第四章 三角形（10类题型突破）-北师七年级下册数学

第四章三角形（十类题型突破）

重要题型

【考点1】三角形三边关系

1.（2023秋•德庆县期末）以下列长度的线段为边，能够组成三角形的是（）

A.3,6,9B.3,5,9C.2,6,4D.4,6,9

2.（2024•潮州模拟）若三角形的三边长分别是4、9、%则。的取值可能是（）

A.3B.4C.5D.6

3.如果三角形的两条边长分别为2和7,那么这个三角形的周长可以是（）

A.14B.18C.15D.20

4.（2023秋•灵宝市期末）如图，为估计池塘岸边A、8的距离，小杰在池塘的一侧选取一点

O,测得OA=1（）米，03=6米，A、3间的距离可能是（）

【考点2】三角形的稳定性

5.（2023秋•殷都区期末）空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应

用的几何原理是（）

A.三角形的稳定性

C.两点确定一条直线D.垂线段最短

6.（2023秋•武汉期末）在这四个图形中，具有稳定性的有几个?

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.（2023秋•桂平市期末）二角形一边上的中线把原二箱形分成两个（)

A.形状相同的三角形B.面积相等的三角形

C.直角三角形D.周长相等的三角形

8.（2023秋•平典县期末）如图，五根木条钉成一个五边形框架/1BCDE,要使框架稳固且不

活动，至少还需要添根木条.

【考点3】三角形的角平分线、中线和高

9.（2023秋•香洲区期末）下面四个图形中，线段8D是△ABC的高的是（)

10.（2023秋•峥炯区期末）如图，在△ABC中，8。是△A8C的中线，是△A3。的中线,

若OC=6,则AE的长度为（）

A.3B.6C.9D.12

11.（2023春•偃师市校级期末）如图，CM是△ABC的中线，BC=Scm,若△BCM的周长比

△ACM的周长大3c〃?，则AC的长为（）

12.（2023秋•伊犁州期末）已知：如图所示，在△CBC中，点0,E,尸分别为8C,AD,

CE的中点，且S"BC=4C加2,则阴影部分的面积为c源.

A

【考点4】三角形内角和定理

13.（2023秋•肥城市期末）如图，△A3C中,平分NZMC,DE//AC,且N8=50°,Z

C=60°,则N4。七的度数为（）

A.80°B.30°D.50°

14.(2023秋•潮南区期末)如图，在△A8C中，ADLBC,AE平分NBAC,若N84E=30°,

NC4O=2()°,则NB=()

15.如图，将一个三角形剪去一个角后，Zl+Z2=230°,则NA等于（）

A

A.35°B.50°C.65°D.70°

16.（2023秋•睢阳区期末）如图，在RtZXABC中，NACB=90°,点。在边上，将△CB。

沿CO折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处.若NA=25°,贝l」NCDE=.

17.如图，已知ACJL3C于点C,CDJLAB于点。，NA=56°,则NOCB的度数是

18.（2023秋•江陵县期末）如图，在△ABC中，AO是高线，AE.8/是角平分线，它们相

交于点O,ZBAC=50°，ZC=70°，求NEAO与NBQ4的度数.

【考点5】全等图形

19.（2023秋•上饶期末）下列图形中，属于全等图形的一对是（）

A.B,©©C,琦琦D.OI------1

20.下列命题①两个图形全等，它们的形状相同；②两个图形全等，它们的大小相同；③面

积相等的两个图形全等；④周长相等的两个图形全等.其中正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

21.如图为6个边长相等的E方形的组合图形，则Nl+N3-N2=（）

A.30°B.45°C.60°D.135°

【考点6］全等三角形的性质

22.如图，点E在AC上，AABC^ADAE,BC=3,DE=7,则CE的长为()

A.2B.3C.4D.5

23.（2。22秋♦襄州区期末）如图所示，两个二角形全等，则Na等于（)

