北师大版九年级数学上册第一章《特殊的平行四边形》每课时（教学设计）汇编（含七个教学设计）

1.1认识特殊的平行四边形

一、教学目标

1.掌握菱形、矩形、正方形三种特殊平行四边形的核心概念；

2.理解菱形、矩形、正方形具有一般平行四边形的所有性质；

3.掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系.

二、教学重点及难点

重点：掌握矩形、菱形、正方形的概念，理清四类四边形之间的关系.

难点：理解菱形、矩形、正方形具有一般平行四边形的所有性质，并能应用其解决相关问题.

三、教学过程

【新知导入】

在学习三角形时，我们认识了特殊的三角形一等腰三角形、直角三角形.

类似地，在平行四边形“家族”中，也有一些特殊的“成员”.

设计意图：借助已学特殊三食形知识类比引入新知，利用知识迁移降低理解门槛，从四边形

家族生活化表述调动学生兴趣，自然引出菱形、矩形、正方形三类特殊平行四边形.

【探究新知】

教师提出：图中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗？

学生观察并回答.教师根据回答给出反馈，活跃课堂.

教师提出：从平行四边形的边或角考虑，你认为可能有哪些特殊的平行四边形？

学生通过自主预习以及观察上述图片中的形状，积极回答.

学生答案预设：矩形、菱形、正方形.

设计意图：依托生活实物图形引导学生直观观察对比，从边、角两个维度找寻平行四边形的

特殊性，借助师生问答、课堂互动启发学生自主归纳特殊平行四边形类别，顺势弓出矩形、

菱形、正方形的定义，实现由具象实物到抽象几何概念的过渡.

教师进行动画展示.

平行四一组邻边相等

通过动画，师生共同总结菱形的概念.

有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.

设计意图：借助动态动画直观演示平行四边形到菱形的演变过程，突出“一组邻边相等”这一

关键条件，引导学生跟随图形变化自主提炼定义，从直观图形过渡到文字概,念，加深学生对

菱形定义的理解，落实概念生成的教学逻辑.

教师进行动画展示.

f­J_L

平行四有一个角是直角

邂!「........」.........方k

通过动画，师生共同总结矩形的概念.

有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.

设计意图：利用动画直观呈现平行四边形内角变为直角的变化过程，聚焦“有一个角是直角”

的限定条件，依托图形动态变化引导学生归纳矩形的定义，把具象的图形变化转化为抽象文

字概念，帮助学生精准把握矩形和平行四边形的从属关系，深化概念理解.

教师引导学生归纳正方形的概念.

I平行四边形/有一组邻边相等且有一个角是直角正方形

由一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.

设计意图：串联菱形与矩形的定义，引导学生对比前面两个概念自主总结正方形定义，理顺

正方形同时兼具菱形、矩形特征的逻辑关系，完善三类特殊平行四边形的概念体系.

教师提出：菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，它们都具有一般平行四边形的所有

性质，你能分别列举一些这样的性质吗？

学生回答：对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分.

教师追问：你知道平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系吗？

I__I<

学生小组讨论1-2分钟，自由发言.教师梳理归纳学生的回答，给出标准答案.

设计意图：借助韦恩关系图直观呈现四类四边形的从属包含关系，先通过提问回顾平行四边

形通用性质，夯实知识基础；再组织小组合作探究图形间的逻辑关联，在交流研讨中突破概,

念易混点，帮助学生理清：矩形、菱形属于特殊平行四边形，正方形既是特殊矩形又是特殊

菱形，完善知识框架.

教师提问：菱形是轴对称图形吗？如果是，它有儿条对称轴？

学生在草稿纸上作图并回答.

菱形是轴对称图形.有2条末称轴，分别是菱形两条对角线所在的直线.

教师追问1：矩形是轴对称图形吗？如果是，它有儿条对称轴？

学生在草稿纸上作图并回答.

矩形是轴对称图形.它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线.

教师追问2：正方形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？

学生在草稿纸上作图并回答.

正方形是轴对称图形，有4条对称轴，分别是对边中点的连线以及两条对角线所在的直线.

设计意图：通过分层递进式提问，引导学生动手画图自主探究三种图形的轴对称特点，在动

手堞作中直观区分菱形、矩形、正方形对称轴的数量与&置差异，依托实践加深对图形几何

特征的理解，落实动手探究的课堂理念.

四、随堂练习

通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.

设计意图：通过练习，及时巩固课堂所学，加深学生对特殊平行四边形相关知识的理解，牢

牢掌握新知.

五、课堂小结

今天我们学习了哪些知识？

1.菱形、矩形、正方形三种特殊平行四边形的概念；

2.立行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系；

3.菱形、矩形、正方形的轴对称性.

六、板书设计

认识特殊的平行四边形

认_丁^有一组邻边相等的平行23边形叫乍菱形.

识'"卜条对称轴

特

殊

的

1(f有一个角是•［角的平行四边形叫作矩形.

平

行

四

边_______i有一组邻边相等目有一个角是直角的平行四边形叫作

形正方形J正方形.

1.2菱形的性质与判定（课时1）

一、教学目标

1.探索并证明菱形的性质定理；

2.能应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题；

3.经历探索菱形的性质的过程，在操作、观察、分析过程中发展学生思维意识，体会几何说理

的基本方法.

