八年级数学下册 期末试题汇编（福建）矩形（解析版）

专题04矩形

1.（24-25八年级下•福建泉州・期末）如图，在四边形A8CO中，点E,F,G,，分别为各边的中点，按

图中的虚线将其分成四个四边形，再重新拼成一个四边形，则拼成的四边形是（）

A

BFC

A.对角线不相等的平行四边形

B.对角线相等的平行四边形

C.对角线垂直的平行四边形

D,对角线垂直且相等的平行四边形

【答案】B

【分析】本题考查矩形的判定与性质，正确拼出矩形是解题的关键.

拼成的四边形为矩形，根据矩形是对角线相等的平行四边形，即可解答.

【详解】解.：按图中的虚线将其分成四个四边形，再重新拼成一个四边形,则拼成的四边形如图，其中点

A氏。,。重合于点。

・••拼成的四边形为矩形，则矩形是对角线相等的平行四边形.

故选B.

E

2.（24-25八年级下•福建福州.期末）下列关于矩形的说法，正确的是（）

A.矩形的对角线互相垂直B.矩形的对角线平分一组对角

C.矩形的邻边一定不相等D.矩形的邻边互相垂直

【答案】D

【详解】此题考查了矩形的性质，根据矩形的性质判断即可.掌握矩形的性质是解题的关键.

【分析】A.矩形的对角线不一定互相垂直，故此选项说法错误，不符合题意；

B.矩形的对角线不一定平分一组对角，故此选项说法错误，不符合题意；

C.当矩形为正方形时，矩形的邻边相等，故此选项说法错误，不符合题意；

D.矩形的邻边互相垂直，故此选项说法正确，符合题意；

故选：D.

3.（24-25八年级下•福建莆田•期末）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）

A.对边相等B.对角相等

C.对角线互相平分D.对角线相等

【答案】D

【分析】本题考杳了矩形的性质，属于基础题型，熟知矩形对角线相等的性质是解题的关犍；

根据矩形的对角线相等，而一般平行四边形的对角线不具有此性质判断即可.

【详解】解：矩形具有一般平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分的性质，还具有一般平行

四边形不具有的对角线相等的性质；

故选：D.

4.（24-25八年级下•福建泉州•期末）如图，已知在矩形ABC。中，AE上BD于点E,ZABD=36°,则

【答案】A

【分析】本题考查矩形的性质，等边对等角，根据矩形的性质，得到。人=03,等边对等角得到

Z0AB=ZABD,三角形的内角和定理，求出NB4E的度数，角的和差关系求出NOAE的度数即可.

【详解】解：•・•矩形ABC。，

：,OA=OB=OC=OD,

・•・/QA8=NABO=36。，

•；AE工BD,

・•・ZAEB=90°,

：.々BAE=90°-ZABD=54°,

・•・/CAE=/BAE-NOAB=18°；

故选A.

1.（24-25八年级下•福建厦门・期末）如图，矩形A8C。的对角线AC,8。相交于点0,ZAOD=120°,

AB=4,则AC长为（）

A.273B.4C.4x/3D.8

【答案】D

【分析【本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质.由矩形的性质得山0A=08,AC=2OA,

证明VAO8为等边三角形，得出AO=A8=4,据此计算即可得解.

【详解】解：•・•四边形48CD为矩形，

：,OA=OB.AC=2OA,

•・•ZAOD=120°,

/.Z4OB=1800-ZAOD=60°,

・•・VAOB为等边三角形，

・•・AO=AB=4,

・•・AC=2OA=8,

故选：D.

2.（24-25八年级下•福建福州•期末）在矩形ABC。中，对角线4。、8。相交于点。，AC=6,则OB等

于（）

A.3B.4C.6D.12

【答案】A

【分析1本题考查了矩形的性质：矩形的对角线相等，且互相平分，理解性质定理是关键.根据矩形的对

角线相等，且互相平分即可求解.

【详解】解：:四边形4BCD是矩形,

BD=AC=6,

・•・OB=-I3D=3,

2

故选：A.

3.（24-25八年级下•福建福州•期末）如图，在矩形48。。中，点8坐标为（2,4）,4C与），轴相交于点

若AC〃x轴，则以）的长为（）

A.75B.75C.2N/2D.2G

【答案】c

【分析】本题主要考查了矩形的性质，两点间距离公式，熟记矩形的性质定理并灵活运用是解题的关

键.连接OBI。，设ACED交于点M,根据矩形的性质可知”（1,2）,由FAC〃x轴，得到。的坐标,

再利用两点距离公式求解即可.

【详解】解：如图，当4C〃x轴忖，连接。及以），设AC1。交于点M,

•・•四边形O43C是矩形,

•・•B(2,4),

'2+04+0

.••历

~~即M(l,2),

,/AC〃上轴,

・・・MD〃x轴,

•・•点。在），轴上，

・•・0（0,2）,

:.BD=百+（4—2）2=2拒.