50°

A.72°B.60°C.58°D.50°

24.（2023秋•长兴县期末）如图，已知点尸在。。上，且△A8C0△AER有同学在推出A8

=AE,NB=NE后,还分别推出下列结论，其中错误的是（）

E

A.AC=AFB.ZAFC=ZAFEC.EF=BCD./EAB=/B

【考点7】全等三角形的判定

25.如图，△A8C与△£>£尸的边8C,E/7在同一条直线上，AB//DE,HBE=CF,请添加一

个条件，使全等的依据是“S45”，则需要添加的条件是（）

A.AC//DFB.AC=DFC.ZA=ZDD.AB=DE

26.（2023秋•枣阳市期末）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法.如图，为了得到

NMBN=NPAQ,在用直尺和圆规作图的过程中，得到△A。。丝△§£：尸的依据是（）

A.SAS

27.（2024•安徽模拟）如图，点C和点E分别在A。和AB上，BC与DE交于点F,已知

=ADf若要使△ABC会△△£）£；,应添加条件中错误的是（）

A

F

BD

A.BC=DEB.AC=AE

C.ZACB=ZAED=90°D.ZBCD=ZDEB

28.（2024•前郭县一模）如图，点£、3在A。上，已知AE=£>8,AC=DF,ZA=ZD,求

证：△ABC94DEF.

29.（2023秋•无锡期末）如图，AC与。E交于点O,且OE=OC点七、。在3/上，BE=

CF,ZA=ZD.

求证：4ABe在4DFE.

30.（2024•雁塔区校级二模）如图，AC=BDfCE=DE,AO与8C相交于点七，/EAB=N

EBA.求证：

【考点8】全等三角形的判定与性质

31.如图，AB=ED,BC=DC,CA=CE,ZACB=80°,Zl=50°,则N2=()

A

E

A.20°B.30°C.50°D.80°

32.（2023秋•重庆期末）如图，在△ABC中，AB=AC,NBAC=45°,AO_LBC于点D,

8£J_AC于点E,交A。于点尸.若A尸=10,则8。的长为（）

A.4B.5C.8D.10

33.（2023秋•淮北期末）如图，已知NE=N/=9（T,ZB=ZC,AE=AF,卜列结论：①

EM=FN；②CM=£M；③N/^N=NE4M；④△ACNgZ\ABM,其中正确的有（）

E

A.1个B.2个C.3个D.4个

33.（2023秋•仪征市期末）如图，在△A8C和AAE/中，点E在8C边上，ZC=ZF,AC

=AFf/CAF=NBAE,EF与AC交于点、G.

（1）试说明：AABC^AAEF；

（2）若NB=55°,ZC=20°,求NE4C的度数.

34.如图,点从F,CE在育线/匕点儿。在/的两侧,AB//DE.7A=/D,AB=DE.

(1)求证；△43C2△£>£：£

(2)若BE=TO,BF=3,求尸。的长.

35.（2023秋•铁岭县期末）如图1,AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=a,AD.BE相交

于点M,连接CM.

（1）求证：BE=AD；

（2）用含a的式子表示NAMB的度数（直接写出结果）；

（3）当a=90°时，取AD,8E的中点分别为点尸、Q,连接。尸，CQ,PQ,如图2,判

断的形状，并加以证明.

【考点9】全等三角形的应用

36.（2023秋•和田地区期末）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块,

现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（）去.

A.①B.②C.③D.①和②

37.（2023秋•姜堰区期末）如图，工人师傅常用“卡钳”这种工具测定工件内槽的宽.卡钳

由两根钢条44'、月夕绢成.O为44'、BR'的中点.只要量出4'B'的长度,由二

角形全等就可以知道工件内槽A3的长度.那么判定》的理由是（)

A.SASB.ASAAAS

38.（2023秋•惠州期末）如图，小虎用10块高度都是3c•〃？的相同长方体小木块，垒了两堵

与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC=BC,ZACB=90°）,

点。在。£上，点A和8分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离OE的长度为（）

A.30c7〃B.27cmC.24cmD.21cm

39.（2023秋•岚山区期末）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB=AC,点Q,

E分别是48,AC的中点，DP,EP是连接弹簧和伞骨的支架，且。P=£P,已知弹簧尸

在向上滑动的过程中，总有△ADP丝其判定依据是（）

A.SSSB.SSA

40.（2023秋•广安期末）小明利用一根3加长的竿子来测量路灯的高度.他的方法是这样的：

在路灯前选一点P，使3P=3加，并测得NAP3=7（）°,然后把竖直的竿子。（CO=3〃z）

在8P的延长线上移动，使NOPC=20°,此时量得80=112〃.根据这些数据，小明计

算出了路灯的高度.你知道小明计算的路灯的高度是多少？为什么？

.4路灯

41.（2023秋•青铜峡市期末）某大学计划为新生配备如图1所示的折叠凳图2是折叠凳撑开

后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CO的长相等，。是它们的

中点.为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AO设计为30c〃z,由以上信息

能求出CA的长度吗？如果能，请求出的长度，如果不能,请你说明理由.