二、教学重点及难点

重点：掌握菱形的性质定理，会运用性质进行几何计算与证明.

难点：严谨推导证明菱形的性质，灵活结合性质解决综合性几何题型.

三、教学过程

【新知导入】

教师提出：菱形是常见的几何图形.有些门窗的窗格、美丽的中国结、活动挂架等都有菱形的形

象.教师通过ppt展示.

♦000

你还能举出一些例子吗？

学生积极回答其他现实中存在菱形的情况.

设计意图：结合生活实物图片导入新课，联系日常事物噢醒已有认知，让学生感知菱形源于生

活，激发探究兴趣，自然过渡到菱形性质的学习.

【探究新知】

教师提出：回顾菱形的概念.

学生回答：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.

教师提出：菱形是特殊的平行四边形，因此它具有一般平行四边形的所有性质.

即菱形对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分.除此之外，它是否具有一般平行四边形

不具有的一些特殊性质呢？

设计意图：从已学菱形定义与平行四边形旧知切入，依托“特殊图形具备一般图形全部性质+独

有特殊性质”的逻辑设问，在复习铺垫的基础上制造认知疑问，顺势引导学生聚焦菱形特有性

质，自然开启新知探究.

教师通过ppt展示动画.

学生观察动画过程及结果，进行讨论.学生小组河论1-2分钟，自由发言.教师梳理归纳学生的

回答.总结菱形的特殊性质.

1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直.

设计意图：借助动态动画直观演示菱形的边角、对角线变化特征，依托小组合作观察自主猜想

特殊性质，由具象图形变化提炼抽象定理，实现从直观感知到结论归纳，突破菱形独有性质的

认如难点.

教师引导学生对菱形的特殊性质进行证明.

证明1：菱形的四条边都相等.

已知：如图，在菱形A8CO中，AB=AD,

求证：AB=BC=CD=AD.H

证明：・・•四边形ABC。是菱形，

AC

：.AB=CD,（菱形的对边相等）

又lAB二AO,：.AB=BC=CD=AD.£>

证明2：菱形的两条对角线互相垂直.

己知：如图，在菱形ABCO中，对角线AC与相交于点0.

求证：AC.LBD；

解：・.・4%A。，是等腰三角形

又•・•四边形4BCD是菱形，

・・・。8二。八（菱形的对角线互相平分）AoC

在等腰三角形AB。中，,：OB=OD

fD

.••八OJLB。，即AC_LB。.

设计意图：依托菱形定义和平行四边形已有性质分步严谨推导证明，借助等腰三角形三线合一

完成对角线垂直的论证，让学生亲历定理的逻辑推导过程，明晰性质的由来，培养严谨的几何

推理与规范书写证明步骤的能力.

教师追问：根据等腰三角形的性质，还能推出菱形的什么性质？

教师引导学生进行推导、证明.

解：在等腰三角形A3。中，'・・05=0。

D

：.A01BD

・・・A0平分NBA。，^ZDAC=ZBAC.」、C

4O

同理可证NOCA二NBC4,ZADB=ZCDB,NABD=/CBD.

通过证明，发现结论，进行归纳总结.D

性质推论：菱形的每一条对角线平分一组对角.

设计意图：立足已证“对角线互相垂直'’的结论顺势追问，依托等腰三角形三线合一拓展推导对

角浅平分一组对角的推论，锻炼学生举一反三、逻辑延伸的几何推理能力.

通过以上证明，归纳总结菱形的性质及其符号语言，学生做笔记.

菱形的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直

符号语言：•・,四边形A8CO是菱形，:.AB=BC=CD=AD,ACA.BD.

设计意图：整合前面探究与证明所得结论，统一梳理菱形文字性质与对应的几何符号语言，引

导学生整理笔,记固化知识点，帮助学生规范几何书写格式，搭建文字定理与几何符号的转化桥

梁，夯实新知记忆.

【例题练习】

如图，在菱形48C。中，对角线4c与8。相交于点。，NH4D=60。，BD=6.

（1）求48和4。的长；（2）求菱形ABCD的面积.

解：（I）：四边形ABCD是菱形,

：.AB=AD（菱形的四条边相等），ACLBD（菱形的对角线互相垂直），

。月二。庆_LBO=」X6=3.（菱形的对角线互相平分）.

22

在等腰三角形A3。中，・・・/BAO=6（）。，•••△A8O是等边三角形.

：.AB=BD=6.

在RtZXAOB中，由勾股定理，得042+032=432,

:.0A7AB2-OB?=V62-32=35/3.

・・・AC=2O4=6G（菱形的对角线互相平分）.

解：（2）菱形ABCD的面积二△人△。的面积+ZXG?。的面枳=2xA4j?。的面积

=2xiBD0A=2x-x6x34=186

22

设计意图：紧扣菱形边、对角线相关性质搭配典型例题，结合等边三角形、勾股定理解题，在

实战演练中巩固菱形性质，提升学生运用定理列式计算、整合知识点解题的应用能力.

四、随堂练习

通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.

设计意图：通过练习，及时巩固课堂所学，使学生牢牢掌握新知.

五、课堂小结

今天我们学习了哪些知识？

1.菱形的性质；

2.应用菱形的性质解决相关计算或证明问题.

