湖南省G30联盟2026-2027学年高三（上）第一次联考数学试卷（8月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年湖南省G30联盟高三（上）第一次联考数学试卷（8月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.椭圆x214+yA.914 B.514 C.32.设集合M={x|x2<4}，N={x|−5<x<1}，则M∪N=A.{x|−1<x<2} B.{x|−5<x<4} C.{x|−2<x<1} D.{x|−5<x<2}3.已知向量a，b满足|a−b|=2，|aA.6 B.132 C.7 D.4.下列表格记录的是2022年和2023年湖南部分城市常住人口的数据(单位：万人)，则由表中数据可知，年度增量数据的40%分位数对应的城市为(

)城市2023年常住人口2022年常住人口年度增量长沙市1051.311042.06+9.25湘潭市270.12270.27−0.15张家界市149.69150.40−0.71娄底市374.32376.01−1.69株洲市385.20387.11−1.91岳阳市499.14501.75−2.61常德市518.68521.30−2.62A.株洲市 B.岳阳市 C.娄底市 D.张家界市5.若函数f(x)=cosπx+3sinπx，则A.f(x)的最大值为1+3 B.f(x)的图象关于直线x=−23对称

C.f(x)在(0,1)上单调递增 D.6.(1−i)[1−(1+i)A.33−31i B.−33+31i C.31−33i D.−31+33i7.log2x+logA.−53 B.−2 C.−58.在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，AA1=5，E，F分别为棱AB，A1B1的中点，G，H均为线段EF上的动点，GH=2A.3510 B.3520二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若y=f(x)+x2为R上的奇函数，y=f(x)−x3为RA.f(0)=1 B.f(x)+f(−x)=−2x2

C.f(1)=0 10.在△ABC中，AB=7，AC=5，BC=9，D为直线BC上一点，且AB⊥AD，则(

)A.∠BAC为钝角 B.AD=7115 C.11.已知抛物线C1：y2=4(x−1)，C2：y2=−4(x+1)，C3：A.C1与C2的准线重合

B.由C1，C2，C3，C4的焦点构成的四边形的面积为4

C.同时与C1，C2，C3，C4相切的直线只有2条

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.将5个颜色互不相同的小球排成一排，则不同的排法数为

．13.若直线y=kx+2与曲线C：(x2+y2−3)(x14.已知函数f(x)=2x+3,x≤02lnx,x>0，若x2=x1+a≠x1，且四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在等差数列{an}中，a2=9，且a9=44．

(1)求{an}16.(本小题15分)

如图，在三棱锥P−ABC中，AB⊥BC，AB=BC=PA=PB=PC=2．

(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；

(2)求三棱锥P−ABC的体积；

(3)求二面角B−PA−C17.(本小题15分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1(−5,0)，F2(5,0)，且C的渐近线方程为y=±12x．

(1)若点P在C上，且|PF1|=2，求|PF2|；

(2)18.(本小题17分)

已知函数f(x)=sinx−xcosx，g(x)=2f(x)−x2x3．

(1)求f(x)在(−2π,2π)上的单调区间；

(2)证明：g(x)在(0,π)上存在最大值M；

(3)判断(2)中的M是否也是g(x)19.(本小题17分)

某判断规则基于2n次独立检测，每次检测成功的概率均为p，其中n≥2，0<p<1.若2n次检测中成功次数不小于n，则判定为通过，否则判定为不通过.若一个具体的2n次检测结果满足：无论改变其中任意k次检测结果，最终判定都不改变，则称这个检测结果是“n−k稳定”的，其中1≤k≤n−1．

