BD；@OA=OB；@ZADB=

ZCDB；④Z\ABC是等边三角形，其中一定成立的是（）

8，D

C

A.①②B.③④C.@@D.①③

5.已知菱形的边长为6cm,一个内角为60。，则菱形较短的对角线长是（）

A.6cmB.6石cinC.3cmD.35/3cm

6.如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边

形，则下列结论中不一定成立的是（）

A.ZABC=ZADC,ZBAD=ZBCDB.AB=BC

C.AB=CD,AD=BCD.ZDAB+ZBCD=\S00

7.如图，菱形ABC。的对角线AC、8。相交于点O,过点C作CE_LAD于点E,连接OE,若08=8,S爱

影^8=96,则0E的长为（

C.6D.8

8.如图，在平行四边形ABCD,尺规作图：以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD于点F,分别以点B,

F为圆心，以大于BF的长为半径画弧交于点G,做射线AG交BC与点E,若BF=12,AB=10,则AE的

A.17B.16C.15D.14

9.如图，把菱形ABCD沿AH折叠，使B点落在BC上的E点处，若NB=70。，则NEDC的大小为

10.如图所示，菱形A3co的对角线的长分别为3和6,尸是对角线上任一点（点。不与点AC重合）,

且PE//8C交A3于E、PF//CD交AD于尸,则阴影部分的面积足

11.如图，菱形ABCD的对角线AC、B