六、板书设计

菱形的性质

具有平行四边形的所有性质

菱

形

的

性

质

一①羡形的四条边相等；

②菱形的对角线互相垂直.

1.2菱形的性质与判定（课时2）

一、教学目标

1.理解并掌握菱形的判定方法；

2.能熟练运用菱形的判定知识进行计算和证明；

3.经历菱形的判定定理的探索和运用其解决相关问题的过程，培养和发展学生的推理能力.

二、教学重点及难点

重点：掌握菱形的判定定理，能够准确运用判定方法证明一个平行四边形或四边形为菱形.

难点：辨析不同菱形判定定理的适用条件，灵活选取合适的判定方法解决综合性几何证明与计

算问题.

三、教学过程

【新知导入】

学生自主完成表格.

菱形的定义和性质

定义_______________的平行四边形是菱形.

边四条边_____对边平行.

角对角相等.

对角线对角线互相—__________•

教师提出：根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定的方法：有一组邻边相等的平行四边形是

菱形.除了菱形的定义，还有其他的判定方法吗？

设计意图：借助填空表格回顾菱形旧知，由定义引出第一种判定定理，再通过设问设疑，勾起

学生探究新知的好奇心，顺势开启另外两条菱形判定定理的探究学习.

【探究新知】

教师提出：由菱形的性质定理可知，如果一个四边形是菱形，那么它的四条边相等.反过来，四

条边相等的四边形一定是菱形吗？为什么？

学生活动：用折纸的办法得到一个菱形.先将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线

剪下，将纸展开，就得到了一个菱形.

展开

I)

猜想：四条边相等的四边形是菱形.

教师引导学生进行证明，验证猜想.

已知：如图，在四边形48C。中，AB=BC=CD=AD.

求证：四边形A8CD是菱形.

D

证明：•；AB=BC=CD=AD；：.AB=CD,BC=AD.

・•・四边形ABCD是平行四边形.

又'：AB=BC,

・・・四边形ABC。是菱形.

通过证明得出结论，归纳总结，学生做笔记.

菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形.

符号语言：在四边形A8c。中，,.・A8=8C=CQ=AQ,J四边形A8CO是菱形.

AB-BC*CD^AD

菱形”CO

设计意图：从菱形性质逆向设问引出猜想，结合折纸实操让学生直视感知图形特征，再通过严

谨几何证明睑证猜想，由动手操作到逻辑推导生成判定定理，规范符号语言并整理笔记，实现

从具象体验到抽象定理的转化，培养逆向推理与严谨证明的能力.

教师提出：我们知道，如果一个平行四边形是菱形，那么它的对角线互相垂直.你能说出这个性

质的逆命题吗？

学生回答：逆命题为如果一个平行四边形的对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形.

教师追问：这个逆命题成立吗？

学生猜测：成立.

教学活动:用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,

四周围上一根橡皮筋，做成一个平行四边形.转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形？

教师通过ppt展示动画.

教师提出：通过动画展示，你有什么猜想？

学生回答：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

设计意图：利用性质逆向思考引出逆命题，借助木条教具实操搭配动画演示，在动态变化中引

导学生观察图形转变条件、自主形成猜想，遵循“猜想一直观脸证一后续证明”的探究逻辑，落

实几何逆向探究的思维训练.

教师引导学生进行证明，验证猜想.

己知：如图，四边形ABC。是平行四边形，对角线AC与3。相交于点0,且AC_LBD

求证：ZZZ4BCD是菱形.

B

D

证明：・・•四边形A8CO是平行四边形.

：.0A=0C.

・・・8。是线段AC的垂直平分线.

：.BA=BC.

・•・LJABCD是菱形.

通过证明得出结论，归纳总结，学生做笔记.

菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

符号语言：在D4BC。中，ACA.BD,J是菱形.

/ACLBDB<：-----卜

B/<------7c

°ABCD夔点8(7)

设计意图：依托平行四边形性质与线段垂直平分线定理完成严谨推证，脸证猜想成立并提炼判

定定理，同步规范几何符号表达式，帮助学生理清判定逻辑，区分“四边形”与“平行四边形”两

种判定前提，完善菱形三类判定方法的知识体系.

教师提出：如图，已知线段AC,请用尺规作菱形ABC7),使AC为菱形的一条对角线.

A-------------------------------------C

学生在草稿纸上进行尝试，作图完毕后，教师通过ppt公布正确作法.

如图，分别以A,c为圆心，以大于LAC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点氏D,依次

2

连接A,B,C,D,四边形ABCQ是菱形.

教师提出：满足上述条件的菱形唯一吗？如果不唯一，那么你认为添加怎样的条件，就可以使

作出的菱形是唯一的？

学生小组讨论1・2分钟，自由发言.教师对学生的回答进行反馈，总结观点.

不唯一.

问题1中的菱形的另一条对角线的长度可以任意选取，因此满足问题1条件的菱形有无数个.

菱形由两条对角线的长度唯一确定(对角线互相垂直平分)，因此只要补充条件确定另一条对

角线的长度，即可使菱形唯一.

设计意图：借助尺规作图实操落地菱形判定定理；再通迂唯一性设问组织小组合作探究，启发

学生发现一条对角线固定、另一条对角线可变则菱形不唯一，深化对菱形对角线构造规律的理

解，实现定理从理论识记到实操运用的转化.

