立体几何与空间向量（学生版）-2027高考数学好题汇编

鱼体几何易变同匍量

考点01几何体中的面积与体积问题

1.（2026・北京卷•高考真题）已知三棱锥A—BCD,4D=AB=AC=2，，6。=6。=2,。。=2/，则它

的底面BCD的面积为，体积为.

2.（2026•新课标全国II卷•高考真题）已知球。的体积为％=4—兀，点4，B,均在球表面上，若

△A3C为正三角形，且D4=血，则S^BC=.

3.（2026.上海卷.高考真题）如图所示正四棱台ABCDABQQi，其中AB=4,AiB[=2.

（1）当44=2时，求和平面45GD所成角；

（2）证明：AAtH平面6CQ；若棱台高为3,求三棱锥4一BC.D的体积.

考点02空间中的位■关系

4.（2026・天津卷・高考真题）正方体4次7。一4目6以中，错误的是（）

A.AC//A}CVB.。6_1面48。C.面4GBD.A。。」面力⑵।

5.（2026•新课标全国【卷•高考真题）（多选）在空间中，4、笈为两个定点，动点C到直线46的距离为2,动

点。到直线的距离为1.若二面角。一48—。为60°,则（）

A.NC4O>60°B.CD>^

C.当力BJ.CD时，CD_1,平面力RDD.当ABJ.平面ACD时，AO_L

考点03空间向■的应用

6.（2026・上海卷・高考真题）已知空间直角坐标系中有一正方体，其三组棱分别与算轴、夕轴、z轴重合，顶点

力与坐标原点重合，点C是正方体底面中与力相对的对角顶点，点G在点。的正上方.将正方体绕直

线4G旋转一周，试问点。的运动轨迹会经过几个空间卦限（）.

C.4D.7

7.（2026•新课标全国I卷•高考真题）如图，在直三棱柱AI3C-431G中，ZXGZ5=90°,AC=I3C,D,E

分别为43,AG的中点.

⑴证明：DE〃平面石CGB；

⑵设CG=2,直线Z史与平面力CQ4所成的角为45°,求直线0E到平面BCCB的距离.

...........»

8.（2026・北京卷•高考真题）已知直三棱柱ABC-ABG,^BAC=90°,AB=AC=2,BB尸泥，E、D

分别为45、4。的中点.

⑴证明：DE〃平面RBQQ；

（2）点P在平面48G内，且即〃场G，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,

使得。唯一确定,求平面与平面。的夹角的余弦值.

①弘二吵

②B4_L3C；

③6/〃平面PDE.

注:如果选择条件①、条件②、条件③分别解答,按第一个解答计分.

9.（2026・天津卷•高考真题）在长方体ABCD-ABCR中，工石=2,44=3,为。=4,A}E=3ED,,

2C、F=FC.

⑴求证：m_1面。历；

（2）求面AEE与面CEF的夹角的余弦值;

（3）求三棱锥A-CE尸的体积.

10.（2026・上海卷・高考真题）已知四棱锥P-HZ?CD,底面力比。为矩形，P〃_L底面垂足“在

力。边上，且AH=1,HO=4,AB=2.

⑴求证

（2）若四棱锥P—的体积为当⑤，求二面角C—P8—H的大小.

11.（2026•新课标全国II卷•高考真题）如图，在三棱锥月一RC。中，点E在白。上，力EJ.CE,AE±DE,

CD±AD.

⑴求证：CD_L4?；

⑵若DE=2,BE=kAE=M,CD=2/.求直线力。与平面4Z?C所成角的正弦值.

模拟练测

一、单iffiB

12.（2026•山西忻州•模拟预测）已知圆锥的底面半径为2,母线长为4,则该圆锥的体积为（）

4V37LR8二江16V37T

A.C.8兀D.

333

13.（2026・广东广州•模拟预测）已知向量初=（2,0,—2）,而=（0,2,—2）,2=（-孙3馆,馆一3）,平面46。

的法向量它,若/I日,则m,的值为（）

A.1B.2C.3D.4

14.（2026•天津武清・模拟预测）已知恒，口是两条直线，”是一个平面，下列命题正确的是（）

人.若小_|,。，771_1_71,则71〃。B.若则m〃n

C.若m〃a,m_1_九，则？i_LaD.若zn_La，九Ua,则m_Ln

15.（2026•河北邯郸•三模）已知正三棱台ABC—4BG，AB=34/=9,侧棱A/=4,则正三楼台的体积

为（）

A.B.134C.D.39V3

16.（2026・四川广安•模拟预测）给出下列命题:①如果一条直线与一个平面内的两条直线垂直，那么该直线

与该平面垂直;②如果直线Q〃平面。，尸Ea,那么过点尸且平行于直线Q的直线有无数条且都在平面

a内；③已知a/是两个不同的平面，加为平面。内的一条直线，则“_L，'是的充分不必要条

件.其中正确的命题个数是（）

A.0B.1C.2D.3

17.（2026・陕西咸阳•三模）在四面体产一43c中，PA±平面ABC,AB=BC=2,120°.若四面体

P-ABC的体积为毕，则47与平面所成角的正弦值为（）

A.4B.5C.乎D.4

3567

18.（2026・四川遂宁•二模）在直三棱柱ABC-4耳G中，43_LBC,AB=BC=44］，点。为CG的中点，

点河为侧面ABB.A,内（含边界）的动点，且GM〃平面设直线GM与平面力684所成的角力

仇则tan。的最大值为（）

q..................

