人教版八年级数学上册：轴对称及等腰三角形（讲义+练习）

轴对称及等腰三角形

知识点线段的垂直平分线的性质和判定

教学目标1.探索作出轴对称图形的对称轴的方法.掌握轴对称图形对称轴的作法.

2.在探索的过程中，培养学生分析、归纳的能力.

3、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养

成数学推理的习惯；

4、在灵活运用知识解决有关问题的过程中,体验并掌握探索、归纳图形性质的推

理方法，进一步培说理和进行简单推理的能力。

5、等腰三角形的判定

6、等腰三角形的性质

教学重点1、轴对称图形对称轴的作法；掌握等腰三角形的轴对称性质；熟练运用等腰三角

形的性质

教学难点探索轴对称图形对称轴的作法；方程思想和分类讨论思想在等腰三角形中的运用

【知识导图】

一、导入

复习预习

提出问题，引入新课

1.有时我们感觉两个图形是轴对称的，如何验证呢？不折叠图形，你能比较准备地作

出轴对称图形的对称轴吗？

2.轴对称图形性质.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所

连线段的垂直平分线.轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.

3.找到一对对应点，作出连结它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称

轴了.

4.问题：如何作出线段的垂直平分线？

二、知识讲解

要作制线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两端点距离相等的点在

这条线段的垂直平分线上，又由两点确定•条直线这个公理，那么必须找到两个到线段两端

点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线.

［例］如图（1）,点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？

己知：线段AB［如图（1）］.

求作：线段AB的垂直平分线.

作法:如图（2）

（1）.分别以点A、B为圆心，以大于JAB的长为半径作弧，两弧相交于c和D两点;

（2）.作直线CD.

直线CD就是线段AB的垂直平分线.

图中的五角星有几条对称轴？作出这些对称轴.

作法：

1.找出五角星的一对对应点A和A，,连结AA，.

2.作出线段AA'的垂直平分线L.

则L就是这个五角星的一条对称轴.

用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴.

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形

相等的两边叫做等腰三角形的腰，第三边叫做底边

腰与底边的夹角叫做底角

两腰的夹角叫做顶角

等腰三角形顶角的角平分线、底边的中线、底边上的高互相重合（也称等腰三角形三线

合一），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴

等腰三角形的两个底角相等

根据等腰三角形的定义：

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形

如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等，简称等角对等边

如图所示，DE是线段ABE勺垂直平分线，下列结论一定成立的是（)

A.ED=CI)B.ZI)AC=ZBC.ZO2ZB1).ZB+ZAI)E=90°

【答案】・・・DE是线段AB的垂直平分线，

AAD=BD./.ZB=ZBAD,ZADE=ZBDE./.ZB+ZADE=90°

其它选项无法证明其是正确的.故选D

【解析】根据线段垂直平分线的性质得等腰三角形ADB,运用等腰三角形的性质得出尽量多

的结论，与各选项进行比对，答案可得

如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=6cm,则线段

PB的长度为________

【答案】6cm

【解析】•・•直线CD是线段AB的垂直平分线,

，PA=PB,而PA=6cm,.,.PB=6cm.故答案为6

如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，则NAOC二

c

D

【答案】90°

【解析】•.•直线CD是线段AB的垂直平分线，AAO±CD,AZA()C=90o，故答案为：90

如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AC上，且BD二BC二AD,

求：^ABC各角的度数.

【答案】因为AB二AC,BD=BC=AD,

所以NABC=NC=NBDC.

NA:NABD（等边对等角）.

设NA二x,则

NBDC=/A+NABD=2x,

从而N.ABONC:NBDO2x.

于是在△ABC中，有

ZA+ZABC+ZC=x+2x+2x=180°,

解得x=36°.

在△ABC中，ZA=35C,ZABC=ZC=72°.

【解析】根据等边对等角的性质，我们可以得到

ZA=ZABD,ZABC=ZC=ZBDC,

再由NBDONA+NABD,就可得到NABONONBDO2NA.

再由三角形内角和为180。，就可求出AABC的三个内角.