【例题练习】

己知，如图，在LJABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB。,0/1=2,03=1.

求证：D4BCZ）是菱形.

B

A----------@.........—^C

D

证明：在aAOB中，

9222

：AB=y/5,0A=2f08=1,：,AB=OAWB,

•••△AOB是直角三角形，乙403是直角.

：.AC±BD.

・・・D13C。是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.

设计意图：依托勾股定理逆定理证出对角线垂直，进而运用本节课“对角线互相垂直的平行四

边形是菱形”的判定定理完成证明，将旧知勾股定理与新知菱形判定综合运用，巩固判定方法，

训冻学生整合知识点解题的逻辑推理能力.

四、随堂练习

通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.

设计意图：通过练习，及时巩固课堂所学，使学生牢牢掌握新知.

五、课堂小结

今天我们学习了哪些知识？

1.菱形的判定定理；

2.运用菱形的判定定理进行计算和证明.

六、板书设计

菱形的判定

判定方法1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）.

判定方法2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

判定方法3：四条边相等的四边形是菱形.

1.3矩形的性质与判定（课时1）

一、教学目标

1.探索并证明矩形的性质定理；

2.能应用矩形的性质定理解决相关计算或证明问题；

3.根据矩形的性质推导出直角三角形斜边中线定理，体会矩形与直角三角形之间的相互转化.

二、教学重点及难点

重点：掌握矩形的性质与直角三角形斜边中线定理，能用性质进行计算与证明.

难点：推导直角三角形斜边中线性质，灵活实现矩形和直角三角形的边角转化解题.

三、教学过程

【新知导入】

教师提出：矩形也是常见的几何图形.门窗框、书桌面、地砖等都有矩形的形象.

教师提出：你还能举出一些例子吗？

学生积极回答其他现实中存在矩形的情况.

设计意图：从窗框、课桌、地转等生活化实物图片切入导入新课，联系生活实例直观呈现矩形，

调动学生生活经脸，激发学习兴趣，自然引出矩形性质的探究内容.

【探究新知】

教师提出：回顾矩形的概念.

学生回答：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.

教师提问：矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质.你知道有哪些吗？

学生回答：矩形对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分.

教师追问：除此之外，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？

设计意图：以菱形学习思路类比，先依托平行四边形旧知铺垫基础性质，再通过递进设问，在

已有知识上制造认知疑点，引导学生聚焦矩形独有的特殊性质，实现由一般到特殊的探究过渡，

自然开启矩形边角、对角线特殊性质的探究.

教师提出：根据定义在草稿纸上画一个矩形，度量矩形的四个角，你有什么发现？

学生在草稿纸上进行作图，应用量角器度量矩形的四个角.通过度量发现矩形的四个角均为90。.

猜想：矩形的四个角都是直角.

连接你所画矩形的对角线，测量两条对角线的长度，你有什么发现？

学生测量并回答：矩形的两条对角线的长度相等.

猜想：矩形的对角线相等.

设计意图：让学生动手画图、测量角度与对角线，从实操数据中归纳猜想矩形性质，亲身经历

探究过程，培养几何直观.

教师引导学生对猜想进行验证，并规范解题步骤.

己如：如图，四边形ABCO是矩形，ZABC=90%对角线AC与。8相交于点0.

求证：（2）AC=DB；

证明：（1）・・,四边形A8CQ是矩形，

AZABC=ZCDA,ZBCD=ZDAB（矩形的对角相等），AB//DC（矩形的对边平行）.

，ZABC+ZBCD=\SO0.

又•・•NABO90。，・・・Z^CD=90°.

・•・ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAB=90°.

（2）・・•四边形A4CQ是矩形，・・・A8=O。（矩形的对边相等），

9

在△ABC和△OCB中，：AB=DCt/ABC=/DCB,BC=CB.

：.4ABC咨/\DCB.：.AC=DB.

通过证明，归纳总结矩形的性质及符号语言，学生做笔记.

矩形的性质：矩形的对角线相等.；矩形的四个角都是直角.

符号语言：•・•四边形ABC。是矩形，/.ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAB=90°；AC=BD.

设计意图：依托严谨推理证明猜想，规范几何书写格式，归纳矩形性质与符号语言，帮助学生

从直观猜想过渡到严谨论证，锻炼逻楫推理素养.

教师提出：如左图，在矩形纸片ABCO中，对角线AC与相交于点E.将矩形纸片沿AC剪

开，得到右图所示的图形，3E是RtZXABC中一条怎样的线段？它与AC有什么大小关系？由

此弥能得到什么结论？

学生猜想：BE是RtZ\ABC斜边上的中线，BE=-AC.

2

教师引导学生对猜测进行证明.

证明：・・•四边形ABC。是矩形，矩形的对角线相等），・・・8E=QE=AE=CE,

・••在RtAABC中，AC为斜边，BE为斜边上中线且BE二1AC.

2

通过证明，验证猜想，进行总结，学生做笔记.

定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

符号语言：在RtZXABC中，VZ>4BC=90°,OA=OC,：,BO=-AC

设计意图：借助矩形剪纸动手拆分的探究活动，依托已学矩形对角线性质推导新定理，实现矩

形与直角三角形知识转化，经历猜想、证明、归纳全过程，深化逻辑推理.