故选：C.

4.（24-25八年级下•福建龙岩・期末）如图，矩形A8CD的对角线AC,8。相交于点0,若4。=5,则

50的长是（）

AD

B.10C.15D.20

【答案】B

【分析】本题主要考杳了矩形的性质，根据矩形的性质可得出忙=阴），AO=^AC,根据4。=5即可求

出BC.

【详解】解：•.•四边形A8CO是矩形，

.-.AC=BD,AO=-AC,

•••40=5,

•RD-ACT。,

故选：B

5.（24-25八年级下•福建南平•期末）如图，在平面直角坐标系式6'中，矩形0ABe的顶点点月的坐标是

（2,3）,则线段AC的长度为（）

A.75B.不C.V13

【答案】C

【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关健;

本题由两点之间的距离计算公式求出08的长，然后根据矩形的性质对角线相等，即可求解;

【详解】解：连接08,如图：

•顶点8的坐标为（2,3）,

:・0B=4爱+学=岳,

•・•四边形O43C是矩形，

・•・AC=0B=而；

故选：C

6.（24-25八年级下•福建国门・期末）八年级（1）班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，如图，计划用

红花摆成两条对角线，如果一条对角线用了25盆红花，那么还需要从花房运来红花____盆.

【答案】24

【分析】此题主要考查矩形的性质的实际应用问题.首先根据题意，矩形的对角线相等，一条对角线用了

25盆红花，可判定另一条对角线也是25盆红花，又因为两条对角线有一个交点，所以还需要24盆红花即

可.

【详解】解•：根据题意，矩形的对角线相等，

•・•一条对角线用了25盆红花，

・••另•条对角线也是25盆红花，

又•,•两条对角线有一个交点

・•・还需要24盆红花即可.

故答案为：24.

7.（24-25八年级下•福建福州•期末）如图，在矩形48C。中，4c=10,则08的长是.

AD

【答案】5

【分析】本题主要考杳了矩形的性质，根据矩形的对角线相等互相互平分，据此即可作答，掌握矩形的对

角线相等且相互平分是解题的关健.

【详解】解：•・•四边形43co是矩形，

AAC=BD=10,OR=-RD,

2

・•・013=5,

故答案为：5.

8.（23-24八年级下.福建龙岩.期末）如图，在矩形A8CZ）中，/山=3,BC=6,分别以点A和C为圆心，

以大于（AC的长为半径作孤，两弧相交于点M和M作直线MN交AD3C分别于点£,F,则AE的长

【分析】如图，连接AF,由题意知，8-4"-3,AD-BC-6,是线段AC的垂直平分线，

AF=FC,T^AF=FC=a,则即=6—a,在Rt^ABF中，由勾股定理得，A尸一3尸=4加，即

"_（6-0）2=32,解方程，再证明则AE=FC=〃=P；进而即可求解.本题考查了矩形的

性质，垂直平分线的性质，勾股定理.全等三角形的判定与性质，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵

活运用.

：,CD=AB=3,AD=BC=6,AD//BC

•・•分别以点A和C为圆心，以大于!AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和M作直线MN交ADBC

分别于点E,F

・・・WN是线段AC的垂直平分线，AO=OC,

AF=FC,

设AF=FC=a，贝IBF=6-a,

在R^ABF中，由勾股定理得，AF2-BF2=Alf，

即a2—(6—fl)2=32,

解得

4

•・•AD//BC

・•・^EAO=^FCO

'：/EOA=4FOC,OA=OC

JM哙AFOC

AE=FC=a=—；

4

故答案为：?

4

9.(24-25八年级下•福建福州•期末)图1、图2是两张形状，大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小

正方形的边长均为1,请在图1、图2中分别画出符合要求的图形.(所画图形各顶点必须与方格纸中的小

(1)在图1中画出一个以线段AB为一边的平行四边形A4C。，使其周长为20.

(2)在图2画出一个周长为20,面积为24的矩形/WCO.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

【分析】本题考查了网络作图：在格点图中画特殊四边形，掌握特殊四边形的判定与性质是关键.

(1)由勾股定理得A8=5,则其邻边入。=5,只要把线段向右平移5个单位长度即可，且其周长为20：

(2)画出长为6宽为4的长方形即可，矩形的面积即为24.

【详解】(1)解：如图平行四边形A3CO即为所求.

10.（24-25八年级下•福建厦门・期末）如图，在VA8C中，AB=AC.

（1）求作矩形4YE,点。在8。上.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）的条件下，连接应:交4。于点尸，求证：点尸为的中点.

