北师大版九年级数学上册复习讲义：认识一元二次方程

专题2,1认识一元二次方程(举一反三讲义)

【新教材北师大版】

....................................题型归纳

【题型1一元二次方程的识别】..................................................................1

【题型2由一元二次方程的定义求参数】..........................................................3

【题型3化成一元二次方程的一般形式】..........................................................5

【题型4求一元二次方程的各项系数】............................................................7

【题型5由一元二次方程各项系数的值求参数】....................................................8

【题型6判断是否是一元二次方程的解】..........................................................10

【题型7由一元二次方程的解求参数】...........................................................11

【题型8由一元二次方程的解求代数式的值】.....................................................13

【题型9已知一元二次方程的解求另一个方程的解】...............................................16

【题型10根据实际问题列一元二次方程】..........................................................18

考点1一元二次方程的定义

知识点1一元二次方程的定义

L定义：如果方程中只含有二±未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2,这样的方

程叫作一元二次方程.

2•一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2.

例如：妥+x=2,x2+1,/+y-3=0,x3-3x+8=0,(X-1)(%-2)=/-1均不是一元二次方程.

【题型1一元二次方程的识别】

【例1】(25-26八年级下•浙江宁波・期中)下列方程中，关于汇的一元二次方程是()

A.3(X+1)2=2(X+1)B.；+；2=0

C.ax2+bx+c=0D.2x-3=1

【答案】A

【分析】本题考查识别一元二次方程，理解一元二次方程的定义是解答本题的关键.

本题根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次

数为2,二次项系数不为0,据此逐一判断选项即可.

【详解】解：A、整理原方程3（%+1）2=2。+1）,得3/+4%+1=0,满足一元二次方程的所有条件，故

此选项符合题意；

B、原方程分母含有未知数X,不是整式方程，故此选项不符合题意；

C、原方程未说明QO0,当Q=0时不是一元二次方程，故此选项不符合题意；

D、原方程中未知数最高次数为1,是一元一次方程，故此选项不符合题意.

故选：A.

【变式1-1]（25-26九年级上•四川成都•期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（）

A.2x+1=0B.x2+3z=1C.9+/=2D.2x+y=3

【答案】B

【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一

元二次方程解答即可，掌握定义也是解题关键.

【详解】解：A.2x+l=0,未知数最高次数是1,不是一元二次方程，不符合题意；

B.X2+3X=1,符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，符合题意；

C.点+y=2,不是整式方程，即不是一元二次方程，不符合题意；

D.2x+y=3,含有2个未知数,不是一元二次方程，不符合题意.

故选B.

【变式1-2]（25-26九年级上•江苏徐州•期中）下列方程中，是一元二次方程的是（）

A./+31=0B./="

C.x2+x-4=x2D.y2-2x-1=0

【答案】B

【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方

程叫一元二次方程是解答此题的关键.据此逐项判断即可.

【详解】解：A、方程%2+3%-2=0不是整式方程，故不是一元二次方程，该选项不符合题意；

X

B、方程X2=是一元二次方程，该选项符合题意；

C、方程/+工-4=/整理得％-4=0,故不是一元二次方程，该选项不符合题意:

D、方程y2-2%-1=0含有两个未知数，故不是一元二次方程，该选项不符合题意；

故选:B.

【变式1-3](25-26八年级下•安徽合肥・期中)下列方程中，是关于》的一元二次方程的是()

A.x2=0B.3+工-2=0

x£X

C.ax2+bx+c=0D.x24-2x=(x-l)(x—1)

【答案】A

【详解】解：选项A：x2=0,满足所有条件，是关于汇的一元二次方程；

选项B：2+2-2=0是分式方程，不是整式方程，不符合定义，排除；

X

选项C：a/+bx+c=0中，未说明a¥0,当a=0时不是二次方程，排除；

选项D：x2+2x=(%+1)(%—1)

化简，得/4-2x=x2—1»

整理得2x+l=0,是一元一次方程，不符合定义，排除.

【题型2由一元二次方程的定义求参数】

【例2】(25-26九年级上•云南昭通・期末)方程5-3)”1-1+3%+371=0是关于〃的一元二次方程，〃满

足的条件是()

A.n>3B.n=3C.n<3D.n=-3

【答案】D

【详解】•.•方程5-3)”T+3无+3〃=0是关于x的一元二次方程，

•,.|n|-1=2,即|n|=3,解得n=3或n=-3.

又•.•二次项系数n-3工0,

•,•n工3,

•••n=-3.

故选：D.

【变式2-1](25-26九年级上•云南保山・期末)若关于x的方程(m-3)--4工+1=0是一元二次方程，则

，〃的取值范围是()

A.m丰3B.TH=3C.m>3D.TH<3

【答案】A

【分析】本题考查一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，且未知数最高次数是2的整式方程叫一

元二次方程”是解题关键，根据二次项系数非零列不等式求解即可.

