高考数学总复习 导数的综合应用

3.3导数的综合应用

五年高考

考点1利用导数证明不等式

1.(2023天津,20节选，中)已知函数AV)=Q+01n(x+l).

(1)求曲线)守3在42处切线的斜率；

⑵当Q0时，证明：应。>1.

解析⑴/'(X)二产去-33+1),故曲线产市)在户2处的切线斜率为/⑵《-苧

Xi"1)XJ•

⑵指数找朋友法.

证明:当A>()时,网>1=1心+1)-壬>(),令g(R=ln(x+l)-岩Q0,gU)二:>(),故g(x)

在((),—)上单调递增，因此g(x)>g(())=o,原不等式得证.

2.(2021全国乙理,2(),12分，中)设函数启)=ln(a㈤，已知户()是函数产班x)的极值点.

⑴求。；

⑵设函数g(x)二需.证明次⑴<1.

解析⑴由题意得y-.iJ(x)-Ahi(a-A),AW(心刈),

/.y-ln(«-A)+A-^2^(-1)=ln(«-A)-^^,

•・•户0是函数产VW的极值点，

；・ln(a-0)-°八=0,可得a=\.

a—0

经检验,4=1时x=0是函数产切⑺的极值点L

⑵由⑴知a=1,f(x)=\n(\-x),x£(-8,1),

当x£(0/州寸,/(工)=111(1㈤<0,

.*.x/(x)<0,

当(-8,0)时,/(x)=ln(1-x)>0,

...矶0<0,

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・.・要证4')=需<1，只需证,吐向邛府).

XJ\x)

只需证x+ln(l-^)>xln(l-x)z

只需证x+(I-x)hi(1-v)>0,

令h(x)=x+(\-x)\n(\-x),

则%'(x)=l-ln(1-x)-l=-ln(l-A),

・・・当xe(()』)时"(x)>o,Mx)单调递增，

当(・8,0)时”(x)<0/(力单调递减，

，当X£(-8,0)U(0/)时风。>〃(0)=0,

/.x+(l-x)ln(l-x)>0在(-8,0)U(0,1)上恒成立.

3.(2022北京,20,15分，中)已知函数府)=e，ln(l+x).

⑴求曲线产/)在点。用)))处的切线方程；

⑵设#)=//),讨论函数g(x)在[0,+8)上的单调性;

⑶证明:对任意的5,re(0,+8),有人+/)习⑶“⑺.

解析⑴•••/®=e'ln(l+x)*=eJlMl+x)*],

o

.VW)=eLln(l+O)+I^J=l,

XX0)=e0ln1=0,

・•・曲线产/⑴在点(0,式0))处的切线方程为尸X.

(2)ga)=T(x)=e'Ln(l+x)岛」，

g'(x)=e'-ln(1+A')H---F--------——7

6''''l+xl+x(l+x)2

=erJn(l+x)+-+/*

''l+x(l+x)2

•・”£[0,+oc),Aln(l+启0七>0,前N0，

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又ex>0,，g3>。在［O,E)上恒成立.

.“(»在也+oo)上单调递增.

⑶证明:由⑵知g(x)=ra)在［o,+8)上单调递增，

W曲f'(0)=1>0,・・・危)在(o,+8)上单调递增，

不妨设.仑乙令h(x)=J(x)-f［x+s)(.v>0),

则〃rM=f'(x+s)<0.

因此〃(x)在(0,+oo)上单调递减，

：.h(O)>h(t),・・・欣)芥)Mtw+s),

又加)=0,，於+。次0优力.

4(2024全国甲文,20,12分，中)已知函数yW=a(x-l)-lnx+1.

⑴讨论加:)的单调性;

⑵设好2,证明:当.3时，/)<e。

解析⑴7W的定义域为@+8)J'(x)=a$

若则/(x)<0,故危)在(0,+oo)上单调递减.

若》0,则由尸(x)=0得人3，

当时JU)<0；当时J(x)〉O.

故府)在(0,习上单调递减，在&+8)上单调递增.

⑵要证明段)3」,等价于证明a(x-l)-lnx+l-ex,<0.

设^W=6r(x-l)-lnx+\-ev,(x>1),

则g。)二止*「

设M.ggOa3eT贝ij//U)=^-er,.

当x>l时卷〕efl,故力。)<0,所以g)=g'(»在(L+oo)上单调递减,

X

而g'(l)=a-2,又因为血2,所以gf(l)<0.

故当QI时,g'(x)<(),即g㈤在(L+QO)上单调递减.