如图，等腰三角形ABC中，已知AB二AC,NA=30°,AB的垂直平分线交AC于D,则/CBD

的度数为。

【答案】45

【解析】根据三角形的内角和定理，求出NC,再根据线段垂直平分线的性质，推得

ZA=ZABD=30°,由外角的性质求出NBDC的度数，从而得出NCBD=45°.

解：:△ABC是等腰三角形，NA=30°,AZABC=ZACB=75°,

•・•AB的垂直平分线交ACT'D,・・.AD=BD,/.ZA=ZABD=30°,

••・NBDC=60°,AZCBD=180°-75°-60°=45°.故填45

如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E分别在AC,AB上,且BC=BD=DE=EA,则NA的度数为

Ei

【答案】解：VAE=ED,AZADE=ZA,

:.ZDEB=ZA+ZADE=2ZA,

VBD=ED,AZABD=ZDEB=2ZA,

:.ZBDC=ZA+ZABD=3ZA,

VBD=BC,/.ZC=ZB1)C=3NA,

VAB=AC,/.ZABC=ZC=3ZA,

VZABC+ZC+ZA=180°,A7ZA=180°,

180

NA=7度

【解析】由己知根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角

的性质可得到NC与NA之间的关系，从而再利用三角形内角和定理求解即可

等腰三角形的一条边长为6,另一边长为13,则它的周长为多少？

【答案】解：①当6为底时，其它两边都为13,

6、13、13可以构成三角形，周长为32；

②当6为腰时，

其它两边为6和13,

•••6+6V13,，不能构成三角形，故舍去，，答案只有32

【解析】.因为已知长度为6和13两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要

分类讨论

己知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°,则这个等腰三角形的顶角是

【答案】解：当高在三角形内部时（如图1）,顶角是60。；当高在三角形外部时（如图2）,

顶角是120°.故答案为：60或120.

【解析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角

形的i力匕根据条件可知第三种高在三角形的i力上这种情况不成了，因而应分两种情方进行

讨论.

如图：点P为NA0B内一点,分别作出P点关于0A、0B的对称点”,P2,连接PR交为于

M,交0B于N,PIP2=15,则△PMN的周长为.

【答案】15

【解析】试题分析:因为P点关于OA、0B的对称点R,P2,所以P*=PM,P?N=PN,

所以△PMN的周长=PM+PNWN=P1M+P2N+MN=PIP2=15.

考点：轴对称的性质

如图：将一个长方形纸片ABCD,沿着BE折置，使C、D点分别落在点G、口处，若/GBA

=50。，则NABE的度数为.

【答案】20。.

【解析】

试题分析：设/，ABE=x,根据折叠前后角相等可知，NGBE=NCBE=500+x,所以50。+x+x=90°,

解得x=20°.故答案为：20°.

已知MN是线段AB的垂直平分线，下列说法正确的是（）

A.与AB距高相等的点在MN上B.与点A和点B距离相等的点在MN上

C.与d距离相等的点在AB上D.AB垂直平分MN

【答案】B

【解析】•・・MN是线段AB的垂直平分线，

・・・与点A和点B距离相等的点在MN上,MN垂直平分AB.故B正确;A、C、D错误.

如图，点D是线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，ZB=40°,则NADC等于()

A.50°B.60°C.70°D.80°

B

【答案】I)

【解析】连接BD,AC.设Nl=x,

•・•点D是线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，

，AD二BD,BD=CD,AZl=Z2=x,Z4=ZABD=40°+x,

根据三角形的内角和定理，得NADB=180°-2/4=100°，ZBDC=180°-2x,

AZADC=ZBDC-ZAl)B=803.

故选D

下列说法中:

①P是线段AB上的一点，直线1经过点P且1_LAB,则1是线段AB的垂直平分线;

②直线1经过线段AB的中点，则1是线段AB的垂直平分线；

③若AP=PB,且直线1垂直于线段AB,则1是线段AB的垂直平分线；

④经过线段AB的中点P且垂直于AB的直线1是线段AB的垂直平分线.