【详解】解：,•,关于x的方程（m-3）/-4%+1=0是一元二次方程，

二次项系数m-3H0,

,,,THH3,

故选：A.

【变式2-2］（25-26九年级上•全国•期中）己知（皿一1比/+1+轨+2=0是关于X的一元二次方程，则加的

值为.

【答案】-1

【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解答的关键.

根据一元二次方程的定义，方程中”的最高次数必须2,且二次项系数不能为零.因此，需满足指数+1=

2且系数血一1。0.

【详解】解：由方程足关于X的一元二次方程，得元的最岛次数为2,即加2+1=2,

解得m=±1.

乂因为二次项系数m—100,即mwl,

所以m=-1,

当加二一1时，方程为-27+4%+2=0,满足一元二次方程的定义.

故答案为：-1.

【变式2-3］关于％的方程⑺-3）%裙-7_X=5是一元二次方程，则7九的值为.

【答案】-3

【分析】本题考查利用一元二次方程概念求参数，根据一元二次方程概念得到m-3工0,巾2-7=2求解，

即可解题.

【详解】解：•••关于》的方程（旭一34/-7一%=5是一元二次方程，

?n-3H0,m2—7=2,

解得m工3,m=±3,

综上，m=-3,

故答案为：—3.

考点2一元二次方程的一般形式

知识点2一元二次方程的一般形式

1.一元二次方程的一般形式是a/+b%+c=0(aH0),其中e虻是二次项，&是二次项系数;皿是一次项，b

是一次项系数；£是常数项.

2.(1)比0是一元二次方程一般形式的重要条件，但是此上可以为0：(2)任何一个一元二次方程都可

以化成一般形式;(3)一元二次方程的各项都包含它前面的符号.

3•一元二次方程的特殊形式.

(1)当b=0时，得+c=0(«*0)；

(2)当c=0时，Wax2+bx=0(a/0)：

(3)当b=0且c=0时，得a尤2=o(a*0).

【题型3化成一元二次方程的一般形式】

【例3】(25-26九年级上•甘肃庆阳•期末)一元二次方程x(2x-1)=3x+4化成一般形式为.

【答案】，一2%一2=0或2——0一4=0

【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即。/+6%+。=0(0芯0).其中。是二次项系数，/7是一次

项系数，。是常数项.

先将方程左边展开，然后移项使所有项位于左边，右边为0,最后合并同类项得到一般形式.

【详解】解：x(2x-l)=3x+4,

去括号：2/—X=3%+4,

移项：2%2一%—3%-4=0,

合并同类项：2x2-4%-4=0,

方程两边同除以2,得/一2%—2=0,

故答案为：%2-2%-2=。或2/-4x-4=0.

【变式3-1](25-26九年级上•山西临汾・期末)将一元二次方程%-2%(X-3)=1化为一般形式，正确的是

()

A.-2x2+7x-l=0B.2X2-7X=-1

C.7x+2x2-1=0D.7x-2x2=1

【答案】A

【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，需通过去括号、合并同类项、移项将方程化为a/十以十。=0

(a*0)的标准形式.

【详解】解:x-2x(x-3)=1

x-2x2+6x=1,

-2x2+7x=1,

-2x2+7x-l=0,

,该方程的一般形式为一2/+7x-l=0,

故选A

【变式3-2](25-26九年级上.陕西渭南.期末)将一元二次方程G+a)2=b,化成/-8%-5=0的形式，

则a,b的值分别是()

A.-4,21B.-4,11C.4,21D.-8,69

【答案】A

【分析】本题考杳了一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程一般式的形式及计算方怙是解题的关键.

运用完全平方公式展开，再化成一元二次方程的一般式进行比较即可求解.

【详解】解：a+a)2=上

2

•,•X+2ax+Q2—匕=0,

•*«2(z=-8,a?-b=-5,

解得，a=-4,b=21,

故选：A.

【变式3-3](25-26九年级上•山东临沂・月考)学校的劳动实践基地是一块长30m、宽16m的矩形土地.为便

于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道(如图所示)，使种植面积达至MOOn?,若设小

道的宽为%m,则根据题意，列方程，并化为一般形式是.

【答案】%2-31X+40=0

【分析】本题考杳了一元二次方程的应用，由题意可得除小路的其余部分可合成长为(30-2幻由，宽为

(16-x)m的矩形，再根据“种植面积达到400m?”列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系，正确

列出一元二次方程是解此题的关键.

【详解】解：•••学校的劳动实践基地是一块长30m、宽16m的矩形土地，小道的宽为xm,

••.除小路的其余部分可合成长为(30-2%)m,宽为(16-％)m的矩形，

由题意可得：(30—2x)(16-x)=400,

化为一般式为：X2-31X+40=0,

故答案为：%2-31x4-40=0.