图1

【考点10］尺规作图

42.如图，己知△4BC.利用直尺和圆规，根据要求作图，并解决后面的问题.

（1）作△ABC的角平分线AQ；

（2）作NCBE=N4OC,BE交C4的延长线于点E；（要求：保留作图痕迹，不需写作法

和证明）

（3）图中线段A8与线段AE相等吗？证明你的结论.

43.作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）

如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M,N表示大学，AO,BO表示公路）.现

计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等.你

能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案.

44.如图，在△ABC中，/8=30°,ZC=40°.

（1）尺规作图：①作边A8的垂直平分线交8C于点。；

②连接A。，作NC4O的平分线交3c于点E：（要求：保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图中，求ND4E的度数.

第四章三角形（十类题型突破）

重要题型

【考点1】三角形三边关系

1.（2023秋•德庆县期末）以下列长度的线段为边，能够组成三角形的是（）

A.3,6,9B.3,5,9C.2,6,4D.4,6,9

【答案】D【解答】解：A、3+6=9,错误；B、3+5V9,错误；

C、2+4=6,错误；。、6+4>9,正确，故选：。.

2.（2024•潮州模拟）若三角形的三边长分别是4、9、a,则。的取值可能是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D【解答】解：,・,三角形的三边长分别是4、9、

・・・9-4VaV9+4,即5V〃V13.故选：D.

3.如果三角形的两条边长分别为2和7,那么这个三角形的周长可以是（）

A.14B.18C.15D.20

【答案】C【解答】解：设这个三珀形的第三边长是;V,周长是c,

：.7-2<x<7+2,

・・・5VxV9,

・•・5+2+7Vx+2+7V9+2+7,

/.14<c<18,

・•・这个三角形的周长可以是15.故选：C.

4.（2023秋•灵宝市期末）如图，为估计池塘岸边A、5的距离,小杰在池塘的一侧选取一点

0,测得04=10米，OB=6米，A、8间的距离可能是（）

0

A.4米B.12米C.16米D.22米

0

【答案】B【解答】解：连接AB,

・.・。4=10米,08=6米.

・・・10米-6米VABV10米16米，即4米VA3V16米，故选；B.

【考点2】三角形的稳定性

5.（2023秋•殷都区期末）空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应

用的几何原理是（）

A.三角形的稳定性B.两点之间线段最短

C.两点确定一条直线D.垂线段最短

【答案】A【解答】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，故选：A.

6.（2023秋•武汉期末）在这四个图形中，具有稳定性的有几个？（）

①AZ②a③口a

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B【解答】解：根据三角形具有稳定性可知；图①、图④具有稳定性，故选：B.

7.（2023秋•桂平市期末）三角形一边上的中线把原三用形分成两个（）

A.形状相同的三角形B.面积相等的三角形

C.直角三角形D.周长相等的三角形

【答案】B【解答】解：三角形一边上的中线把原三甭形分成两个面积相等的三角形.

故选：B.

8.（2023秋•平舆县期末）如图，五根木条钉成一个五边形框架A8CQE,要使框架稳固且不

活动，至少还需要添一根木条.

【答案】2.

【解答】解：从图中可以看出，要使框架稳固且不活动，至少还需要添2根木条.

故答案为；2.

【考点3】三角形的角平分线、中线和高

9.（2023秋•香洲区期末）下面四个图形中，线段3。是△/WC的高的是（）

【答案】。【解答】解：由图用得，线段是AABC的高的图是。选项.故选：D.

10.（2023秋•晚涮区期末）如图，在△ABC中，是ZXABC的中线，BE是△AB。的中线,

若。。=6,则4E的长度为（）

A.3B.6C.9D.12

【答案】A【解答】解：,・'3。是△ABC的中线，

：.CD=AD,

VDC=6,

：.AD-6f

•:BE'是△A3。的中线，

：.AE=ED=1AD=3,故选：A.

2

11.（2023春•偃师市校级期末）如图，CM是△48。的中线，8C=8c7〃，若△8CM的周长比

△ACM的周长大则AC的长为（）

A

-----------------4c

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【答案】。【解答】解：•・.CM为△ABC的A8边上的中线，

•・•4BCM的周长比CM的周长大3cm,

・•・(BC+BM+CM)-(AC+AM+CM)=3cm,

/.BC-AC=3cm,

"C=8C7",

：.AC=5crn,故选：C.

12.(2023秋•伊犁州期末)已知：如图所示,在△A8C中，点D,E,尸分别为8C,AD,

CE的中点，且&ABC=4C加2,则阴影部分的面积为c/.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：・・•。为3c中点，根据同底等高的三角形面积相等，

S/\ABD=S/\ACD=--SA/^C——,X4=2(cm~),

22

同理S&BDE=SdCDE=—S^BCE=—X2=1(cnr),

22

:・S&BCE=2(cm2),

•：F为EC中点,

・・・S：=LS、8CE=LX2=1(cm2).故答案为1.

22

【考点4】三角形内角和定理

13.(2023秋•肥城市期末)如图，△4BC中，A。平分N8AC,DE//AC,且NB=50°,Z

C=60°,则NAQE的度数为()

A

A.80°B.30°D.50°

【答案】。【解答】解：・・.N8=5（r,ZC=60°,

AZ^/\C=180°-50°-6(T=70",

•「AQ平分N84C,

：.ZBAD=ZDAC=35°,

*：DE//AC,

：.ZADE=ZDAC=35°,故选：C.

14.（2023秋•潮南区期末）如图，在△ABC中，ADVBC,AE平分NB4C,若NBAE=30°,

NC4O=2(T,则NB=()

A.45°B.60°D.55°

【答案】C【解答】解：・；AE平分N8AC,

：.ZBAE=ZCAE=30°,

：.ZEAD=ZEAC-ZDAC=30°-20°=10°,

VAD1BC,

/.ZADE=90°,

AZAED=90°-ZEAD=80°,

NAED=NB+NBAE,

••・N8=8(T-30°=50°,故选：C

15.如图，将一个三角形剪去一个角后，Zl+Z2=230°,则NA等于（)

A

A.35°B.50°C.65°D.70°

A

【答案】B【解答】解：如图所示:

VZl+Z3=180°,N2+/4=180°,

.•.Zl+Z3+Z2+Z4=360°,

VZ1+Z2=23O°,

AZ3+Z4=360°-230°=130°,

•••N4+N3+N4=180°,

・・・NA=180°-(Z3+Z4)=180°-130°=50°,故选：B.

16.(2023秋•睢阳区期末)如图，在中，NAC8=90°,点。在A8边上，将△C8D

沿CO折叠，使点3恰好落在AC边上的点E处.若NA=25°,则NCD£=.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：•・•将△CB。沿C。折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，N4CB=90°,

・・.NBCD一4ECD—45°,/B—/CED,

VZA=25°,

・・・/8=90°-25°=65°,

：.ZCED=65°,

・・・NCOE=180°-45°-65°=70°,故答案为：70°.

17.如图，己知AC_LBC于点C,CO_LAB于点O,ZA=56°,则NOC3的度数是

c

【答案】56°.

【解答】解：VAC±BC,CDLAB,

：.ZACB=ZBDC=^°,

AZA+ZB=90°=/B+NDCB,

：.N4=NDCB,

VZA=56°,

：.ZDCB=ZA=56°.故答窠为：56°.

18.（2023秋•江陵县期末）如图，在8c中，AO是高线，AE.8尸是角平分线，它们相

交于点O,ZBAC=50°,ZC=70°,求NE4D与N30A的度数.

【答案】见试题解答内容

【解答】W：-：AD±BC

：.NAOC=9()°

VZC=70°

AZDAC=180°-90°-70°=20°,

•・・AE平分NB4C,

.,.ZCAE=AX50°=25°

2

.'.ZEAD-ZEAC-ZDAC-250-20°-5°；

•・・NBAC=50°,ZC=70°

：.ZBAO=25°,NA8C=60°

■B尸是NA8C的角平分线

ZABO=30°

，NBOA=1800-ZBAO-ZABO=180°-25°-30°=125°.

【考点5】全等图形

19.（2023秋•上饶期末）下列图形中，属于全等图形的一对是（）

A.OOB,©©c.Q*D.口口

【答案】B【解答】解：选项8中的两个图形的形状一样，大小相等，

，该选项中的两个图形是全等形，

故选项3符合题意；

选项。中的两个图形形状一样，但大小不相等，

选项A,。中的两个图形不是全等形，

故选项A,C,。不符合题意.故选：B.