(1)当p=12时，求一个随机检测结果是“2−1稳定”的概率；

(2)当1≤k≤n−2时，记一个随机检测结果是“n−k稳定”的概率为Sk(p)，证明：Sk(p)>Sk+1(p)；

(3)求一个随机检测结果是“n−k稳定”的概率取得最小值时的p(1.【答案】D

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】BC

10.【答案】ABD

11.【答案】ACD

12.【答案】120

13.【答案】±14.【答案】(−∞,−515.【答案】解：(1)设等差数列的首项为a1，公差为d，

则a1+d=9a1+8d=44⇒a1=4d=5．

所以an=4+(n−1)×5=5n−1．

(2)证明：因为an=5n−1，16.【答案】解：(1)证明：取AC的中点O，连接OB，OP，

因为AB=BC=2，AB⊥BC，所以△ABC是等腰直角三角形，

AC=AB2+BC2=(2)2+(2)2=2，

所以OB⊥AC，OA=OB=1，

因为PA=PC=2，所以△APC是等腰三角形，则有OP⊥AC，

所以OP=PA2−OA2=(2)2−12=1．

又PB=2，满足PB2=OP2+OB2，

所以△POB是等腰直角三角形，且OP⊥OB．

因为AC，OB⊂平面ABC，且AC∩OB=O，

所以OP⊥平面ABC，又OP⊂平面PAC，

所以平面PAC⊥平面ABC；

(2)由(1)可知，OP⊥平面ABC，三棱锥P−ABC的高OP=1．

而S△ABC=12AB⋅BC=12×2×2=1，

所以VP−ABC=13OP⋅S△ABC=13×1×1=13．

(3)由17.【答案】解：(1)由题意c=5，

因为双曲线C的渐近线方程为y=±12x，所以ba=12⇔a=2b，

因为c2=a2+b2，所以5=4b2+b2，所以b2=1，a2=4，所以双曲线C：x24−y2=1，

因为|PF1|=2<a+c=2+5，所以点P一定在双曲线C的左支上，

所以|PF2|−|PF1|=2a=4，所以|PF2|=|PF1|+2a=2+4=6；

(2)

因为过点A2的直线l与C的右支交于点B(异于A2)，所以直线l的斜率必存在，可记为k且k≠0，

所以直线l的方程为y=k(x−2)，设B(x1,y1)，D(x2,y2)，

由y=k(x−2)x24−y2=1，消去18.【答案】解：(1)因为f′(x)=cosx−(cosx−xsinx)=xsinx．

当x∈(−2π,−π)时，sinx>0，所以xsinx<0，所以f(x)在(−2π,−π)上单调递减；

当x∈(−π,0)时，sinx<0，所以xsinx>0，所以f(x)在(−π,0)上单调递增；

当x∈(0,π)时，sinx>0，所以xsinx>0，所以f(x)在(0,π)上单调递增；

当x∈(π,2π)时，sinx<0，所以xsinx<0，所以f(x)在(π,2π)上单调递减．

又f(0)=0，f′(0)=0，所以函数f(x)在(−2π,−π)，(π,2π)上单调递减，在(−π,π)上单调递增．

(2)证明：因为g(x)=2sinx−2xcosx−x2x3，x∈(0,π)，

所以g′(x)=(2sinx−2xcosx−x2)′⋅x3−(2sinx−2xcosx−x2)⋅(x3)′x6

=(2cosx−2cosx+2xsinx−2x)⋅x3−(2sinx−2xcosx−x2)⋅3x2x6

=(2x2−6)sinx+6xcosx+x2x4．

设h(x)=(2x2−6)sinx+6xcosx+x2，x∈(0,π)，

则h′(x)=4xsinx+(2x2−6)cosx+6cosx−6xsinx+2x=2x(xcosx−sinx+1)，

再设φ(x)=xcosx−sinx+1，x∈(0,π)，

则φ′(x)=cosx−xsinx−cosx=−xsinx，

当x∈(0,π)时，φ′(x)=−xsinx<0，所以φ(x)在(0,π)上单调递减，

又φ(0)=1>0，φ(π)=−π+1<0，

所以唯一存在x0∈(0,π)，使得当x∈(0,x0)时，φ(x)>0，进而h′(x)>0，所以h(x)在(0,x0)上单调递增；

当x=x0时，φ(x)=0，进而h′(x0)=0；

当x∈(x0,π)时，φ(x)<0，进而h′(x)<0，所以h(x)在(x0,π)上单调递减．

又因为h(0)=0，h(π)=−6π+π2<0，所以h(x0)>0，

所以唯一存在x1∈(x0,π)，当x∈(0,x1)时，19.【答案】(1)解：由“2−1稳定”可知此时n=2，k=1，共进行4次独立检测，且通过条件为成功次数不小于2．

设成功次数为m，若原结果通过，则改变任意1次检测结果后仍通过，需有m−1≥2，即m≥3；

若原结果不通过，则改变任意1次检测结果后仍不通过，需有m+1<2，即m=0，

所以“2−1稳定”的检测结果对应m=0，m=3或m=4．

当p=12时，所求概率为C40+C43+C1124=1+4+116=38；

(2)证明：设某个检测结果中成功次数为m．

若该结果通过，则m≥n，要使改变任意k次检测结果后仍通过，只需考虑把k次成功改为失败的情况，故需m−k≥n，即m≥n+k；

若该结果不通过，则m<n，要使改变任意k次检测结果后仍不通过，只需考虑把k次失败改为成功的情况，故需m+k<n，即m≤n−k−1．

因此一个检测结果是”n−k