【例题练习】

如图，在矩形A8CO中，两条对角线相交于点O,NAOLM20。，48=2.5,求这个矩形对角线

的长.

B

解：•・•四边形A8CQ是矩形,

・•・/D48=90。（矩形的四个角都是直角），AC=BD（矩形的对角线相等）,

OA=OC=-AC,（矩形的对角线互相平分）,

22

：.OA=OD.

ZAOD=12()°,I.ZODA=ZOAD=1(180°-120o)=30°.

：.BD=2AB=2x2.5=5.

教师提出：你还有其他的解法吗？课下试一试.

设计意图：借助例题巩固矩形边角、对角线相关性质，活用直角三角形边角结论解题，一题多

解拓展思路，夯实新知并提升灵活运用能力.

四、随堂练习

通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.

设计意图：通过练习，及时巩固课堂所学，使学生牢牢掌握新知.

五、课堂小结

今天我们学习了哪些知识？

1.矩形的性质;

2.直角三角形斜边中线定理.

六、板书设计

矩形的性质

具有平行四边形的所有性质

矩

形

的①四个角都是直角

特殊性质

性②对角线相等

质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

13矩形的性质与判定（课时2）

一、教学目标

1.理解并掌握矩形的判定方法；

2.能熟练运用矩形的判定知识进行计算和证明；

3.经历矩形的判定定理的探索和运用其解决相关问题的过程，培养和发展学生的推理能力.

二、教学重点及难点

重点：掌握矩形两种判定定理并能规范应用.

难点：灵活选取合适判定方法进行推理证明.

三、教学过程

【新知导入】

学生自主完成表格.

矩形的定义和性质

定义____________的平行四边形叫作矩形.

边对边平行且相等.

角四个角都是________.

对角线对角线_______.

教师提出：根据矩形的定义，可得矩形的第一个判定的方法：有一个角是直角的平行四边形叫

作矩形.除了矩形的定义，还有其他的判定方法吗？

设计意图：借助填表回顾矩形定义与性质，唤醒旧知，由定义引出矩形第一种判定，顺势设问

催生探究需求，自然过渡到新课矩形其余判定定理的学习，实现新旧知识衔接.

【探究新知】

教师提出：我们知道，矩形的四个角都是育角.你能说出它的逆命题吗？

学生回答：逆命题为四个角都是直角的四边形是矩形.

教师追问1：你认为这个逆命题成立吗？

学生回答：成立.

教师追问2：你认为至少有几个角是直角的四边形是矩形？有一个角是直角的四边形是矩形吗？

有两个角是直角的四边形是矩形吗？有三个角是直角的四边形是矩形吗？

学生小组讨论1-2分钟，自由发言，教师对学生的回答进行反馈，并通过ppt展示例子.

D

DD

A■______

A■---------hA■-------W

（有三个角是直角）

（有一个角是直角）（有二个角是直角）

猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.

设计意图；从矩形性质逆向引出逆命题，以阶梯式设问逐步缩减直角数量，配合图示举反例、

组织小组研讨辨析正误，在思辨中归纳猜想，渗透逆向推理与举反例的数学思想，自然生成矩

形角判定的探究结论.

教师引导学生对猜测进行证明.

己知：如图，在四边形43C。中，ZA=ZB=ZC=90°.

求证：四边形A5C。是矩形.

4口--------------

-----------------nc

证明：VZA=ZB=ZC=90°

AZA+ZB=180°,ZB+ZC=180°,

:.AD//RC,AR!ICD.

・・・四边形A8CO是平行四边形.

又「ZA=90°,

・•・四边形A8C。是矩形.

通过证明得出结论，归纳总结，学生做笔记.

矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形.

符号语言：在四边形ABCQ中，・・・/A=NB=NC=90。,

・・・四边形A8CQ是矩形.

设计意图：立足猜想开展严谨几何证明，利用平行线判定先证四边形为平行四边形，再依托矩

形定义完成定理推导，实现猜想到定理的转化；同步梳理定理文字与符号表达，引导学生整理

笔圮，规范几何书写范式，锤炼学生严谨的逻辑论证素养.

教师提出：我们知道，矩形是对角线相等的平行四边形.你能说出它的逆命题吗？

学生回答：逆命题为对角线相等的平行四边形是矩形.

教师追问：你认为这个逆命题成立吗？

教师引导学生进行证明，验证上述逆命题的真假.

己知：如图，在D4BC7）中，AC,是它的两条对角线，且

求证：D4BCQ是矩形.

证明：•・,四边形43co是平行四边形，：.AB=DC,AB//CD.

又〈AC=DB,BC=CB,:AABCqADCB.

:./ABC=NDCB.

VAB//CD,/.ZABC+ZDCB=]SO\

：./ABC=NDCB=90。.

是矩形.

通过证明得出结论，归纳总结，学生做笔记.

矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形.

几何语言描述：在乙WCO中，'：AC=BDf.・・38C7）是矩形.

设计意图：沿用性质逆推的探究模式，从矩形对角线原有性质出发构造逆命题引发猜想，借助

平行四边形的性质结合公共边证三角形全等，推导直角后利用矩形定义完成证明，完整复刻“提

出猜想一逻辑求证一提炼定理”的探究路径，整理文字与符号语言，强化学生规范书写与逻辑

推导能力.