20.下列命题①两个图形全等，它们的形状相同；②两个图形全等，它们的大小相同；③面

积相等的两个图形全等；④周长相等的两个图形全等.其中正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】3【解答】解：①两个图形全等，它们的形状相同，故正确；

②两个图形全等，它们的大小相同，故正确；

③面积相等的两个图形全等，错误；

④周长相等的两个图形全等，错误.

所以只有2个正确，故选B.

21.如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则N1+/3・N2=（）

A.30°B.45°C.60°D.135°

【答案】B【解答】解：如图,

fAB=DE

在和△QE4中，ZABC=ZDEA=90"，

BC=AE

A/\ABC^/\DEA(SAS),

AZ1=Z4,

VZ3+Z4=90°,

AZIIZ3=90°,

又・・・/2=45°,AZ1+Z3-Z2=90°-45°=45°.故选：B.

【考点6］全等三角形的性质

22.如图，点石在4C上，AABC^ADAE,BC=3,DE=7,则CE的长为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】。【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：:△ABC丝

，AE=8C=3,AC=DE=7,

：.CE=AC-AE=7-3=4,故选：C.

23.（2022秋•襄州区期末）如图所示，两个三角形全等，则Na等于（）

A.72°B.60°C.58°D.50°

【答案】。【分析】根据图形得出DF=AC=c,根据全等三角形的性质得出

NQ=NA=50°,即可得出选项.

【解答】解:

•；DE=AB=a,DF=AC=c,

又,//\ABC和aoE广全等,

・・・/。=乙4=50°,

AZa=50°,故选：D.

24.（2023秋•长兴县期末）如图，已知点尸在3c上，且4A3c义△AE",有同学在推出A8

=AE,/B=NE后,还分别推出下列结论，其中错误的是（）

E

二

BFC

A.AC=AFB.ZAFC=ZAFEC.EF=BCD.NFAB=NB

【答案】D【解答】解：••'△ABCgzMEE,

.\AB=AEfAC=AFfBC=EF,NB=/£,/C=NAFE,/CAB=/FAE,

AZAFC=ZAFEt故选：D.

【考点7】全等三角形的判定

25.如图，△ABC与△0E/7的边8C,石厂在同一条直线上，AB//DE,HBE=CF.请添加一

个条件，使全等的依据是“SAS”，则需要添加的条件是（）

AD

BECF

A.AC//DFB.AC=DFC.ZA=ZDD.AB=DE

【答案】D【解答】解：需要添加的条件是理由如下：

■:AB//DE,

:・ZB=NDEF,

•••BE-CF,

；・BE+CE=CF+CE,

即BC=EF,

7即DE

在△A8C和△£）"*中，,NB=/DEF，

BC=EF

AAABC^/\DEF（SAS）,故选：D.

26.（2023秋•枣阳市期末）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法.如图，为了得到

4MBN=4PAQ,在用直尺和圆规作图的过程中，得到△AC。丝4BE尸的依据是（）

A.SASB.555C.ASAD.AAS

【答案】B【解答】解；根据作法可知；AC=BE,AD=BFfCD=EF,

Z.^ACD^/XBEF（SSS）,

:・/MBN=/PAQ,故选：B.

27.（2024•安徽模拟）如图，点C和点E分别在A。和48上，BC与DE交于点F,已知

=AD,若要使△ABCgZXAOE,应添加条件中错误的是（）

A.BC=DEB.AC=AE

C.ZACB=ZAED=90°D.ZBCD=ZDEB

【答案】4【解答】解：小若添加3C=OE,SSA不能证明△八。七，故符合题意；

B、若添加4C=A£则可利用SAS证明△ABCgAAOE,故不符合题意；

。、若添加NACB=/AEQ=90°,则可利用AAS证羽故不符合题意；

D、若添加N3CQ=NO£8,则可证明NAC8=NAEZ）,可利用A4S证明△ABCgZSADE：,

故不符合题意；故选：A.

28.（2024•前郭县一模）如图，点£、B在人。上，已知AE=。。，AC=DF,ZA=ZD,求

证：△ABgADEF.

【答案】证明见详解.

【解答】证明：・・・AE=OB,

；・AE+EB=DB+EB

即AB=DE.

7即DE

在△ABC和△£)£/中，,NA=ND，

AC=DF

:•△AB8ADEF(SAS).

