二次根式的运算（专项训练）-北师大版八年级数学上册

专题03二次根式的运算(专项训练)数学北师大版2024八年

级上册

一、解答题

1.计算：

2.计算：

(1)5-本+2*J(-3)2；

⑵+6+1)-卜-阎-巧.

3.化简.

⑴(3+6)(3-V7)+6(2-V2j；

4.计算:

⑴(2_厨。”(2+可一呼《闵。

⑵次+

5.［核心素养］阅读下面的解答过程:

］_1x("-)।

丁+i一(/+中小一1)一”;

试卷第I页，共10页

1____lx产旬石r-

FF(6+母瓦西……

根据以上解答过程解决下列问题：

1

UE、

⑵试求士+日万+耳]+…+而、T腐犷的值•

2

6.阅读材料：在解决问题“若”上万，求"-12”5的值”时，小俊是这样分析与解答

的：

...__2。+")

•(3一/(3+0

2(3+77)

9-7

=3+",

a-3=ypj，

:.(4-3)2=7,

a'—6a=-2.

••・2a2-\2a-5

=2(/—6^)—5

=2x(-2)-5

=-9.

请你根据小俊的解答过程，解决如下问题:

⑴化简：豆加；

4

(2)若。=｝二斤，求2a、12a+l的值.

7.阅读材料：

像仲+")(忑"—脚)=3、《J7=460)、(匹1)(6]j=Z>-l(Z)>0)...两个含有二次

根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式.

试卷第2页，共10页

例如，"与6、"+1与血-1、26+3石与2迅-3石等都是互为有理化因式.在进行

二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号.

根据以上阅读材料回答下列问题：

⑴计算：

⑵计算：七+石%+力+…+忑w二昕，

8.阅读下列材料，然后问答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如二、、叵、

45\3

2

百I一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：

33x63

#（I）

舟探4（11）

22x（j3」）

-1（III）

以上这种化简的步骤叫做分母有理化.

2

齐齐还可以用以下方法比简:

23.1（币）（6+1）（丁-1）

"1（IV）

6+1=岛［=*+1=~£1

（1）请用不同的方法化简&j占

2

①参照（H【）式得,；6二-；

2

②参照（IV）式得/■+5=_；

…2222

⑵化简：了1+了二彳+齐丁+…+后=JTT

9.定义：若两个二次根式加，〃满足加力=〃，且夕是有理数.则称〃，与〃是关于P的美好

二次根式.

（1）若加与是关于6的美好二次根式,求加的值:

⑵若1-抬■与4+代〃是关于〃的美好二次根式，求〃?和〃的值.

试卷第3页，共10页

10.对于任意的正数加，〃定义运算※为：〃?※〃二

«?+，?(/〃<n)

(1)计算48X75的结果;

(2)计算(3X2)x(8X12)的结果.

11.我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角

形.例如，某三角形的三边长分别是2,4和而'，因为22+42=20=2X(M)2,所以这个

三角形是奇异三角形.

(1)若V/18C的三边长分别是2,2®和灰,判断此三角形是否是奇异三角形，说明理由.

(2)若RtVdBC是奇异三隹形，直角边的长为a,b(a〈b),斜边长为c,写出。和力的等

量关系式.

12.我们规定用(凡6)表示有序数对.给出如下定义：记〃'-%，n=>[b，其中。)0b>0,

将(叽八与(〃,〃?)称为有序数对(a,b)的一对“对称数对”.例如；(4,1)的一对“对称数对”为

⑴有序数对(4,3)的一对“对称数对“是

(2)若有序数对(5」)的一对“时称数对”相同，则歹的值为；

⑶若有序数对(X，2)的一个“对称数对，，是("26)，则上的值为

(4)若有序数对1)的一个“对称数对”是(6,33),求帅的值.

13.先观察下列等式，再回答问题：

...f11,11,1

①?+F+F=i+广干=亏

②卜；等=2

z-,L11,11,।

@J1+F+F=1+3--=12

(1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想J+卜城的结果：

(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：

⑶计算：Jl+i+]+Jl+4+」+Jl+q+」+…+J+募+募

14.观察下列各个等式:

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第①个等式：6+42=5；

第②个等式：>/52+122=13；

第③个等式：々+242=25；

第④个等式：792+402=41；

按以上等式规律，解决下面的问题:

(1)写出第⑤个等式:

(2)完成第〃个等式：“2〃++(2/+2〃)'=.,并证明这个等式的正确性.

1

15.观察下列各式及验证过程:

2

验证

验证

4

⑴按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想,民力的变形结果并进彳亍验证.

(2)针对上述各式反映的规律，写出用"〃为任意的自然数，且〃>2)表示的等式，并给出证

明.

16.观察下列各式并解答诃题：

Ur,3r-i—r(497I―i―r阿B

=V+3?+4r=W=i2……

(1)计算：Jl+需++;

(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含〃的等式表示，〃为正整数).