其中正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个【）.4个

【答案】C

【解析】①P不是AB的中点，则1不平分线段AB,故错误；

②直线1经过线段AB的中点，且垂直于AB则1是线段AB的垂直平分线，故错误；

③若AP=PB,则P在线段AB的垂直平分线上，但1不一定是线段AB的垂直平分线，故错误；

④正确.故选A

下列命题中正确的命题有（）

①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等;②线段上任一点到垂直平分线两端距离相

等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB,过P作直线MN,则MN

是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【解析】①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等，是线段垂直平分线的性质，符合

逆定理，正确：

②错误；这是对线段垂直平分线的误解；

③有无数条，错误;

④点P在线段AB外且PA二PB,过P作直线MNLAB,则MN是线段AB的垂直平分线，错误;

⑤错误，这是对线段垂直平分线的误解:

故选A

四、课堂运用

1证明等腰三角形三线合一。

2如果在一个三角形中，任意两线是合一的，那么这个三角形是否一定是等腰三角形？试分

情况说明之。

答案与解析

略

1.如图，请在下列四个等式中，选出两个作为条件，推出ZXAED是等腰三角形，并予以证

明.（写出一种即可）

等式：①AB=DC,⑨BE=CE,®ZB=ZC,④NBAE:NCDE.

已知：

求证：△AED是等腰三角形.

证明:

2如图，坐标平面内一点A（2,-1）,0为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、

0、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（）

A.2B.3C.4I）.5

答案与解析

1.答案：解：如上图：①0A为等腰.三角形底边，符合符合条件的动点P有一个；

②0A为等腰三角形一条腰，符合符合条件的动点P有三个.

综上所述，符合条件的点P的个数共4个.故选C.

解析：根据题意，结合图形，分两种情况讨论：©0A为等腰三角形底边：②0A为等腰三角

形一条腰.

2.答案：解：已知：①③（或①④，或②③，或②④）

证明：在△,，隹£和4DCE中

VBCAEBDECABDC

AAABE^ADCE；，AE=DE；

△AED是等腰三角形.

解析;根据等腰三角形的判定方法，即在一三角形中等边对等角或等角对等边，可选①③来

证明△ABEgZXDCE,

从而得到AE=DE,即4AED是等腰三角形.

（或①④，或②③，或②©.）

1.已知：如图，在aABC中，AD_LBC,垂足为点D,BE1AC,垂足为点E,M为AB边的中

点，连接

ME、MD、ED.

（1）求证：AMED为等腰三角形；

（2）求证：ZEMD=2ZDAC.

2.已知危△A%?,/0390°,AOBC，点〃是斜边的中点，经过点C引一条宜线/（不与

AC.比'重合并且不经过点〃）操作：经过点力作/£!./,经过点/作外连接DE、DF

猜想△必尸的形状并证明.

答案与解析

1答案：证明:(1)VM为AB边的中点，AD_LBC,BEJLAC,AME=12AB,MD=12AB,

.\ME=MI),

/.△MED为等腰三角形；(2)VME=12AB=MA,AZMAE=ZMEA,

.\ZBME=2ZMAE,同理，MD=12AB=MA,ZMAD=ZMDA,

/.ZBMD=2ZMA1),

・•・ZEMD=ZBME-ZBMD=2ZMAE-2ZMAD=2ZDAC.

解析：(1)由于AI)IBC,BE1AC,所以△ADB和△ABE是直角三角形，又因为M为AB边

的中点，所以ME二MD二12AB,所以AMED为等腰三隹形；(2)利用三角形的外角等于

和它不相邻两个内角的和这样推论，可知NBME=2NMAE,ZBMD=2ZMAD,

作差即可证得结论.

2【答案】解：△戚为等腰直角三角形；证明：如图，连接CD,•:gCE,BF1CE,：2

力除/郎伊90°,TN力⑶/方诉90°,/BCR/CBegC,:./AC方/CBF、

/AEC=NBFC=90

在△月四与△如'中，/ACE=4CBF,:.4AC曜4CBFqAAS)、

AC=BC

：.AE=CF,NCA按/BCF,'：NCAFNDCB=45°,：・/FCD=NDAE,又A2CD,

五、课堂小结

线段的垂直平分线的性质和判定；

等腰三角形的性质及灵活应用。

六、课后作业

1.如图，在△力比'中，点£在49上，点〃在比上，盼BE,4BAF4BCE,力〃与出'相交于

点凡试判断△可忆'的形状，并说明理由.

2.如图，在四边形力以刀中，AE//DC,。是的平分线，ZCEB=4AEB,试判断△/1%的

形状，并证明你的结论.