【答案】（1）见解析

⑵见解析

【分析】本题考查了作图一基本作图，矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练

学握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

（1）先作4。平分/8A。交再分别以4、。为圆心，CD、AO为半径作弧，两弧交于点E，

最后连接AE、EC,即可得到矩形ADCE；

（2）由等腰三角形的性质可得4Q=C。，ADJ.BC,由矩形的性质可得AE=C。，

/FAE=/FDB=%。,推出8O=A£.再证明aAEF会,即可得证.

【详解】（1）解：如图，矩形4YE即为所作，

(2)证明：•・•A8=AC,AO平分N8AC,

ABD=CD,ADJ.BC,

V国边形ADCE为矩形，

AAE=CD,ZFAE=ZFDB=90°,

BD=AE,

,/ABFD=ZEFA,

：.&AE/绦Z)M(AAS),

，FA=FD，

・•・点尸为AD的中点.

20

11.(24-25八年级下•福建厦门•期末)己知：如图，在矩形ABCD中，48=5,4。=可，AE1BD,垂足

是E,点F是点E关丁AB的对称点,连接A厂、BF.

(1)求AE和比的长;

(2)若将沿着射线8。方向平移,设平移的距离为加(平移距离指点8沿8。万向所经过的线段长度)

当点尸分别平移到线段ARAO上时,求出相应的，〃的值.

【答案】(1)AE=4,BE=3

(2)当点尸落在A8上时，机=3；当点尸落在AO上时，m=—

【分析】本题考查了轴对称与平移变换、矩形、勾股定理等知识点.在计算过程中，注意识别平移过程中

的不变量.

(I)利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解:

(2)依题意画出图形，利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出，〃的值;

20

【详解】(1)解：在RtZXAB。中，AB=5,AD=y,

由勾股定理得：BD=jAB、AD，=

v5,Rn=-BDAE=-ABADt

A22

20

«ABADnx

，AE=-------==4

BD25

T

在RtAABE中，AB=5,AE=4,

由勾股定理得：BE=3

(2)解：设平移中的三角形为△48/，，如图:

由对称点性质可知，ZI=Z2.

由平移性质可知，AB//AfB\N4=/LBF=B,F>=3>.

①当点尸落在A8上时，

z.Z3=Z4,

/.z3=Z2,

.•.6B'=W=3,即m=3；

②当点尸落在4。上时，

.-.Z6=Z2,

vZl=Z2,Z5=Z1,

:.Z5=Z6,

乂易知A"'J_40.

.•・△87”）为等腰三角形，

BD=BF'=3,

=—-3=—,即/〃=3.

333

矩形与折叠问题

I.（24-25八年级下•福建福州•期末）如图，将长方形ABC。沿着4E折叠，点。落在AC边上的点尸处,

已知A8=8,BC=10,则EC的长为（）

A.4B.3C.5D.2

【答案】B

【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，由翻折可知：AD=AF=\O,DE=EF,设

EC=x,则=在RtZ\EFC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题.

【详解】解：•・•四边形A8C。是矩形，

.•.40=3c=10,AB=CD=8,

NA=40)=90。，

由翻折可知：AD=AF=\^DE=EF,

设EC=x,则。石=EF=8-x,

在/中，BF=JA尸-AB?=J102-G=6

：.CF=BC-BF=\Q-6=4,

在•中，EF2=CE2+CF2,

.-.(8-x)2+42,

A—3,

/.EC=3.

故逃：B.

2.(24-25八年级下•福建厦门・期末)如图，将长方形A8C0放置于平面直角坐标系中，点。与原点重合，

点A,C分别在y轴和X轴」二，点4(8,4),连接80,并将沿80翻折至长方形A8CO所在平面，点

【分析】本题考查轴对称，勾股定理，等腰三角形的判定及性质.过点E作EF_Lx轴于点儿由8(8,4)

可得AO=8C=4,AB=OC=S,由长方形A8CO与折叠的性质可得N8OD=NO3O,从而BD=OD,设

OD=x,则CD=8—x,BD=x,在RtZ\8a)中，根据勾股定理得4c?+。加=引方，代入即瓦解得

12

00=瓦)=5,根据△4)£：的面积可求得研二行，进而在RS0所中，根据勾股定理可求得

OF=>JOE2-EF2=^,结合点E的位置可得点E的坐标.

【详解】解：过点七作石/_Lx轴于点尸,

VB（8,4）,

AAO=BC=4,AB=OC=S,

•・•在长方形A3CO中，AB//OC.