教师提出：现在你知道如何判定一个四边形为矩形了吗？

学生积极回答，教师梳理归纳学生的回答.

设计意图：借助层级思维导图梳理判定路径，区分从四边形直接判定、先证平行四边形再判定

矩形两种思路，帮助学生理清知识逻辑层级，打通四边形、平行四边形、矩形三者的从属关联，

完善知识框架，实现当堂内容归纳内化.

【例题练习】

如图，在04BCO中，对角线AC和3。相交于点O,AAB。是等边三角形，AB=4.

求UABCD的面枳.

解：•・•四边形A8CO是平行四边形，・・・0A=。C,OB=OD.

又「△AB。是等边三角形，・・・0A=0B=AB=4.

：.0A=0B=0C=0D=4.

：.AC=BD=2OA=2x4=S,

：.UABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.

・•・/A8O90。（矩形的四个角都是直角）.

在RtZVWC中，由勾股定理，得A82+3（T=AC2,

・・・BC=ylAC2-AB2=V82-42=45/3

.•・SC:ABCD=ABBC=4X4^=1673.

设计意图：在综合题型中巩固新知，提升学生筛选条件、融会旧知解决几何计算题的能力，培

养学生的几何分析、推理证明与知识综合运用能力.

四、随堂练习

通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进•步巩固新知.

设计意图：通过练习，及时巩固课堂所学，使学生牢牢掌握新知.

五、课堂小结

今天我们学习了哪些知识？

1.矩形的判定定理；

2.运用矩形的判定定理进行计算和证明.

六、板书设计

矩形的判定

判定方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形.（定义）.

判定方法2：对角线相等的平行四边形是矩形.

判定方法3：有三个角是直角的四边形是矩形.

1.4正方形的性质与判定（课时1）

一、教学目标

1.理解并掌握正方形的性质定理；

2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别；

3.能熟练运用正方形的性质进行计算和证明.

二、教学重点及难点

重点：掌握正方形边、角、木角线的性质，理清它与矩形、菱形、平行四边形的从属关系.

难点：灵活融合多种图形性质进行几何推理与计算.

三、教学过程

【知识回顾】

教师提出：菱形的性质有哪些？矩形的性质有哪些？

学生回答：菱形的对角相等；菱形的对边平行且四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直,

并且每一条对角线平分一组走角.

矩形的四个角都是直角；矩形的对边平行且相等；矩形的对角线互相平分且相等.

设计意图：通过回顾菱形与矩形的性质，巩固旧知、形成对比，为后续学习正方形的性质做好

知沃铺垫，帮助学生构建特殊平行四边形的知识体系，涪养归纳梳理能力.

【新知导入】

教师提出：还记得正方形的定义吗？

学生回答：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.

教师追问：正方形与菱形有怎样的关系？与矩形呢？

设计意图：从正方形定义切入，依托已有矩形、菱形旧知设问关联，顺势搭建平行四边形、矩

形、菱膨、正方形的知识脉络，为推导正方形兼具两类图形的全部性质做好铺垫.

【探究新知】

教师提出：正方形是矩形吗？是菱形吗？

教师引导学生回答：由正方形的定义可知，正方形既是矩形，又是菱形.

教师提出：你认为正方形有哪些特殊的性质？

学生小组讨论1-2分钟，自由发言.教师梳理归纳学生的回答.

正方形既是矩形，也是菱形，它具有矩形和菱形的所有性质

设计意图：依托从属关系设问厘清正方形与矩形、菱形的包含关联，以小组研讨调动学生自主

归结性质，结合思维导图整合三类图形性质，让学生依托已有旧知自主推导出正方形兼具矩形、

菱形全部性质，循序渐进完善知识体系.

定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等.

定理：正方形的对角线相等且互相垂直平分.

教师引导学生证明上述两个定理.

已知：如图，四边形A3。是正方形.

求证：ZBAD=ZABC=ZBCD=ZADC=90°,AB=BC=CD=AD,ACLBD,AC=BD,

OA=OB=OC=OD.

4__________B

区

证明：・・•四边形A8CO是正方形，

・・・/区4。=9()。，。(正方形的定义).

又「正方形ABCD是平行四边形，

・•・正方形ABCD是矩形（矩形的定义），正方形ABCD是菱形（菱形的定义）.

ZBAD=ZABC=ZBCD=ZADC=90°,AB=BC=CD=AD,AC.LBD,AC=BDfOA=OB=OC=OD.

设计意图：立足正方形兼具矩形、菱形的从属关系，依托定义与已学图形性质完成定理推导，

省去繁琐的重复证明，让学生借助原有知识完成逻辑论证，规范几何证明书写格式，巩固正方

形融合矩形、菱形全部特征的知识点，强化利用图形从属关系推理的思维方法.

【例题练习】

如图，在正方形ABCQ中，E为。。上一点，尸为BC延长线上一点，且CE=CF.RE与DF之

间有怎样的关系？请说明理由.

解：BE=DF,且理由如下：

（1）,・,四边形ABCD是正方形，

:,BC=DC,N3CE=9（）。（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）.