A.V2B.2四C.V3D.3V2

19.(2026•江西南昌•三模)注意力机制是一种让模型在处理信息时，能够“有选择地聚焦"于最关键部分的技

术，其核心是用数学中的向量来解决问题，设计三个关键向量：查询向量次表示我在寻找什么？)、键向

量而表示我有什么可提供？)和值向量员表示我实际提供的内容是什么).在计算注意力时,首先用4与

各个K(i=l，2,…,打)计算相似度Si=彳，K•，然后求权重例=~^—，记4=(劭3，@”…,纵)，则注意力输

i=l

出向量为(a'V^a^a-亦,…£-日).现有守=(1,2,3),.=(0,1,1),.=(12,6,8)也=(1,0,1),位=

(12,3,4)启=(1,1,0)禽=(12,6,4),则注意力输出向量为()

A.(8,7,6)B.(10,7,6)C.(9,7,8)D.(8,9,10)

二、多选JB

20.(2026•广东茂名•二模)已知正方体ABCO—4HG2的棱长为1，则()

A.南•血=0B.宓在初上的投影向量的模为1

C.BDy=BA]+BC]+BDD.丽与乐所成的角为45°

21.(2026•江苏南京•模拟预测)已知正方体力BCD-45GR,A4,N分别是面A6CD,面BCG8的中心.

则下列结论正确的是().

A.AXM1.BXDX

B.CQJ_平面AM。]

C.力卫与。N是异面直线

D.平面RMN将正方体分成前后两部分的体积比为2：1

22.(2026•辽宁沈阳•三模)在棱长为1的正方体A6CD-ABG"中，"，N分别为AB,BC的中点，则

()

...........»

A.MN"DQ\

B.DXNA.CM

C.点P在正方形48GR内，当。。〃平面时，。点轨迹长度为噂

D.点P在棱皿所在直线上，当BP_L平面BA4N时，四面体P-0CN的外接球表面积为多

乙

23.（2026・四川成都•模拟预测）空间中，平面Q上的动点PQ,y,z）满足方程「Ar+By+Cz=D,（A2+B2

+。2＞。），则称「为平面。的方程.同时也称平面Q的方程为并称元=（48。）为平面。的一个法

向量.已知方程分别为h：2c—y—z=0,「2：3。-2y—z=D的平面的交线为/，则下列结论正确

的是（）

A.经过点M（l,0,0）,峪（0,1,0），网0,0,1）的平面Q的方程为x+y+z=l

B.若平面Q的方程为：r.Ax+物+Cz=1,则坐标原点O到平面。的距离为

C.交线为Z的一个方向向量为方=（1,1,一1）

D.，与方程为心:①十2g-2z-l的平面％所成角的正弦值为率

三、填空题

24.（2026・福建度门・模拟预测）已知40,0,1）,6信5,0）,。（。,1,0）,则点力到直线及7的距离为.

25.（2026・上海静安•二模）在代表我国古代数学成就的经典著作《九章算术》中，称如下图中的多面体

ABCDEF为“刍（chu）养（mengy,若底面ABCD是边长为4的正方形，ER=2,且EFHAB,4AED

和是等腰直角三角形，N4EO=NBRC=90°,则尸。与底面为8c。所成角的正弦值为.

26.（2026•河北沧州•一模）如图,在长方体ABCD-45GR中，AB=河4。=441=2,M为AQ1的中

点，过点3作平面a与平面力与M平行，则平面a与底面AHG。的交线I的长度为；若P为I上

的动点，则动直线AP与CG的夹角的正切值的取值范围是.

四、解答题

27.(2026・重庆・三模)在正三棱柱ABC-48C中，已知AB=2,AAl=分别是棱AC,BC,

4G，BG的中点.

⑴证明：平面GDEH平面ABEQ；

(2)求平面GOE与平面力出㈤。夹角的余弦值.

...................0

28.（25—26高三下,山东・阶段检测）如图，在多面体4次7。跖中，平面小汨9_1平面工0C。，四边形

/BCD为直角梯形，四边形ABER为平行四边形，4?〃BC,AB_LBC,=4。=J•灰7=2,力斤=

V2Z?F=2V2.

（1）证明：CD_LBR；

⑵若点M是CE中点，求点M到平面6DE的距离.

29.（2026•上海黄浦三模）如图，三棱锥力一反7。中，D4=06=。。，BD±CD,=/49。=60°,

E为的中点.

⑴证明：BC_LD4；

⑵点尸满足加=屈，求直线力R与平面D4B所成角的正弦值.

30.(2026•山西忻州・模拟预测)如图，在三棱锥。一43C中，04,ObOC两两垂直，且04=03=OC=

2.点尸在三角形43。及其内部运动.设点P到平面0