・•・ZABO=ZCOB,

•・•由折叠有4AO=NEBO,

・•・<BOD=/DBO,

・•・BD=OD,

设。£>=x,则CD=OC—O£>=8—x,BD=x,

•・•在长方形A8co中，N88=9『,

・••在RlZ\3CD中，BC2+CD2=BD2,

即4?+（8-x）2=x2,

解得x=5,

0D=BD=5,

由折叠可得QE=OA=4,EB=AB=8

・•・DE=BE-BD=8-5=3,

-。跖=；°。.七/或Sw=；OE.QE，

：.-ODEF=-OEDE,

22

即;x5E尸=gx4x3,

.旧12

..EF=­,

VEF_Lx轴,

・••在RlAO*'中,OF=yJOE2-EF2=

・••点£的坐标为作,T

a（1612、

故答案为：I—，一~—I.

3.（24-25八年级下•福建福州•期末）如图,对折矩形纸片A3CD使4）与BC重合,得到折痕,WV,再把

纸片展平.点E是A。上一点，且=将△AM沿的折叠，点4的对应点片恰好落在MN上.若

BC=6,则尸N的长是.

【分析】本题主要考查了矩形和折叠的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、含30。角直角三角形

的性质等知识，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题的关键.

首先根据题意求出AE=2,然后根据折叠的性质得到他=283，MNLAB、BF=AB、AF=BF,易

证是等边三角形，进而求出N3FM=30。,ZABE=NFBE=3U°,然后利用含30。角直角三角形的性

质得到8E=2AE=4,然后利用勾股定理求解即可.

【详解】解：如图：连接

■:ED=2AE,BC=AD=AE+DE=6,

***AE=2,

:对折矩形纸片/历。。使A。与BC重合，得到折痕MN,

AAB=2BM,MN1AB,

・•・AF=BF,

•・•将△ME沿座折叠，点A的对应点F恰好落在MN上,

：.BF=AB，EF=AE=2,ZABE=NFBE,

***BF=AB=AF»

・•・△AFB是等边三角形，

JZABF=60°,

4BFM=30°,NABE=/FBE=-NABF=30°,

2

/BAD=90。,

JBE=2AE=4,

•**AB=>Jl3E2-AE2=2>/3,

:,MB=6BF=AB=20,

「・MF=^BF2-BM2=3,

・•・FN=MN-MF=BC-MF=6-3=3.

故答案为3.

4.（24-25八年级下•福建厦门・期末）如图，在矩形48co中，A8=6,3C=10/是射线人力上的一个动

点，把沿8P折叠，点A的对应点为4.当直线尸4恰好经过点C时，AP的长为.

【答案】2或18

【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理的运用，掌握矩形的性质，勾股定理是关键.

根据矩形与折叠的性质，数形结合，分类讨论，即可求解.

【详解】解：四边形488是矩形，

.•・AB=CD=6,BC=AD=\0,ZA=^ABC=ZBCD=ZDAB=90Q,

•・•折叠，

・•・AB=A:B=6,AP=AP,ZA=NBA'P=90°,

如图所示，直线ET恰好经过点C，

・•・ZBAP=/R4'C=90。，

J在吊△ABC中，A!C=^BC2-(A!B^=V102-62=8,

设AP=A/=x,则尸。=8+工,尸。=10—工，

PC?=PD?+CD?•

・•・(8+X)3=(10-X)2+62,

整理得，36x=72,

解得，x=2,

JAP=2；

如图所示，

・・•折叠,

，ZAPB=ZAPB,

VAD\\BCtgpAP\\13C,

・・・ZAPB=/PBC,

・•・/CPB=/CBP,

・•・CB=CP=l。,

：.AP=A'P=AC+CP=8+10=18；

综上所述，4P的长为2或18,

故答案为：2或18.

5.（24-25八年级下•福建福州•期末）如图，在矩形A8C。中，点E是OC上一点，连接AE,将VADE沿

着AE折叠，使得点。落在8。上的点尸处，连接若A,F,C三点共线，现给出以下结论：①点

51

厂是的中点；②人C=AE+O石；③△ADF是等边三角形；④皆^=鼻.其中正确的是

.（写出所有正确结论的序号）

【答案】①③

【分析】本题考查了矩形与折叠，等边三角形的判定与性质，根据矩形与折叠，等边三角形的判定与性质

逐判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】解：•・•点。落在30上的点尸处，A,F,C三点共线，四边形A8CO是矩形，

:・AC=BD,DF=-BD,ZADC=90。，AF=-ACt故①正确；

22

/.DF=AF,

由折叠性质可知：AD=AF,NEAD=ZEAF,

DF=AF=AD,

•••△AO户是等边三角形，故③正确;

・•・zmr=60°,

・•・ZE4D=ZE4F=ZAC£)=30°,

・•・AE=CE,

由勾股定理得：CD<AD,

AC=2AD,

:.AC=^-CD=^-（EC+DE）>=^-（AE+DE）,故②错误；

如图，F作FH"CD、交AD于点、H,设尸到CO的距离为〃，则A到CO的距离为2万,

综上可知：①③正确，

故答案为：①③.