29.（2023秋•无锡期末）如图，AC与OE交于点0,且OE=OC.点、E、C在8F上，BE=

CF,/A=7D.

求证；△ABC94DFE.

AD

【答案】证明见解析.

【解答】证明：・・・OE=OC,

・•・ZACB=/DEF,

•；BE=CF,

；・BC=FE,

rZA=ZD

在△43C和中，,NACB=NDEF，：­/\ABC^i\DFE(AAS).

BC=FE

30.(2024•雁塔区校级二模)如图，AC=BD,CE=DE,AO与8C相交于点E,ZEAB=Z

EBA.求证：AACB^A^DA.

【答案】证明见解析.【解答】证明：・・・/£48=/£84,

:,EA=EB,

°：DE=CE,

：.EA+DE=EB+CE,

：.AD=BC,

(BC=AD

在△4CB和△BD4中，(AC=BD，

IAB=BA

A^ACB^/XBDA(SSS)

【考点8】全等三角形的判定与性质

31.如图，AB=ED,BC=DC,CA=CE,ZACB=80°,Zl=50°,则N2=()

A

E

Bc

A.20°B.30°C.50°D.80°

【答案】B

rAB=ED

【解答】解：在△ABC和△比)(:中，卜C=DC，

CA=CE

AAABC^/XEDC(555),

AZACB=ZECD=S0°,

VZl=50°,

^Z2=ZECD-Zl=80°-50°=30°,故选：B.

32.(2023秋•重庆期末)如图，在△ABC中，AB=AC,N8AC=45°,AQ_18c于点。,

BELAC于点E,交A。于点F.若A”=10,则3。的长为()

A.4B.5C.8D.10

【答案】3【解答】解：,.'3E_LAC,

/.ZABE+ZBAE=W,

VZABE=45°,

：.ZBAE=ZABE=45°,

・••AE-BE,

VAD1BC,BEA-AC,

・・・N£8C+NC=90°,ZFAE+ZC=90°,

・・・ZEBC=ZFAE,

rZBEC=ZAEF=90°

在△BEC和△?!£尸中，BE=AE，

ZEBC=ZFAE

：./\BEC^^AEF(ASA)f

：.BC=AF=\Ot

*：AB=ACtADLBC,

：.BD=DC=^-BC=5f故选：B.

2

33.(2023秋•淮北期末)如图，已知NE=N/=90°,/B=/C,AE=AF,下列结论：①

EM=FN；②CM=£M；③/加N=NEAM；®/\ACN^/\ABM,其中正确的有()

E

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】。【解答】解：•・・NE=N/7=90°,ZB=ZC,AE=AF,

：./\AEB^/\AFC(A4S),

；・NEAB=NFAC,

：.ZFAN=ZEAM,故③符合题意；

VZE=ZF=90°,AE=AFt/FAN=/EAM,

：./\AEM^/\AFN(ASA),

:・EM=FN,故①符合题意；

由△AEMg/XAHV(ASA),得到EAf=FM得不到EM=CM,故②不符合题意；

V^AEB^/XAFC(AAS),

：.AC=AB.

・・・NC=N8,/CAN=/BAM,

：./\ACN^/\ABM(ASA),故④符合题意，.,•正确的有3个.故选：C.

33.(2023秋•仪征市期末)如图，在△45。和/中，点E在8c边上，ZC=ZF,AC

=AFfZCAF=ZBAE,EF与AC交于点、G.

(I)试说明：/\ABC^/\AEF；

(2)若NB=55°,ZC=20°,求NE4C的度数.

A

G

BEC

【答案】（1）见解答；（2）35°.

【解答】(1)证明：*：ZCAF=ZBAE,

：.ZCAF+ZEAC=ZBAE^-ZEAC,

即NB4C=NE4R,

rZC=ZF

在△ABCflIAAEF中，AC=AF，

ZBAC=ZEAF

A(ASA)；

(2)解：VZB=55°,ZC=20°,

・・・/84C=180°-55°-20°=105°,

：.AB=AEt

；・NB=NAEB=55°,

・・・N8AE=180"-NB-NAEB=70”,

：.ZEAC=ZBAC-ZBAE=105°-70°=35°.

34.如图，点8,F,C,E在直线/上，点A,。在/的两侧，AB"DE,NA=/。，AB=DE.

(1)求证：△AB8LDEF；

(2)若BE=10,BF=3,求/C的长.

【答案】(1)证明见解析；(2)4.

【解答】(1)证明：・・・A8〃OE,

・•・ZABC=/DEF.

，ZABC=ZDEF

在△ABC和△£)£/中，|AB=DE

ZA=ZD

：.AABCQADEF(ASA)；

(2)解：V

：.BC=EF.

：.BF=EC.

VBE=1(),BF=3,

：.FC=BE-BF-EC=4.

35.（2023秋•铁岭县期末）如图1,AC=BC,CD=CE,/ACB=/DCE=a,AD.8E相交

于点M,连接CM.

（1）求证：BE=AD；

（2）用含（X的式子表示NAMB的度数（直接写出结果）；

（3）当a=90°时，取AD,BE的中点分别为点P、Q,连接CP,CQ,PQ,如图2,判

断△CPQ的形状，并加以证明.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)如图1,9：ZACB=ZDCE=a,

：.ZACD=NBCE,

rCA=CB

在△AC。和△8CE中，］ZACD=ZBCE，

CD=CE

・••△ACD丝ABCE(SAS),

；.BE-AD；

(2)如图1,♦:△A3"&BCE,

:・/CAD=/CBE,

•「△ABC中，NBAC+N43c=18()0-a,

••.N84M+N45M=180°-a,

中，NAWB=180°-(1800-a)=a；

(3)△CPQ为等腰直角三角形.

证明：如图2,由(1)可得，BE=AD,

・・・AQ,的中点分别为点P、Q,

・"P=8。，

•・•△ACD94BCE,

・・.NCAP=NCBQ,

rCA=CB

SAACP和△BCQ中，ZCAP=ZCBQ，

AP=BQ

/.(SAS),

：.CP=CQ,且N4CP=NBCQ,

XVZACP+ZPC5=90°,

：.ZBCQ+ZPCB=90°,

AZPCQ=90n,

:.XCPQ为等腰直角三角形.

【考点9］全等三角形的应用

36.（2023秋•和田地区期末）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块,

现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（）去.

A.①B.②C.③D.①和②

【答案】。【解答】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定

方法；

第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行；

第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合ASA判定，所以应

该拿这块去.故选：C.

37.（2023秋•姜堰区期末）如图，工人师傅常用“卡钳”这种工具测定工件内槽的宽.卡钳

由两根钢条A4'、组成，。为AA'、B夕的中点.只要量出A'夕的长度，由三

角形全等就可以知道工件内槽A3的长度.那么判定△QABg/XQA'B'的理由是（）

A.SASB.ASA4As

【答案】A【解答】解：・・'O是AA',B夕的中点,

：.AO=A'O,BO=B'O,

又・・・NA08与NA'OB'是对顶角，

/.ZAOB=ZA'OB',

在△AO8和AA'OB'中，

A0=Ay0

VZA0B=ZAyOB'，

BOB'0

•••△40%Z\A'OB'(SAS),

・・・A'B'=AB,

・・.只要量出A'"的长度，就可以知道工作的内径AB是否符合标准,

・•・判定△OABgaoVB'的理由是SAS.故选：A.

38.（2023秋•惠州期末）如图，小虎用10块高度都是3皿的相同长方体小木块，垒了两堵

与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC=3C,ZACB=90°）,

点C在DE上，点A和区分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离OE的长度为（）

A.30CT77B.27cmC.24c/nD.1\cm

【答案】A【解答】解：由题意得：AC=BC,ZACB=90°,ADLDE.BEVDE,

：.ZADC=ZCEB=9(r,

AZACD+ZBCE=90°，ZACD+ZDAC=90°，

.\ZBCE=ZDAC,

rZADC=ZCEB

在力C和△CEB中，］ZDAC=ZBCE*

AC=BC

:•△ADCmACEB(A4S)；

由题意得：AD=EC=9cm,DC=BE=2\cm,

：.DE=DC+CE=30(cm),

答：两堵木墙之间的距离为30cm.故选：A.

39.(2023秋•岚山区期末)如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AA=AC,点7),

E分别是A8,AC的中点，DP,EP是连接弹簧和伞骨的支架，且QP=£P,已知弹簧尸

在向上滑动的过程中，总有△AQPg/Vl",其判定依据是()

【答案】A【解答】解：・・'A8=AC,点Q,E分别是A8,AC的中点，

：.AD=AE,

产AE

在△AQP和△?!£：「中，\AP=AP.

IDP=EP

/.AADP^