3.下列说法中：

①P是线段AB上的一点，直线1经过点P且1_LAB,则1是线段AB的垂直平分线;

②直线1经过线段AB的中点，则1是线段AB的垂直平分线;

③若AP二PB,且直线1垂直于线段AB,则1是线段AB的垂直平分线；

④经过线段AB的中点P且垂直于AB的直线1是线段AB的垂直平分线.

其中正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

答案与解析

1【答案】△力发?是等腰三角形.理由如下：在△阳〃与△〃成中,

TN庐N6（公共角），/BAA/BCE,BABE,，△胡3△8四（/MS）,

：.BA=BC/BAD=/BCE,：./BAC=/BCA,：・/BAC-NBAD=/BCA-4BCE,即/川信/心.，

/片a;是等腰三角形。

【解析】要判断△力吹的形状，可通过判断角的关系求得比结论，那么就要看和/小

的关系.因为NBAANBCE,因此我们只比较NEU和N8。的关系即可.根据题中的条件：

BABE,NBAD=/BCE,△飒和△败又有一个公共角，因此两三角形全等，那么力生〃；

于是NBAe/BCA,由此便可推导出/的俏NQ,那么T是等腰三角形.

2【答案】△486'为等腰三角形.理由如下：'：AE〃D3：./AC2/CAE、

丁。1是NA65的平分线，:./AC&/ACD,：.ZACE-ZCAE,：.EA-EC,

EA=EC

在△胡石和△毗中，＜^AEB=/CEB,J△劭匡△败（SIS）,:.B归BC,

EB=EB

••・△4比为等腰三角形.

【解析】由月〃〃〃「得至|」/片沙/山〃，由々是N%?的平分线得到R力8NA微则根据等

量代换得N"层NO2根据等腰三角形的判定得到阱EC,然后根据“SAS”可判断△力〃

g△应G所以创二瓦；由此可判断△/1a'为等腰三角形.

3【答案】C

【解析】①P不是AB的中点，则1不平分线段AB,故错误；

②直线1经过线段AB的中点，且垂直于AB则1是线段AB的垂直平分线，故错误：

③若AP=PB,则P在线段AB的垂直平分线上，但1不一定是线段AB的垂直平分线，故错误；

④正确.故选A

1.两个全等的含30°,60°角的三角板力用,和三角板力砥如图放置，区力，C三点在一条直

线上，连接做，取初中点机连接融；J昭.判断△创T的形状，说明理由.

2.如图，△力劭与△力£。都是等边三角形,月峰力。.下列结论:①吐口；

②N仇》60。；③/BD84CEO,正确的是.

3.如图，4ABC申，BC的垂直平分线DP与NBAC的角平分线相交于点D,垂足为点P,若

ZBAC=82°,贝ijNBDC=.

答案与解析

1【答案】是等腰直角三角形.理由如下：连接也.

TN必加30°,/胡小60'，・•・/加户90°,•・•△曲且△。反：.DA=AB,ED-AC,

・•・△加〃是等腰直角三角形.又♦・•”为劭的中点，・•・///入期=45°,AM1BD,

・•・/以游乙物伍105°,在侬和△夕"中，E户AC,/MD左/CA和MFAM,

2

・•・△.跖&△场C..•・/〃•=/4必，.侬=,峪又•••/〃阱90°,

，/£哈/£物+//1.心/以例+N〃修/〃物=90°..••△」倒是等腰直角三角形.

【解析】欲判断的形状，需知道其三边关系.根据题意需证Bf=Qf,由此证明△以切

父物即可.依据等腰直角三角形性质易证.

2【答案】①②

【解析】:△/I即与△/!*都是等边三角形，庐例行AC,/力游N/I的60°,N的后

/口060°,:/DAB+/BAO/EAO/BAC,DA（二/BAE,

AD=AB

在△的C和△眉1£中，\zlDAC=^BAE,:・△DACW4BAEqSAS》,:、5E-DC,/ADC-aABE,

AC=AE

•・•/加氏180°-ZODB-ZDBA-ZABB=1800-/ODB-6y-NADC

=120°-(Z/W-ZJZT)=120°-60。=60°,：・NBO