6.（24-25八年级下•福建福州•期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形48co的边A8在“轴匕点A的

坐标为（T,0）,点£在边C。上.将△4CE沿皮:折叠，点C落在点产处.已知点尸的坐标为（0,6）,“矩形

ABCD^AB=\2,则点E的横坐标为

【答案】3

【分析】本题主要考查矩形性质、折叠性质、勾股定理以及平面直角坐标系的相关知识.解题关键在于利

用折叠性质得到相等的线段，结合勾股定理建立方程求解线段长度，进而确定点的坐标.

首先由点A坐标和A8长度求出08长，然后根据折叠性质可知BF=8C,EF=EC,在RtZsOB厂中求出

BF（即8C）,最后在心△£）£产中设未知数，根据勾股定理列方程求解.

【详解】解：如图，由题意四边形040”,四边形O3C”都是矩形，

OH=AD=BC,

•••点八的坐标为(-4,0),AB=12,

OA=DH=4,

Oi3=AI3-OA=\2-4=8.

在RtZ\O4/中，O尸=6,04=8,

二.BF'=yj0B2+0F2=V82+62=10-

，。点坐标为(-4,10),E点纵坐标为10,

由折叠性质可知BC=I3F=OH=\0.

HF=OH-OF=4,

设CE=x,则防=x,HE=\2-4-x=S-x.

在吊△HEF中,根据勾股定理得：

HE2+HF2=EF2^W(8-^)2+4:=X2.

解得x=5.

^£=8-5=3,

•••点£的横坐标为3.

故答案为：3.

7.(24-25八年级下•福建泉州.期末)如图，在矩形A4C3中，点E是。。边上的一点，沿直线座翻

折，点C落在A。边上的点尸处.

(1)求作点E和点尸(尺规作图，不要求写作法，保留作图痕迹);

(2)若A8=8,Z?C=IO,求线段OE的长.

【答案】(1)见解析

(2)。£=3

【分析】本题考杳折叠问题，尺规作图-复杂作图，勾股定理，矩形的性质，掌握折叠前后对应边相等、对

应角相等是解题的关键.

（1）以点8为圆心，8C为半径作弧，与A3的交点即为点R再作NC8尸的角平分线与。C交于点E；

（2）设=由翻折可知所=CE=8—x,BF=BC=\O,用勾股定理解和母2\。“一即可求

解.

【详解】（I）解：如图所示：点E和点厂为所求作的点.

(2)解：连接所，设OE=x,

由靓折可知所=CE=8-x,BF=BC=\O,

•・•四边形46co是矩形，

・,・乙4=/。=90".

在尸中

AF=y/BF2-AB2=>/102-82=6

・•・DF=AD-AF=4^

在RtADEF中，

EF2=DE2+。尸2，

(8-x)2=x2+42,

解得x=3,

即DE=3.

8.（24-25八年级下•福建福州•期末）折纸是•种充满数学魅力的艺术形式，从“数学眼光发现、数学思维

思考、数学语言表达“三个维度分析折纸问题，把纸张看作平面图形，折痕视为直线，从而将折纸问题转

化为几何图形的变换问题.

【操作发现】

如图1,在矩形A4C。中，按如下步骤操作：

①如图1—”,第一次折叠矩形ABCD使A与B重合，。与。重合，展平纸片得到折痕MN；

②如图1—4第二次折叠，点。落在MN上，折痕与MN交于点尸；

③如图1一。，第三次折叠，点。与点E重合；

⑤如图1—d,展平纸片；

（1）判断△。石”的形状，并说明理由;

图2

【初步探究】

（2）在（1）的基础上，如图2,作NBCO的平分线交”产于点尸，连接庄，求证：NPEH=NCPF；

【深入探究】

（3）在图2上补全图形，过点P作。。的平行线，分别交BC,HD于点Q，R，S,试判断

SPPQ，QR的数量关系，并说明理由.

【答案】3）△£>£：”是等边三角形，理由见解析；（2）见解析：（3）PQ'QR'PS。理由见解析

【分析】（I）连接力。，CO,由折叠知"=OH,DC=DO,MN垂直平分C。，得DO=C。,得

△OOC是等边三角形，得NODE=/Cr>E=30。，得/HDE=60°,即得△DE"是等边三角形：

（2）由折叠知/O”/=/E/"=30。，得N”AZ>=60。，由角平分线定义得SCP=45。，得

NKPC=15°,连接PO,过。作PGJ_C。JG,PR1BCJR,得尸R=PG,由庄=尸£）,得

R必PG性Rl△户AE(HL),得/RPE=/DPG,得/OPE=900,得/尸£Z>=45°,得N'HEP=15°,即得

NHEP=NKPC：

(3)由PR||C。，可得四边形SPG。是矩形，推出SP=DG,曰APGD^PRE,得DG=RE,得

SP=RE,由NQ〃E=60。，得NHQS=30。，由N7/EP=15。，得NEPQ=15。,得PQ=QE,由

QE2=QR2+ER2,即得PQ2=QR2+PS2.