二、单选题

17.下列计算正确的是()

A.2用3"=56B.4币-币=4

C.(3+2网3-2回=3D.^4^2—^6^-i-^2=4—^3

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18.用※定义一种新运算:对于任意实数加和〃，规定加※〃二〃为「〃〃？，如:

1^2=12X2-1X2=0.则卜闾※—的值为（）

A♦-^6+yj3B♦C.2-^5,—^6D.2-^3+\/6

19.规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”.若出+〃

是“最美实数”，则a的值是（）

A.及一1B.一忘C.或1D.或1—

20.先观察下列的计算，再完成习题:

J________^2-1一也

1__________♦=6-&.

&+广晔1收」）=,百+小（乖+&）（小-企）

Mr（“+•）（《-回*-曲根据你的猜想、归纳,

运用规律计算:

（匚、+号万+号5+…而《西卜河与）的结果为（）

A.1B.2014C.2013D.^2014-1

21.我们定义：若。+6=2,则称。与人是关于1的平衡数.比如-1+3=2；则-1与3是关

于1的平出数.根据定义，树下列说法错误的是（）

A.2025与-2023是关于1的平衡数

B.3-&与-1+"是关于1的平衡数

C.若（"，+>/?卜（1-同=-5+邛，则川+《3与5-石不是关于1的平衡数

D.若/+/=3,ab=Lt则a与人是关于1的平衡数

三、填空题

22.计算M+JExC的结果等于.

23.若规定小.而+,m@n=mn-n~,则2®5=,2@（万一1）=

24.观察下列等式，如果“为大于1的正整数，请用含”的等式表示这个运算规律：.

①朋*②医岑③…

25.如图，在RtZ\/18C■中，/8=2,4c=1,V月8c记为第①个直角三角形，以斜边/C为

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长直角边，。。=1为短直侑边作第②个Rt△力C。；再以斜边力力为长直角边，DE=1为短

直角边作第③个Ra.4OE：……依此规律，第⑳个直角三角形的斜边长为.

26.定义：因为（曰+两（百-历,可以有效的去掉根号，我们称

（或'+6）与（国-&）为一对，，对偶式，，.若加=-4T二=1,则J18-x+Jll-x=一,

四、解答题

27.计算：

(1)732^72-^1x718+724

⑵仲.万)价+6)-他-打.

28.计算题

_、

⑴府也_2府

(2)Jo.5+J-|-J|-+»旧-y/14

29.定义新运算：对于任意实数。、都有。㊉力二。（"力）+l,例如2㊉5=2x（2-5）+l=-5.

⑴求(6+3)㊉(C+1)的值;

（2）求（币-1）㊉（6例）的值.

30.对于任意实数a,b,定义一种运算"㊉''如下：，通H.如:

力㊉&=(可一怏j=3—2=l.

(1)2㊉庠,2加9小=

（2）已知（加+=求（〃?+©-（20-秋）的值.

31.观察下列等式，解答下列问题：

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第1个等式:

第2个等式:

第3个等式:

(1)请直接写出第5个等式：(不用化简);

(2)根据上述规律，请用含〃的式子表示第〃个等式(〃为正整数)，并证明等式成立;

(3)利川(2)的结论计算：#022+福■x/i五—,2021+/■X也而

32.学习二次根式时，小里发现一个有趣的现象:

个根号里的2经过适当的变化，竟然可以“跑”到根号的外面，好像“穿墙”，数字2称为“穿

墙数类似的“穿墙”现象还有许多,例如:降*，耳=4品.

(1)根据上述规律，=；

(2)请你用一个正整数〃(〃为“穿墙数”，2)表示含有上述规律的等式(不

需要证明)；

⑶按此规律，若6y=。祗(。为为正整数)，求。+力的值.

33.先阅读，后解答：

11x^2y[2#例J§+0)3+备

=3+新

在上述解题过程中，、万与拉相乘，6-4与J3+J2相乘，积不含有二次根式，我们可

将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化.

⑴，的有理化因式是:J5+2的有理化因式是:

(2)将下列式子进行分母有理化：

①％二——;②率——:

11

③77^=——；④b——；

⑶类比(2)中④的计算结果，计算：卷+寻耳+/$…+号市彳・

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34.【观察•发现】

填空:

【归纳•猜想】

如果〃为正整数，按照此规律，第〃个式子可以表示为：

【应用・运算】

①用发现的规律填空，并通过计算验证：、2024+熹=___________；

VZUZo

②直接写出结果：若曰^=啖,则屈=.

35.阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，大卜无故.这是武侠小说中的常见描述，

其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比.在二次根式中也有这样相辅相成的例子.如:

(有+扬・(6-点)=(6尸-(")2=1；(有+应).(追—")=(正)2-(")2=3,它们的积

是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式.干是,

2+忑(2+新.(2+后…行1lx-x/3出

二次根式除法可以这样解：哄*=QW).Q+6=2&丁5=丁像

这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或根号中的分母化去，叫作分母

有理化.解决问题: