浙江省强基联盟2027届高三上学期8月月考（一模）数学试卷（含答案）

浙江强基联盟2026-2027学年高三上学期8月考试数学试题一、单选题1．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知集合，，若，则的值为（

）A．0 B．1 C．0或1 D．1或23．已知平面向量，，若存在非零实数，使得，则可能为（

）A． B．C． D．4．已知椭圆的焦点为，，是椭圆上一动点，下列等式不可能成立的是（

）A． B．C． D．5．已知复数，则（

）A． B． C． D．6．已知一组各不相同的数据的第25百分位数为，第75百分位数为，若去掉最大数，则下列情形不可能发生的是（

）A．不变 B．不变 C．变小 D．变小7．已知函数在上的最小值为1，则的取值范围是（

）A． B．C． D．8．底面边长为，高为2的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，得到一个正三棱锥和一个正三棱台．当正三棱台的外接球半径最小时，该正三棱台的高为（

）A． B．1C． D．二、多选题9．若随机变量，，则下列说法正确的是（

）A．B．C．D．若，则10．已知双曲线，焦点，，以坐标原点为圆心，为半径的圆与双曲线于第一象限交于点，则下列满足内切圆半径为1的双曲线方程有（

）A． B．C． D．11．若数列的项数为，且每一项都为或，若存在正整数，使得，则称为“―完美数列”，设“―完美数列”的个数为，则（

）A．数列，，，，不是“5―完美数列”B．C．以为首项的“―完美数列”的个数为D．三、填空题12．写出1个到直线的距离为1的点的坐标_________．13．在中，，，分别是角，，的对边，已知外接圆半径为，，的最大值为，则_________．14．连续抛掷一枚质地均匀的骰子4次，其中点数出现的次数为，记为，，，，，中奇数的个数，则的数学期望_________．四、解答题15．已知数列满足，且对任意，都有．(1)求数列的通项；(2)设，若，求满足条件的最大整数．16．如图所示，正三角形的边长为1，，分别为射线，上的点．(1)当，且为锐角三角形时，求的周长的取值范围；(2)当的周长为2时，求的面积的取值范围．17．已知圆，关于直线对称的点在圆上，直线与线段交于点．(1)求点的轨迹方程；(2)探究直线与点轨迹的关系；(3)记的面积为，的面积为，当时，求此时直线的方程．18．如图，正方体的棱长为1，点满足．(1)求证：平面；(2)记平面与平面的夹角为，平面与平面的夹角为．（ⅰ）若，求的值；（ⅱ）当取最大值时，求的值．19．定义域为的连续函数满足：对任意实数，关于的解恰好有个，我们称这个函数具有性质(1)已知函数具有性质，求的取值范围；(2)（ⅰ）证明：不存在具有性质的函数；（ⅱ）是否存在函数，使得具有性质，如果存在，请举出具体的例子，如果不存在，请说明理由．

1．A2．A3．C4．B5．C6．B7．D8．A9．ACD10．BCD11．ACD12．或(答案不唯一)13．/14．15．(1)，．(2)（1）当时，，可得，所以，则，当时，符合上式，故，．（2）由（1）得，，所以，

则，解得，又因为，所以的最大值为．16．（1）设，则，因为为锐角三角形，所以，解得，由正弦定理得，所以，，所以周长．

因为，可得，则，所以，即，所以的周长的取值范围为.（2）设，，且，，由余弦定理得，即，又因为的周长为，所以周长，即，平方后化简得，即，因为的面积，因为，所以，设，可得，所以．又因为在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以，即的面积的取值范围.17．(1)(2)（1）因为圆心为，半径，，在中垂线上，所以，在半径上，所以，即点到两定点，的距离和为定值，所以的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，，所以，，，故轨迹方程为．（2）设，中点为，由对称性，不妨设，而在射线上且，则，可得，而，化简得，且，得到，，所以，．所以，联立，得，即，经检验，故直线与点轨迹相切，此时．（3）设，则，因为与有相同的高，所以，解得，所以，即点满足，解得，，当，时，；当，时，．18．(1)证明：在正方体中，可得，且，因为平面，平面，所以平面，又因为平面，平面，所以平面，因为且平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面.（2）解：以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，可得，，，，设平面的法向量为，因为，则，取，可得，所以，设平面的法向量为，因为，则，取，可得，所以，设平面的法向量为，因为，则，取，可得，所以，（ⅰ）当时，，得，可得，解得；（ⅱ）由，得，（当时，），由，得，（当时，），①当或时，可计算得；②当且时，．若，，若，，若，，结合①②可知，，因此，当取最大值时，．19．(1)(2)（ⅰ）若函数具有性质，则在任意区间上均不能是常值函数，

因为函数具有性质，则存在，，，满足，且在区间上不是常数函数，设，分别为在区间上的最小值和最大值，若，存在，使得，又因为具有性质，则必存在唯一的，满足，若，则由零点存在定理知，存在，使得至少有四个解，矛盾；若，则由零点存在定理知，对任意，使得至少有三个解，矛盾；若，