【详解】（I）解：△£>叩是等边三角形.

理由：连接。o,CO,如图，

M——会elf•由折叠知MN垂直平分CO,

_________'/、、」

BEC

:.IX)=CO,NODE=NCDE,

•.・DC=DO,

是等边三角形.

.­.Z0£)C=6()0.

:.NODE=NCDE=3W.

,矩形43co中，ZADC=90°,

力E=90°-/COE=60。.

由折叠可知，HD=HE,

「.△DE〃是等边三角形.

（2）证明：由（I）可知，ADEH是等边三角形,

:.NDHE=/HED=9。,

由折叠知NDHF=NEHF=gNDHE=1x60°=30°,

•.•矩形A8CO,

ZADC=NBCD=90。,

ZHKD=ZADC-ZDHF=90°-30°=60°；

•「CP平分N8CO,

/.ADCP=-NBCD=1x90°=45c,

22

Z.KPC=ZHKD-ZDCP=60°-45°=15。，

连接PO,过户作PG_LCD于G,PR_L/?C于R,如图,

N：.UFGD=/PRE=々BCD=90°，

K

BREC

.•・四边形?RCG为矩形，

;.NRPG=90。；

•••CP平分/BCD,

:.PR二PG,

又・.・”K垂直平分E。，

:.PE=PD.

RUPGD^R{^PRE（HL）.

:./RPE=NDPG,

NDPG+4GPE=/RPE+4GPE=/RPG=90°.

即ZDPE=90°.

.•.△PED是等腰直角三角形.

.-.ZPED=45°.

/HEP=NHED-NPED=15°.

:.NHEP=NKPC.

⑶解:PQ2=QR2+PS2,理由如下:

如图，在（2）的图中过点尸作C。的平行线，分别交BC,HD干点、Q，R，S,

在矩形/WCQ中，NSDG=90°,

PR//CD,

:.NSPG=/PGD3。,

.•・四边形SPGD是矩形，

:.SP=DG.

由（2）得,庠即七,DG=RE,

:.SP=RE.

•・•△OEH是等边三角形，

/.ZD//E=60°.

NHQS=/PSD-NDHQ=30°.

由（2）得/HEP=15。,

ZEPQ=NPQH-NQEP=30°-15°=15°.

APQ=QE.

在Rt^QRE中，QE2=QR2+ER2,

PQZ=QR2+PS2.

【点睛】本题考查了矩形折叠问题，熟练掌握矩形性质，折叠性质，等边三角形判定和性质，勾股定理，

角平分线定义和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形判定和性质是解题的关键.

9.（24-25八年级下•福建龙岩•期末）折纸是我国传统的民间艺术，精美的折纸背后离不开数学原理，这吸

引了无数数学教育工作者以折痕为研究对象，关注折法和折叠过程中所得平面图形的性质.如图，矩形纸

片ABCO中，AB>AD.

ADAFD

BEC

图1图2

（1）折叠矩形纸片ABC。，折痕为BN（点N在矩形的边上），使得点C落在AB边上的点M.请在

图I中画出折痕得到/CBN=。；

⑵现要折出60。角，小明同学采用下面的方法：

步骤一：对折矩形纸片488,折痕为所，使得A8与。C重合，然后把纸片展平，如图2：

步骤二：再一次折叠纸片A8cQ,折痕为BP（点P在矩形A3C。的边上），使得.

请将步骤二补充完整，在图2中画出折痕8尸，并证明所折出的角为60。.

【答案】（1）45

（2）点。落在石户上，点。的对应点为点M证明见解析

【分析】（1）由折叠可得==即可求解；

（2）由折叠的性质得出EF垂直平分5C,第二次折叠可得及*=进而得MCW为等边三角形，则可

得出结论.

【详解】（1）解：如图：

图I

•・•17边形ABC。是矩形，

JZABC=90°,

由折音可得：NCBN=/MBN='/ABC=45。,

2

故答案为：45；

（2）解：步骤2：使得点C落在所匕点C的对应点为点N,

证明：:对折矩形纸片A8CO,使48与。。重合，得到折痕瓦，连接CN

/.七下垂直平分6C,

BN=CN,

•・•再•次折叠纸片，使点C落在跖上，得到折痕肝，点C的对应点为点M

・•・BC=BN,

・•・BC=BN=CN,

•••△BOV为等边三角形，

・•・Z^BC=60°.

图2

【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，等边三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，掌握折叠

的性质是解题的关键.

斜边中线等于斜边一半

1.（24-25八年级下•福建宁德・期末）为迎接校园运动会，小明设计了如图所示的彩旗，其中

4c8=90。,48=325,点石为A8中点，则CE的长是（）

A

A.ScmB.\6cmC.16>/3cmD.32cm

【答案】B

【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，掌握知识点是解题的关键.

关键直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，即可解答.

【详解】解：・.・4C4=90o,A8=32cm,点七为A8中点，

CE=—AB=16cm.

2

故选B.

2.（24-25八年级下•福建福州•期末）一技术人员用刻度尺（单位，cm）测量某三角形部件的尺寸.如图

所示，已知NAC8=90。，点。为边AB的中点，点A8对应的刻度为1、7,则8=（）

c

A.3.5cmB.女mC.4.5cmD.6cm

【答案】B

【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线，根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以

计算出CO的长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

【详解】解：•・•点48对应的刻度为1、7,

AB=7-1=6（cm）,

•・・乙4。8=90°,点。为边A8的中点，

・•・CO=gA8=3（cm）,

故选：B.

3.（24-25八年级卜.•福建莆田•期末）在搬运班级储物柜时，小明与同学将储物柜靠在墙上稍作休息，思考

如下问题：如图，墙面OM与地面QV垂直，柜子侧面为矩形ABCD,其中AB=2,BC=1,当柜子靠

在墙上缓慢倒下，即8在ON上滑动，力在（W上滑动，在这个过程中，点。到点。的最大距离为（）

A.72+1B.75C.亚^D.1

52

【答案】A

【分析】本题考杳了直角三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，三角形的三边性质，取A8的中点E,

连接DE、OE、OD,由直角三角形的性质可得OE=4E=gAB=l,由勾股定理可得

DE=JAD?+AE2=&，再根据。。工。石+。£即可求解，正珑作出辅助线是解题的关键.

【详解】解：取A8的中点E,连接OE、OE、OD,

•；OMION,

・•・Z4OB=90°,

•・•点E是AB的中点,

・•・OE=AE=-AB=\,

2

•・•四边形A8CD为矩形，

AZA=90°,AD=BC=\,

,DE=VAD2+AE2=Vl2+12=41，

•・•OD<DE+OE,

；・0。40+1，

・••点。到点0的最大距离为a+1，

故选：A.

4.（24-25八年级下•福建厘门・期末）如图，在Rt^ABC中，ZABC=90°,AC=8,点。是4c的中点,

则.

【答案】4

【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线定理.根据直角三角形的斜边中线定理即可求出8D.

【详解】解：•••在RtZXABC中，AC=8,点。是AC的中点，

/.BD=-AC=4,

2

故答案为：4.

5.（24-25八年级下•福建福州•期末）如图，在V/WC中，ZC=90°,D为A3的中点，A4=6,则C。的

长是.

【答案】3

【分析】本题考查的是直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可.

【详解】解：•・•在VA8C中，ZC=90°,。为A8的中点，AB=6,

：.CD=-AB=-x6=3.

22

故答案为：3.

6.（24-25八年级下•福建厦门・期末）如图，在平行四边形A8CD中，对角线AC,8。相交于点。,

4。_1_8。于点。，NAOD=60。.点M,点N分别是OAOC的中点，连接。例，MBBN,ND.

（1）求证：四边形为矩形；

（2）若。M=l,求平行四边形ABC。的周长.

【答案】（I）见解析

(2)26+25

【分析】（I）根据平行四边形的性质结合已知条件可证明四边形M8V。是平行四边形，然后利用含30度角

的直角三角形的性质证明MN=08,即可证得结论；

（2）先利用直角三角形的性质求出AO=2,然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出

人0,人8即可.

【详解】（1）证明：•・•四边形A58是平行四边形，

OA=OC,OB=OD,

•・♦点M,点N分别是04,OC的中点，ADLBD于点D,ZAOD=60°.

：.OM=-OA,ON=-OC,ZZMO=30°,

22

0M=ON,0。=*,

2

丁・四边形MBND是平行四边形，OD=OM,

・•・MN=DB,

・•・平行四边形是矩形；

（2）・・・M是AO中点，ZADO=90。，DM=\,

AAO=2DM=2,

•・•040=30。，

・•・OD=-AO=\,AD=>/AO2-DO1=73,

2

；・RD=2DO=2,

・•・AB=JAD2+BD2=V3）2+2:="

，平行四边形A8C。的周长=240+248=26+2".

【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定、勾股定理、直角三角形的性质等知识，熟练

掌握相关图形的判定和性质是解题的关键.

证明四边形是矩形

1.（24-25八年级下•福建厦门・期末）如图，在oABCD中，添加一个条件,可使oABCD是矩

形.

【答案】AC=BD（或ZA8C=90。）

【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，根据对角线相等的平行四边形是矩形，进行作答即

可.

【详解】解：•・•四边形"8是平行四边形

・•・添加一个条件：4。=8力或//他。=90。.可使口A8C。是矩形.

故答案为：AC=BD（或NABC=90。）

2.（24-25八年级下•福建福州•期末）已知，如图，在中，M是A。边上的中点，且朋8=MC.求

【答案】见解析

【分析】本题主要考查了矩形的判定，即利用“有一个角是直角的平行四边形是矩形”是解答本题的关

键，根据平行四边形的两组对边分别相等可知得到Z4=〃，乂由AB||C。可得

4+/。=180。，证得4=90。，即可证明是矩形.

【详解】解：证明：•・•四边形是平行四边形，

，AB=DC.

•・•点M是A0的中点,

AAM=DM.

又,：MB=MC,

；・^ABMg.DCM（SSS）.

ZA=ZD.

VAB||CD.

r.ZA+ZD=180°.

AZA=90°.

•••0ABC。是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.

3.（24-25八年级下•福建泉州•期末）如图,在aA8c。中，点E、3是8C上两点,BE=CF,连接

ARDF,AE=DF,求证：四边形A8CO是矩形.

【答案】见解析

【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定等知识.熟练掌握平行四

边形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定是解题的关键.

由口A8CO,可得A8=DC,N8+NC=180。，证明△AB-Z\DCF（SSS）,则”=NC=90。，进而结论得

证.

【详解】证明：・・・oABC£>,

：・AB=DC,ZB+ZC=180°.

VAB=DC,BE=CF,AE=DF,

・•・AABE^ADCF（SSS）,

:.ZZ?-ZC-9O0,

二•四边形A4c。是矩形.

矩形的性质证明

1.（24-25八年级下•福建福州•期末）如图1,在中，Z4CT=90°,以AC为边作矩形ACEO,

AD=AB.

图1图2

（1）求证：4。平分4BC；

（2）如图2,AFJ.BD于点F,AG平分NC48交8。于点G,AG_LGH交OE的延长线于点”.

①求A/：AG的值；

②求证：HG=42（DG-FG）.

【答案】（1）详见解析

（2）①&：2；②详见解析

【分析】（1）由矩形的性质得出只。〃8E,则/A08=NZ）8E,证出乙48Q=NDAE,则可得出结论：

（2）①证出NbG4=N8AG+NA8G=45。，由等腰包角二相形的性质可得出结论：

②延长力1到点M,使尸也=">,连接。M,GM.证明△MFG0gR4（SAS）,NMGF=90。-NGMF,得

出KMF=ZADF.证明四边形。MG"是平行四边形.得出HG=DM=6（DG-FG）.

【详解】（1）证明：•.•AD=A6,

:.ZABD=ZADB，

•.•四边形4C£X>是矩形，

AD//BE,

/.ZADB=NDBE,

ZABD=/DBE,

.•.6。平分/ABC；

（2）解：①〈AG平分/CAB.8。平分NA8C,

7.ZBAG=-ZBAC,ZABG=-ZABC.

22

/.NB4G+NABG=-ZBAC+-/ABC=-（ZBAC+N4BC）

222V7

二；（180。-/48）=9（180。-90。）=45。，

NFGA=ZBAG+ZABG=45°,

・.・4尸_1.8。于点尸，

ZAFG=90°,

Z.FAG=90°-ZAGF=90°-45°=45°,

ZAGF=ZGAF.

:.AF=FG.

..在尸中，AG=J4尸2+FG?=JAF2+A1,=丘AF，

/.AF:AG=42:2;

②如图3,延长£4到点M,使样/二尸£),连接OM,GM.

.-.△WFG^ADM(SAS),ZMGF=90°-ZGMF,

：.ZGM/=ZADK

•.•在矩形AC£D中，ZADE=90°.

NGDH=ZADE-AADF=90。-ZADF=90°-NGMF,

:.NMGF=NGDH.

:.MG//DH.

•:FM=FD,"B4=90。，

:.ZMDF=45°,DM=>JDF2+MF2=y11DF=x/2(DG-FG).

ZDGH=ZAGH-ZAGF=90°-45°=45°,

?.NFDM=/DGH.

:.DM〃HG.

二•四边形DMGH是平行四边形.

:.HG=DM=x/2(DG-FG).

【点睛】此题考杳了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判

定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.

2.(24-25八年级下•福建厦门・期末)如图，在矩形力4CO中，点E是。。的中点，连接口，EB,求证：

EA=EB.

【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，由矩形的性质可得AO=8C,

NC=NO=90。，再证明VAOE@/3C£（SAS）,即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关

键.

【详解】证明：•・•四边形A6a）为矩形,

AAD=BC,ZC=ZD=90°,

・・•点E是CQ的中点,

:.CE=DE,

・•・VADE史BCE(SAS),

/.AE=BE.

3.（24-25八年级下•福建厦门・期末）如图，在矩形A8C。