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由于g⑴=0,所以当A->1时,g(.T)<0,

即当X>1时，孔1)«口

5.(2021新高考1,22,12分，难)已知函数及0=x(l・lnx).

⑴讨论火»的单调性；

⑵设a,b为两个不相等的正数，且川na-a\n氏小瓦证明：2<工+:<e.

ab

解析⑴函数的定义域为(0,z)J'a)=-lnx,令广(»>0,解得(Xx<1,令/(x)<0,解得

QL所以函数/⑴在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减.

⑵证明油b\na-alnb=ci-b得款+lna)=*(l+lnb),

1-ln

艮%(—n；)=H3

令即三阳二看则x\,X2'hj{x}=k的两个实根，当x—>0+时心)—>()+,当X—>+<»时,小)—>-0O,且

川)=1，故&£(0,1),

不妨令即£(0,1),M£(Le),则2-xi>l,e-xi>l,

先证明XI+X2>2,即证Xl>2-X\,

即证八碰)可(汨)勺(2-X1).

令扒2-x),xU(O,l),

则h\.x)=f'(x)+f,(2-A)=-Inx-ln(2-A)

=-ln[.r(2-A)].

Vxe(0,1),：.x(2-x)G(0,1),：.hV)>0恒成立,

・••力㈤为增函数,・・・)(力幼⑴=0.

i)<0,即人的)勺(2・国),

•,\A^2)</(2-X|)/.*.X2>2-X|,/.X|+X2>2.

再证笛+X2<e.

设刈=5,则t>\,

结,,i.z口.lna丁+1=丁lnd+,1『1几厂1必

可得M(l-lnxi)-.v2(l-lnx2),

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即1-lnxi=/(l-ln/-In汨),故In笛二1一’吗

t-1

要证》i+X2<e,即证(f+l)xi<e,即证ln(/+l)+lnx)<l,

即证ln(/+l)心上吗1,即证(8)ln(什l)“ln《0,

t—1

令S(r)=(r-l)ln(r+l)-rln

则S'(/)=ln(/+l)।丁；一1—In£=In(1+})-

因为ln(x+l)Sr(Al,当且仅当mO时等号成立)，所以可得当t>\时Jn(l+J<;<.，故

S")〈0恒成立,

故S⑺在(1,+8)上为减函数，故S⑺<S⑴=0,

故(1-1)ln(/+l)“lnz〈0成立，即Xi+X2<e成立.

综上所述,2[+卜©.

考点2利用导数解决不等式恒（能）成立问题

1.（2024天津,20节选，中）已知函数应力二仙］尤

⑴求曲线），=&）在（L川））处的切线方程;

⑵若./［］巨。（代正）对任意x七（0,+8）成立,求实数a的值.

解析（l）/V）=l+lnx,

・•・曲线）=/3在41处切线的斜率k=f1（\）=\,

••了⑴=（）,•'.切线方程为y-0=1（x・1）,即y=x-1.

（2）/3Na（x-五）恒成立，即xln正。（工-机）恒成立，

•「QO,Ainx>a（l-京）恒成立.

设g（x）=lnx-a

则8（亚o恒成立,g'G）W-e=

2

①〃>()时，令2J^=a,得xo=(0,

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,当-vG(°，e)2)时店，(力<0,当]£(6)1+8)时店

・・・久。在(0,(?)上单调递减，在《?2,+8)上单调递增

,•*g(1)=0,：・要使g(x)K)恒成立，

则仁)2=1,，4=2.

②心0时,g(r)>0恒成立尔(x)在(0,十8)上单调递增，

■:g⑴=0,；・g(x)N0不可能恒成立.

综上,6=2.

2.(2024全国甲理,21,12分，中)已知函数/)=(1-or)ln(1+x)-x

⑴若a=-2,求J[x)的极值；

⑵当•仑0时,.曲巨0,求a的取值范围.

解析⑴函数危)的定义域为(」+8),

当a=-2时,1/(A)=(l+Zr)ln(x+l)-x,

则:(x)=21n(x+1)+2，

令人)=213+1)保,则F'G)=;匕+7；^,

人I*人IXI/JAJ

可得F'(x)>0在GL+8)上恒成立，

则%)在(-L+00)上单调递增，

又F(0)=0,・•・当xe(-1,0)时,Rx)<0,当XW(0,+oc)时,Rr)>0,即当-K0时J")<0,府)单调

递减，当A>0时,/卜)>0,./«单调递增，

・・・府)在x=0处取得极小值，山)削布欣)=0,无极大值.

⑵•・・当x>0时,危)出又的)=0,

・・・臼(6在尸()处取得最小值.

乂/,a)=Hn(l+x)+(；：；"

令g3=TG)=Hn(1+6隹手，

则oU)=—+二^~="2加1

人」了1+x(l+.r)2(x+l)2，

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令h(x)=-cix-2a-1,x£［0,+oo)/(0)=2T.

①当即狂|时,30/(x)沙在。+8)上恒成立，即gUAO在［0”)上恒成

则g(x)在。+8)上单调递增，又鼠0)=0,从而尸⑴招⑴加在［0,E)上恒成立，

即加)在［0,+8)上单调递墙又；(())=(),.\Xr)>0在O+oo)上恒成立.

②当Q-l<0且-彷0,即庇0时/(x)<0在0+oo)上恒成立,

即gQ)<0在O+oo)上恒成立，则gG)在也+00)上单调递减，乂g(0)=0,

从而广(X)招(*0在0+00)上恒成立，危)在［0,+00)上单调递减，

又施)=0,・・m本0,与题意不符.

③当-221<0且30,即击。<0时,

令心)=得

0,x=-2-a->0,

・•・当(0,-2-时/(木0,即gU)<0在(0,-2-J上恒成立，

.•・g(x)在(0,—2-?上单调递减，乂g(0)=0,，以6<0在(0,—2-?上恒成立，

.,./V)<0在(0,—2-J上恒成立，从而/U)在(0,—2-上单调递减，

又人0)=0,AAv)<0在(0,-2-?上恒成立,与题意不符.

综.匕a的取值范围为(一%一1.

3.(2024新课标/,18,17分，难)已知函数/(x)=ln-^+a¥+p(x-1)\

2—*

⑴若。0,且尸㈤加，求a的最小值;

(2)证明:曲线产/卜)是中心对称图形；

(3)若风t)>-2当且仅当1〃<2,求b的取值范围.

解析⑴/⑴的定义域为(0,2).

"ib=0H'J,/(.r)=ln'~+a。

2-x

所以-(*?(£)'+°=舟严

11力/(X)一°,户片’^~X(X—2)=(x-l)2-lz

依题意得色岛］，

i」max

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所以当E时M取到最小值-2.

⑵证明:因为/(.v)=ln9■+依+〃(x“)3,

4一X

所以/[2㈤=ln号+〃(2㈤+6(1-x)3,

所以,/(2-X)+/(工)=为所以曲线产/(力关于(IM)中心对称,

即曲线),=/卜)是中心对称图形.

⑶由⑵知曲线产处)关于(1㈤中心对称，且危)在(0,2)内连续,

故f(\)=a=-2,即/(A)=]n^--2x+b(x-\y,x^(1,2),

z-X

小)=岛+3张」片

易知尸晟£(2，+°°)，

所以当以|时,/。)>。在(1,2)上恒成立，危)单调递增，

所以/WM1)=2成立.

当从]时，存在沏£(1,2),使得-；+3/k0,

3工0(2—“0)、

在(5)上,八木0,/)单调递减,

又/(1)=2,所以在(1由)上有/⑴<・2,不符合题意.

综上，可得行]

4.(2022新高考〃,22,12分，难)已知函数/)二泗"金

⑴当。=1时，讨论/W的单调性；

⑵当A>0时,人力<-1,求。的取值范围；

⑶设〃证明:高+高+•••+悬都帅+)

解析⑴当。=1时,./W=*W

则/'a)=x匕

当—)时J'(小0,危)单调递减,

当(0,+8)时JU)X),/)单调递增.

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⑵不等式等价于在味e“l<0,

令ga)=xea“'+l,x>0,则g'a)=(ar+l)e"-e。

且gtv)=ea'V/.r+1・e'")We'u[〃x+1-(x-ov+1)]

=(2a-\)xetlK,

①当心；时,<(人此(2%1).9%0遇(6在((),+00)上单调递减，所以雇次晨0)=0,满足题意;

②当反时，令心)/(X)=("叶1时"，

则h(x)=(o2x+2a)e""\故力'(0)=2a-1>0,

所以存在d>0,使得当x£(0/)n寸"(x)>0,

所以/?(»在(0/)上单调递增，故当(0/)时/(x)>〃(0)=0,

所以g(x)在。力上单调递增，故g(x)>g(0)=0,不满足题意.

综上可知图的取值范围是(一8,

⑶证明:构造函数/?(A)=x-j-2lnx(Ql),

则江)=1W-；中=喈，

易知hU)>0,・•・/心)在(L+oo)上单调递增，

lt(x]>h(1)=0,.,•x-1>21nx,

.1、tn+l

••.高+普+…+舟>山：++…+In”=ln(〃+l).原式得证.

考点3利用导数研究函数零点问题

1.(2021全国甲文,20,12分，中)设函数府上内斗〃.31nl+1,其中eO.

⑴讨论八寸的单调性；

⑵若)，=/卜)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围.

解析(l)./W=fl2x2+ar-31nx+\,xG((),+<»),

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(2ax+3)(ax-l)

:・f'(X)=2〃x+?|=2。*茨3

型及>0,

X

当(0弓)时/a)<0;当A-eQ,+8)时Jq)〉0,

・•・函数/(工)在(0、)上单调递减，在+8)上单调递增.

⑵・・・产加)的图象与x轴没有公共点且标>(),

・・・产贝力在(0,+oo)上的图象在x轴的上方，

山(1)可得函数应。在(。3)上单调递减，在(\+8)上单调递增,・・ja)m方/弓)=3-

3In-=3+31na>0,Ina>-\,

a

解得2

e

故实数a的取值范围是(：,+m)

2.(2020课标I文,20,12分,中)己知函数小)=小小+2).

⑴当。=1时,讨论小)的单调性；

⑵若孔丫)有两个零点，求a的取值范围.

解析⑴当於1时,府)**2,

则/。)=内1.

当x<0时JQ)<0；当Q0时J。)>0.

所以.ZW在(-8,0)单调递减，在(0,+8)单调递增.

(2)/W=e^/.

当心0时所以为)在(-电+8)单调递增，

故/⑺至多存在1个零点，不合题意.

当〃>0时，由/'(x)=0可得x=lna.当xe(-oorlna)时,(x)<0；当(Ina,+oo)时JG)>。.所以

/(x)在(-oojna)单调递减，在(Ina,+8)单调递增，故当A-lna时,应力取得最小值，最小值为

川n«)=-«(1+lna).

⑴若03导则.仙［力加公)在(-8,+00)至多存在1个零点，不合题意.

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(ii)若则/(In6/)<0.

由于42)=">0,所以火x)在沁山力存在唯一零点.

由⑴知，当x>2时£*2>0,所以当x>4且Q21n(2力时於)=5•嬴(x+2)>e网划(|+2)-

a(x+2)=2a>0.

故火力在(In4+8)存在唯一零点.从而小)在(-8,+co)有两个零点.

综上M的取值范围是@,+8)

3.(2021全国甲理,21,12分，中)已知〃>0且皿函数Av)=^(.r>0).

⑴当。二2时,求小)的单调区间；

⑵若曲线)，=/(x)与直线)=1有且仅有两个交点，求a的取值范围.

解析⑴当4=2时，

心)《/”飞”2=坐警.

令尸(x)=0,得广焉当0«意时JQA0,当心急时JQ)<0,

・•・函数九。在(o,专］上单调递增，布［专,+8)上单调递减.

⑵第一步:将曲线与直线产1的交点问题转化为方程的根的问题.

令小)=1,则喧=1,所以YS

第二步:将鬲指数形式转化为对数形式，并参变量分离.

两边同时取对数，可得«lnA-xln«即更=—.

xa

第三步:将方程的根的个数转化为两个函数图象的交点个数，并构造函数研究单调性.

根据题意可知，方程也=也有两个实数解.

xa

设市)二”则g。)二穿，

令gQ)=0,则x=e.

当(0储)时,g'(x)>0,g(x)单调递增；

当(e,+oo)时,g3<0,g(x)单调递减.

第四步:根据交点个数，数形结合写出参数范围.

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又知以1)=0,limg(x)=0,g(x)n*g(e)W

x-»+ooe

所以要使的线产/⑴与直线)=1有且仅有两个交点，则只需詈e(0,》即虱公考e

(0,所以ae(1,e)u(e,4-oo).

综上，实数a的取值范围为(Le)U©y).

4.(2022天津,20,16分，难)已知a力£R,函数,/(x)=e，/sin,1店(力=力4.

⑴求曲线卡/卜)在((*(()))处的切线方程.

⑵若曲线尸孔t)和产g(x)有公共点，

⑴当4=0时，求”的取值范围；

(ii)求证:〃+〃*.

解析⑴由己知得/(0)=1J'(x)=e%cosxJ'(0)=I-a,

故曲线严加)在(0,40))处的切线方程为产(1/1.

⑵(i)第一步，构造新函数.

由曲线月㈤和尸企)有公共点，得及)=g(x)有解，

设g)=eU/，则刀⑴二。有解，易知bX).

设p(x)=Mx)=e%3则〃我)=门会>0,

故产人。)在定义域上单调递增.

当X趋近于0时"(X)—>-8；当X趋近于+8时"(X)—

第二步，隐零点代换.

故存在助使"(*))=0,即e*。-=0=>b=2j高铲。，

力(1)=&匚在(0由)上单调递减，在(沏,+oo)上单调递增.

所以M»min%(沏)，求/?(Xo)<0即可.

又/?(xo)=ex0—byfx^=ex°—2x0ex°=ex°(l-2xo)<0,

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所以H号

易知当X号时力=2>2,e2=V2e.

故实数b的取值范围是［博,+8).

(ii)证明:依题意，存在实数/>0,使得e%sin/-/八「二0,即asmt+by/t=d.

设向量ElI同同cc、Vw>W|词闻,得(〃2+/>2).(Mn2f+r)N(〃Kin

r+/?Vt)2=c2/,

因此〃+危.彳.记/?(x；=r-sin为有〃'(X)=1YOSXN0,则〃(x)是增函数，故当0令6

olllI-।v

时,P(x)>〃(0)=0,即0<sinx<x,进而有OvsiRvF.又当x"时，有0微后2烂1<^2,所以对x>0,恒

a2t02c

有OSsilRra2.因此,4+/2.2>7TZ7.

sin2t+tt2+t

记函数〃(犬)名/>0,贝I」♦令〃'(x)=0,解得或A-《(舍去).当X变化

时“(x),〃a)的变化情况如表:

故3)的最小值为〃(?)=2(&-1暧.卜面只需证明2(V2-l)e^>e,BP(V2-l)e^-1>，记

函数u(x)=e**l.当x>0时，有"(X)=eU>0,则y(x)在心+oo)上单调递增，进而V(J)>V(O)=O,EP

e%+l.所以,(&/)-一七(a⑴x&=2-V2>3.命题得证.

5.(2022新高考I,22,12分，难)己知函数风力二炉-”和g(.0=ar-】nx有相同的最小值.

⑴求a；

⑵证明:存在直线产瓦其与两条曲线产/⑴和尸g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右

的三个交点的横坐标成等差数列.

解析⑴/'(x)=e%店'⑺”；.

当好0时J'(x)>0恒成立J(x)在R上无最小值，不符合题意.・・・。>0.

令/(工)=0,得41n4令g'(x)=O,得.r=i

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易知./U)min=y(lnd)=a-a\na,

g(X)min=g(；)=l+ln0

•\a-a\na=l+ln«即Ina=^-@.

a+1

令/?(.v)=lnx-^(.v>0),

贝ij/?'&)2-------=>+i->o

人JVVy(Y+1)2r(r+1)25

・・・力(力在(0,+8)上单调递增，则/?(»最多有一个零点.

又/?(1)=1111-缶=0,

・•・方程①有且仅有一解，为a=L即为所求.

⑵由⑴知,./(x)=e'-x,g(x)=x-ln%当x<0时，危)单调递减当x>0时,府)单调递增；

当0c<1时次(x)单调递减，当x>l时国(x)单调递增.

不妨设直线y=b与)可(0的图象的两交点的横坐标分别为孙M与产g(x)的图象的两交点

的横坐标分别为工2用,且工|令243.则e*l—xl=er2-X2=X2-lnX2=X3-lnX3,

eX1—xl=x2—In%2=elnX2-\nxi.

易知不£(-8,0)/2£(0,1),

则lnx2^(-co,0),

又./W在(心,0)上单调递减，

.*.xi=In12,同刊！X2=lnX3,x：=eX2.

<eX2-X2=X2-lnxz,/.inX2+e%2=2x2.

/.Xl+X3=ln%2+e'2=2x2.用用成等差数列.

6.(2021新高考II,22,12分，难)已知函数/(.v)=(.v-1)e'-av2+^.

⑴讨论函数4x)的单调性；

⑵从下面两个条件中选一个，证明：/«有一个零点.

VQW5力>2%

②Ov〃q,后2a

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解析⑴:几。=(4iH-加+瓦

・•・/。)=疣'2*.*匚2〃).

①当方0时e-2〃>0对任意A-eR恒成立,

当(代⑼时JQ)<0,

当x仁(0,+oo)时J<x)>0.

因此产/卜)在(-8⑼上单调递减，在。+8)上单调递增.

②当a>0时，令e'-2a=0=x=ln(2〃).

⑴当0<吗时,ln(2a)<0.

)=f'(.r)的大致图象如图1所示.

y

图1

+[/+-

图2

因此当%e(-8,111(2〃))u(0,+8)时J'(x)>(),

当八七(山(2。0)时,/QKO,

所以外)在(-82(次))和(0,+oo)上单调递墙在(ln(2力⑼上单调递减.

(ii)当4二，I寸,ln(2a)=0,此时广(工)却对任意R恒成立，故危)在R上单调递增.

(iii)当时,ln(2a)>0,

)可。)的大致图象如图2所示.

因此，当N(-oof0)U(ln(2a),+oo)时J。)>0,当X£(0,ln(2a))时J'(x)<0,

所以年)在(-8,0)和(ln(2〃),+oo)上单调递增，在(0Jn(%))上单调递减.

⑵选①.

证明油⑴知,心)在(3,0)上单调递增，在(0,32。)上单调递减，在(ln(2“),+8)上单调递墙

又㈣如=(一m-1日艮。，

第15页共26页

所以危)在(-8⑼上有唯一零点.

当尢£(0,+oo)时,

y(.v)>/(ln(2«))=[ln(2«)-\]2a-a\n2(2a)+b

ii(2力[2-1n(2a)]+/?-2an(2a)[2-1n(2a)].

因为JVaW三，所以0<ln(267)<2,

所以小)>0对任意QO恒成立.

综上J(x)在R上有唯一零点.

选②.

证明油⑴知危)在(@北(2力)上单调递增,

在(h1(2a),0)上单调递减，在(0,")上单调递增，

J[0)=b-\<0.

当X一+8时,人力―>+00,所以一定存在Xoe(0,-hX),

使得y(xo)=o.

结合单调性知、/U)在⑹+00)上有唯一零点.

当X£(Q,0)时,/(力勺(ln(2a))=aln(2a)・[2・ln(2a)]+b・2av0r即/(x)vO对任意x<0恒成立.

综上)⑺在R上有唯一零点.

三年模拟

能力拔高练1

1.(2025届江苏连云港高级中学学情检测,14)已知:函数41)是定义在R上的可导函数，当

x>0时JUR'GD若g(.r)=/(xH/(㈤，且对任意工需,1],不等式以利+1)与(42)恒成立，则

实数。的取值范围是.

答案[-2,0]

2.(2025届福建漳州重点高中开学考,16)已知函数J(x)=ae-\nx-\.

⑴设尸2是./W的极值点，求并求人工)的单调区间；

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(2)证明:当武时,/WK).

解析⑴危)的定义域为(0,+8)/(小泡3

则/'⑵=源-1=0,解得。■澈/a)W-

易知广(力在区间(0,+8)内单调递增,且尸⑵=0,

由，(力>0,解得Q2；由，仅)<0,解得04V2,

所以应寸的单调递增区间为(2,y),单调递减区间为(0,2).

⑵放缩法

”144时,,/U)犬-lnx-\.

设g(x)q/nX-1,则gV)=7-7

当0<x<\时,g'(x)v0；当x>\时,g'(x)>0.

所以41是以工)的极小值点，即是g(x)的最小值点.

故当x>o时送(工)沟⑴二o.因此当时,/WK).

3.(2025届福建莆田一中开学考,16)设曲线J(x)=ov-lnx在1处的切线垂直于y轴.

⑴求函数凡t)的单调区间；

⑵若入>1,证明7W<eE-x+l.

解析⑴因为曲线./U)=〃x-lnx在处的切线垂直于)，轴，所以/⑴=0.

由f(x)=ax-\nx得则/⑴=〃-：=()=>〃=1,

则;«二八5匹/'(6=1+=?，

当x£(()用时,/但<0,危)单调递减;

当x£(L+8)时,广(»>0,,/)单调递增.

则/⑴的单调增区间为(L+8),单调减区间为(0,1).

⑵证明；/(x)<eE-x+L即x-\nx〈er"-x+L

即2x-ln》-eZ-1<0,设M.r)=2Enx-eZ-LQl,

贝ij〃'(X)=2-1-ex-1=―二令g(x)=2r-xeX"-L

第17页共26页

贝ij^U)=2-(ev,+xev,),

令仰廿,则9。)=-5+1),因为x>l,则令㈤乂)恒成立，则以x)在(L+oo)上单调递增,

则易知g。)=2-(”+次不在(L+oo)上单调递减,

则g'a)vg'(l)=O,则g(x)=2¥-xex',-i在(L+oo)上单调递减，则ga)〈g(l)=0,

则〃Q)<0在(L+oo)上恒成立,

则〃(x)</?⑴=0,即危)<e*Lx+1.

4.(2025届河北联考,18)已知函数Av)=er-2.v(x>0).

⑴求证及丘铲;

⑵求方程/)二x解的个数;

⑶设色功£N：证明:高+焉+…+-=>m几

解析⑴证明:令以工)或)e』'2c0),

所以")二炉哈-2(后0),

所以g\x)>2J铲.42=0,当且仅当即户0时，等号成立,

所以当［0,+oo)时,g'a)R,g(x)单调递增，则g(x)遂(0)=0,所以凡,得证.

⑵由./W=x得。匚力=武启0),即er-3A-=0(x>0),

令g(x)=e,-3x(启)0,

所以函数g(x)的零点个数即为方程/U)=x解的个数,

g'(x)=eJ33)),令g'a)=0,即e、=3,解得x=ln3,

g(Y),g(N)随A的变化情况如表:

X[0,ln3)In3(In3,+oo)

g1(x)-0+

g(x)单调递减3-3/〃3单调递增

因为g(0)=l>0,g(ln3)=3-31n3<0,所以g(x)在[0,ln3)上有唯一一个零点,

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又履5)=/-15>25-15=17>0,所以虱。在(hi3,+00)上有唯一一个零点.

综上所述，方程/3=x有两个解.

⑶证明:由⑴知曲2x・e“XU£(0,+oc),

令x=lns(s>l),则s・21ns・s">0,即5-j>2ln5(5>1),

设s=J1+二,佗2,〃£N；满足s>1,

>

所以Ji+W--TT2mJ1+W,即/(1+去)所以高>上三二E

n-11n-1

所以3++…+高2-ln1+1113-In2+…+lnn-ln(/z-l)=ln〃，匕+

11

用+…+月/几

能力拔高练2

1.(2025届河南濮阳质量检测,8)已知当Q0时恒成立，则实数a的取值范围

为()

A.(-8,l]B.(l,e2]

C.(-8,2]D.[e,+<x>)

答案A

2.(2025届安徽六校质量测评⑻已知函数/U)=xe"-】nx*|a比若对任意的x>O,J[x)>]恒成

立，则实数。的取值范围为()

A.[-3,3]B.[-2,2]

C.t-4,4]D.[-l,l]

答案B

3.(2025届重庆巴蜀中学月考』4)对于函数./UTe'-f+a/xAxln为若对任意的汨£[0用,存

在唯一的足£原目使得人M)=虱0则实数''的取值范围是.

答案

4.(2025届浙江Z20名校联盟联考,18)已知函数/(x)=Mnx(x>0).

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⑴设函数以»=/341-0求函数雇工)的极值；

⑵若不等式、/«汝工+〃(〃力WR)当且仅当在区间B+oo)上成立(其中e为自然对数的底数),

求帅的最大值；

⑶实数in,n满足0<小<〃,求证：ln阳+1<〃------<ln〃+l.

n-m

解析⑴由./(x)rlnx得g(x)=xlnx+(1㈤ln(1㈤,0w1,

求导得g(W=1+1nx-ln(I<r)-1=1=1n—1^,

当Op时旦(木0,当衿<1时,g3>0,

则函数小)在(0弓)上单调递减，在6，1)上单调递增，

所以当号时，函数g(x)取得极小值^(1)=-ln2,无极大值.

⑵函数危)=Hn%x£[e,+⑹，求导得尸(x)=l+lnx,易知尸(力>0,则函数危)在[e,+8)上单调

递增,

依题意，并结合图象有匕(：)；ae+b，即无；Ia*解得闫，

于是ab=ea(\-a)=-e(^a-0+浮点当且仅当旧时取等号，所以ab的最大值是*

、n-m—Inm

令巴=/,由()</〃<〃,得t>\,

m

令h(t)=tlnf-f+1,求导得h'(t)=\nt>0,

I数g)在(L+oo)上单调递增/(/)A?⑴=0,因此%>L

即心于是〃?+I.

n—m।n-m

f(n)-/(m).nlnn-mlnzn-(n-m)lnn1.nInr

Inn==n-In—=—,

n-m---------------n-m-----------m1mt-l

令°(/)=inw+L求导得e⑺

易知，S<0,所以函数次)在(L+oo)上单调递减，

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刈<研1)=0,因此粤1,即及第%n〃<1,

则302<巾〃+]，所以m〃7+l<"n)—"m)〈|n〃+1.

n-mn-m

5.(2024北京西城期末,20)已知函数/(x)=%-ln(_r+a),其中“>0.

⑴当斫2时，求曲线月⑺在点(-1,41))处的切线方程;

⑵若函数凡0的极小值为0,求a的值；

⑶在⑵的条件下，若对任意的[0,+oo)J(x)殳v2成立,求实数k的最小值.

解析⑴当a=2时,小)二—2),则广出二1-点

故/(-1)=1鼻=°，又加)二1，

故曲线)，=小)在点(1火-1))处的切线方程为产-1.

⑵「而言==(4〃)，

故当x>1-a时,/'(x)>0,4¥)单调递增,当-a4v<1时J'(力<0,小)单调递减，故当x=1-a时,

府)取得极小值，故川-a)=1-«-lnI=0,故a=1.

⑶由⑵知a=1，故危)=x-ln(x+1),

故对任意的[(),+<»),/(.r)</Lr成立,只需对任意的[0,E)&2+ln(x+l)-xK),

记g(x)=kx2+\n(x+l)-x,

则g，(»=2匕++-i=吗：T),

①当0<k4时捺”>0,

/ZAC

故当归(今1时内'(*0,虱。单调递减，

当X时,gW>0,g(x)曲调递增，

故当入4-1时,g(x)取得极小值也是最小值，

故g(X)min=g£-l)<g(0)=0,不符合题意,

②当心时白⑼，

乙ZK

故当A>O时原(力川田㈤单调递增,

故g(x)遂(0)=0,符合题意，

第21页共26页

③当KO时/-I<0,

故当x>0时,gQ)WO,g(x)单调递减,

故g(x)%(0)=0,不符合题意,

④当k=()时，当x>0时,gQ)SO,g(x)单调递减,

故g(x)支(0)=0,不符合题意.

综上可得，母，所以实数々的最小值为;.

6.(2025届河北定州中学开学考/8)已知函数J(x)=ac2s+(a-2)cx-x(a仁R).

⑴当eO时，求曲线心)在。火0))处的切线方程;

⑵讨论./«的单调性;

⑶若./U)有两个零点,求实数a的取值范围.

解析⑴当a=0时,函数/(.v)=-2ev-x,<0)=2

又.(x)=2eL1,则尸(0)=2-1=-3.

所以曲线/U)在点(0,/(0))处的切线方程为)，二342.

⑵由题意知,小)的定义域为(-吗y),

fV)=2«e2r+(«-2)ev-1=(2eT+1)(〃e'-1),显然2e'+1>0恒成立,

①若HO,贝I/'(6<0,此时风力在(-%+8)上单调递减；

②若〃>0,令/。)=0,解得x=-lna.

当x€(-00,-111a)时,尸(力<0,当(-Ina,+oo)时J'(x)>0.

所以危a)上单调递减，在(-In4+8)上单调递增.

综上，当匕0时,J(x)在(348)上单调递减;

当。>0时J(x)在a)上单调递减，在(-h】a,+co)上单调递增.

⑶若好0,由⑵知,./«至多有一个零点,不符合题意;

若a>0,由⑵知，当x=-ln〃时取得最小值，为川-ln〃)=13+坨a.

设g(x)=l孑n%则gU)q+；=要>0,

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故g（x）=l1+lnx在（0,+oo）上单调递增，且8⑴=0,

⑴当（/G[l,+oo）Bt,/（-ln（/）=1-^+1n介0,此时/U）没有两个零点；

（ii）当a£（0』）时人Ina）=1-Ina<0,

422

X/（-2）=ae-4-（a-2）e'+2>-2e-+2>0/

故49在（-8"na）上有一个零点;

',1A->ln-lH,llle>>e%可得ex>-,H|Jae，>3,得ae'-3>（）,则ae'+a-3>0,

aa

故e'（ae'+a-3）>（）,即a>0,又易知e'>x,

则v-3ev+el-.¥>0,KP4。，+（〃-2把二。0,

因此,/W在（-Ina,+8）上也有一个零点.

综上，若小）有两个零点,则实数〃的取值范围为（0,1）.

7.（2025届广东六校联考[7）已知函数./W=e'+acosx的图象在x=0处的切线方程为

y=x+2.

⑴求实数。的值；

⑵探究火x）在区间（一券+8）内的零点个数，并说明理书.

解析⑴由府）=e'+acosx的图象在户0处的切线方程为尸户2,可知切点坐标为（0,2）,

（2分）

故y（0）=e°+acos0=2,解得a=\.（4分）

⑵由（1）可知、/W=e'+cosx,.VW=ex-sin”（5分）

令ga）=r（，ga）b-cos茁

当.14一斗,一同时国G）>0,则展0在区间（一手，一TT）上单调递增.（6分）

=e_T-l<0^（-7i）=ex>0,

由零点存在定理可知，存在x（）£（-黑-五）使得g（xo）=。,即e，。=sinXQ,（7分）

・••当（-芸&）时JQ）<0网在区间（