ZDCF=180°-ZBCE=180°-90°=90°.AZBCE=ZDCF.

又•/CE=CF,二△BCE94DCF.

：.BE=DF.

(2)延长BE,交DF于点、M.

■:△BCEQADCF,：.ZCBE=ZCDF.

VZDCF=90°,・・・NCDF+NF=90。.

工ZCBE+ZF=90°,ZBMF=90°.

：.BE1.DF.

设计意图：本题从线段数量与位置双重关系设问，综合运用正方形边角性质与全等三角形判定,

分步证明线段相等、垂直，在实操中活用正方形性质，殿炼几何综合推理与数形分析能力.

【探究新知】

根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打y’’.

性质'图形平行四边形矩形菱形壬方形

对边平行且相等

边

四边相等

角四个角都是直角

对角线相互平分

对角线相互垂直

对角线

对角线相等

每条对角线平分一组对角

教师引导学生完成表格.

设计意图：借助表格横向对比四类四边形的边、角、对角线特征，梳理异同点，系统化厘清四

者从属与包含关系，在填表梳理中巩固各类图形性质，帮助学生区分易混知识点，构建条理清

晰的知识框架.

如图，四边形是正方形.

⑴在正方形中画一个菱形，使菱形的两个顶点分别与点A,C重合，则菱形的另外两个顶点需

要满足怎样的条件？试一试，并与同伴交流你画图的理由.

Ai-----------------------\D

B------------C

学生小组讨论1-2分钟，自由发言.教师对学生的回答进行反馈.应用ppt展示正确答案及作法.

连接对角线AC.DB交于点0.

条件：另外两个顶点在正方形对角线3。上，且关于对角线4C对称.

理由：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，因此四边形AMCN是菱形.

(2)在正方形中画一个矩形石尸G”,使矩形的四个顶点EF,G,”依次在正方形A8CO的边

AB,BC,CD,AO上，则矩形E/GH的四个顶点需要满足什么条件？

学生在草稿纸上进行作图，教师进行巡视,观察学生的作图进度，在绝大多数学生完成作图后，

应用ppt展示正确答案及作法.

连接对角线AC、DB交于点0.

条件：点E与点G；点产与点”关于点。对称，且这四个顶点到正方形中心点的距离相等.

理由：对角线相等的平行四边形是矩形，因此EFG”为矩形.

设计意图：以正方形内动手画图为探究载体，依托菱形、矩形的判定定理反向限定顶点位置，

借助小组合作探究画图条件，打通图形判定与实操作图的关联；紧扣正方形中心对称、对角线

的固有特征，深化正方形和菱形、矩形的从属关联，锻炼学生逆向推理、学以致用的几何实操

能力.

四、随堂练习

通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.

设计意图：通过练习，及时巩固课堂所学，使学生牢牢掌握新知.

五、课堂小结

今天我们学习了哪些知识？

1.正方形的性质；

2.应用正方形的性质解决问题.

六、板书设计

正方形的性质

正边：对边平行，四边相等.

方

形

的角：四个角都是直角

性

质

对角线：两条对角线互相垂亘平分且相等

1.4正方形的性质与判定（课时2）

一、教学目标

1.理解并掌握正方形的判定定理和推导过程；

2.能熟练运用正方形的判定定理进行计算和证明；

3.经历正方形的判定定理的探索和运用其解决相关问题的过程，培养和发展学生的推理能力.

二、教学重点及难点

重点：掌握正方形的判定定理，能应用正方形的判定定理进行计算和证明.

难点：根据题干条件灵活择优选用判定定理完成几何推证.

三、教学过程

【知识回顾】

教师提出：回顾正方形的定义及其性质.

学生回答：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.

正方形的四个角都是直角，四条边相等.正方形的对角线相等并且互相垂直平分.

设计意图：温习正方形定义与已有性质，为本节课由矩形、菱形推导正方形判定定理铺垫知识

根基，搭建新旧内容的衔接桥梁.

【新知导入】

一组邻边相等，

防的形

且有一个角是宜角

教师提出：正方形既是矩形，又是菱形.你知道满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件

的菱形是正方形？

设计意图：立足正方形与矩形、菱形的从属关系设问，依托原有图形性质逆向推导判定条件,

自然引出本课正方形判定的探究主题，实现由旧知向新知的平稳过渡.

【探究新知】

教师提出：矩形的边有什么样的性质？正方形的边有什么样的性质？

学生回答：矩形的对边平行且相等；正方形的对边平行且四边相等.

教师追问：矩形添加邻边相等能否得到正方形？即有一组邻边相等的矩形是否为正方形？

艇添wa晒能耳访形

’得到正方形

教师引导学生进行证明.

己知：如图，在矩形ABC。中，AB=AD.

求证：矩形ABC7）是正方形.

证明：♦・,四边形/WCO是矩形，・・・N4=90。.

又「AB二A。,二矩形ABC。是正方形.

教师提出：你知道证明的依据是什么吗？

学生回答：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形.

设计意图：从矩形与正方形的边的特征对比切入，通过递进式提问引出判定猜想，依托正方形

定义完成严谨证明，让学生亲历”对比特征一提出猜想一推理论证”的探究过程.

教师提出：矩形的对角线具有什么性质？正方形的对角线具有什么样的性质？

学生回答：矩形的对角线相等且互相平分；正方形的对用线相等且互相垂直平分.

教师追问：矩形添加对角线互相垂直能否得到正方形？如何证明呢？

教师引导学生进行证明.

己知：在矩形A8CO中，AC,OB是它的两条对角线，且AC_LOB.

求证：四边形A8CD是正方形.

I.H-

区,

证明：•・,四边形A8CD是矩形，・・・。8二。》

VAC1BD,：.AC是线段BD的垂直平分线.

・,・矩形力8c。是正方形.

教师提出：你知道证明的依据是什么吗？

学生回答：有一组邻边相等的矩形是正方形.

设计意图：对比矩形与正方形对角线的区别，以增加对角线垂直条件生成猜想，借助垂直平分

线性质推导出邻边相等，沿用刚刚得出的判定定理完成证明，层层递进完善矩形判定正方形的

第二条结论，在连贯推导中实现定理前后呼应，锻炼学生迁移新知、逻辑推导的能力.

根据上述探究，归纳总结正方形的判定定理及其符号语言，学生做笔记.

定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形.

符号语言：•・•四边形ABC。是矩形，・••四边形A3CD是正方形.

定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形.

符号语言：•・•四边形ABCQ是矩形，AC_LBD,・••四边形ABCQ是正方形.

设计意图：整合前面探究内容，梳理归纳两条由矩形判定正方形的定理与规范几何符号语言,

引导学生整理笔记固化知识点，规范几何书写格式，形成条理化的判定知识.

教师提出：菱形的角具有什么性质？正方形的角具有什么性质？

学生回答：菱形的对角相等；正方形的四个角相等，都为9()。.

教师追问：菱形添加有一个角为直角能否得到正方形?

菱形添MW5角史再

’角能否得到正方茂尹

教师引导学生进行证明

已知：如图，在菱形A8C。中,ZA=90°.求证：菱形A8CD是正方形.

证明：•・,四边形A3C。是菱形，：.AB=AD.

又二乙4=90°,・••菱形ABCQ是正方形.

教师提出：你知道证明的依据是什么吗？

学生回答：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形.

设计意图：对比菱形与正方形内角特征引出猜想，依托正方形定义完成证明，归纳从菱形判定

正方形的方法，承接前面矩形证正方形的探究思路，完善判定体系，培养类比探究的数学思维.

教师提出：我们知道菱形的疝角线垂直且互相平分，正方形的对角线相等且互相垂直平分.

若菱形的对角线相等，能否得到该菱形为正方形？

教师引导学生进行证明.

己如：在菱形A8CZ)中，对角线

求证：四边形ABCQ是正方形.

证明：•・,四边形ABCO是菱形，AOA=OC,OB=OD,AC1BD.

*：AC=BDt：.OA=OB=OC=OD.

：.2AOB,△5OC是等腰直角三角形.

・•・/ABO=ZCBO=45°,:.ZABC=90°.

・•・菱形A5CO是正方形.

教师提出：你知道证明的依据是什么吗？

学生回答：有一个角是直角的菱形是正方形.

设计意图：沿用类比探究的授课思路，对照菱形与正方形对角线的差异提出猜想，依托上一定

理完成证明，补充菱形判定正方形的第二条定理，完善正方形的判定框架，让学生体会类比推

理的探究方法.

根据上述探究，归纳总结正方形的判定定理及其符号语言，学生做笔记.

定理3：有一个角是直角的菱形是正方形.

符号语言：•・,四边形A8C。是菱形，/A8C=90。，・•・四边形ABCO是正方形.

定理4：对角线相等的菱形是正方形.

符号语言：..•四边形A8C。是菱形，AO8Q,・・・四边形ABCO是正方形.

/K

设计意图：系统归纳由菱形判定正方形的两条核心定理及标准符号语言，承接前面矩形判定正

方形的知识内容，完善正方形的判定体系.

教师对平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定进行总结，梳理知识，理清脉络.

设计意图：梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，帮助学生理清四类图形的判定

逻辑，整合零散知识，构建完整的特殊平行四边形知识体系；强化对判定定理的理解与记忆,

避免知识点混淆，培养学生归纳梳理、融会贯通的能力.

【例题练习】

己知：如图，在矩形ABCD中，BE平分NABC,CE平分/DCB,BF//CE,CF//BE.

求证：四边形是正方形.

证明：*：BF//CE.CF//BE,，四边形阴文T7是平行四边形.

・・•四边形A3CO是矩形，ZABC=90°,ZDCB=90°.

又・.・3E平分N48C,CE平分/DCB,

・・・/EBC=L/ABC=45。,ZECB=-ZDCB=45°.

22

J/EBC=/ECB.

：.EB=EC.

・•・[JBECF是菱形（菱形的定义）.

在△E3C中，VZEBC=45°,ZECB=45°,

JZBEC=90°.

・•・菱形8EC厂是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）.

设计意图：引导学生掌握层层递进、逐级判定的几何推理逻辑，打破单一定理套用模式，训练

学生根据题干条件灵活选取判定方法的能力，提升学生几何综合证明与逻楫推导的素养.

【探究新知】

教师提出：如图，四边形ABCQ是正方形，连接它各边的中点，可以得到一个怎样的四边形？

学生在草稿纸上