【题型4求一元二次方程的各项系数】

【例4】(25-26九年级上•陕西咸阳•月考・)将一元二次方程/-4二9%化为一般形式后，常数项为-4,则一

次项的系数为.

【答案】-9

【分析】本题考杳了一元二次方程的一般形式，先化成一元二次方程的一般形式，再得出答案即可.

【详解】解:X2-4=9X,

x2-9x-4=0,

所以，一次项系数为一9.

故答案为：—9.

【变式4-1](25-26九年级上•新疆塔城・月考)将一元二次方程;直工-2)=5化为二次项系数为“1”的一般

形式，其中二次项系数是,一次项系数是，常数项是.

【答案】1-2-15

【分析】本题主要考查一元二次方程化为一般形式，掌握一元二次方程化为一般形式。避++c=O(a*0)

是解题的关键.

先通过去括号、移项、合并同类项、然后同时除以二次项的系数得到二次项系数是1的一元二次方程，再

确定二次项系数、一次项系数、常数项即可.

【详解】解：1x(x-2)=5,

呆2_5=0,

33

X2-2%-15=0,

所以该方程的二次项系数是I，一次项系数是-2,常数项是-15.

故答案为：1；-2；-15.

【变式4-2](25-26九年级上•广西钦州•期中)一元二次方程4M+5%=81的常数项为.

【答案】-81

【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是；a/+bx+c=0,(a,b,c

定常数且aWO）.根据一元二次方程的一般形式的定义可得答案.

【详解】解：一元二次方程4/+5%=81化成一般式为4产+5》-81=0,常数项为一81,

故答案是：-81.

【变式4-3］（25-26九年级上•江西•期中）将一元二次方程%（-工+1）=3化成一般形式后，若二次项的系数

为I,则一次项系数是（）

A.IB.-1C.3D.-3

【答案】B

【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，将方程化为一般形式后，通过乘以-1使二次项系数为I,再确

定一次项系数.

【详解】解・：•原方程：x（-x+1）=3,

展开：—/+%=3,

移项：一i+x—3=0>

为使二次项系数为1，乘以一1：x2-x+3=0,

二一次项系数为一1.

故选:B.

【题型5由一元二次方程各项系数的值求参数】

【例5】（25-26九年级上•河北廊坊•期中）关于％的一元二次方程z（x+□）=0化成一般形式，其二次项系数、

一次项系数和常数项分别是1，4,0,则□表示的数为（）

A.-4B.4C.2D.-2

【答案】B

【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式.一元二次方程的一般形式是：Q/+"+C=O（a,b,

c是常数且QW0）特别要注意aH0的条件.在一般形式中a/nL二次项，.叫一次项，c是常数项.其中a,

b,c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.

【详解】解：设口表示的数为

化成一元二次方程一般形式是x（x+□）=x（x+m）=x2+mx=0,

•••二次项系数、一次项系数和常数项分别是1,4,0,

•••m=4,

•・•□表示的数为4,

故选;B.

【变式5-1](25-26九年级上•广东深圳•期末)若关于x的一元二次方程(％+2)2=m(2x+1)中不含3的一次

项，则m的值是.

【答案】2

【分析】本题考查了一元二次方程的定义求参数，熟练掌握运算方法是解题的关键.

将方程展开并整理为标准形式，令一次项系数为零求解m即可.

【详解】解：原方程化为：x2+4r4-4=2mx+m,

移顶得：x24-(4-2rri)x4-(4-m)=0,

由不含工的一次项，得一次项系数4一2m=0,

解得m=2,

故答案为:2.

【变式5-2]若关于》的一元二次方程(加一1)/+5%+血2一3血+2=0的常数项为0,则血的值等于()

A.1B.0C.1或2D.2

【答案】D

【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，熟练

掌握各自的定义是解木题的关键.

根据常数项为0,二次项系数不为0,确定出机的值即可.

【详解】解:•••关于"的一元二次方程5-1)/+5%+血2-3旭+2=0的常数项为()，

••m—1H0,m2—3?n+2=0,

•••(m-2)(TH-1)=0,

解得m=1(舍去)或机=2.

故选：D.

【变式5-3](25-26九年级上•河南南阳•期末)已知一个一元二次方程的二次项系数是3,常数项是-2,则

这个一元二次方程可能是()

A.3x-2=0B.X2+2=0C.3x2-1=0D.3x2-x=2

【答案】D

【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义.根据一元二次方程的定义，逐项判断，即可求解.

【详解】解：A选项：3工一2=0是一元一次方程，不符合一元二次方程的定义，故本选项不符合题意；

B选项：/+2=0的二次项系数为1,常数项为2,故本选项不符合题意：

C选项：3/-1=0的常数项为-1,故本选项不符合题意；

D选项：将3/一％=2移项得-其中二次项系数为3,常数项为一2,故本选项符合题意;

故选D

考点3一元二次方程的解

知识点3一元二次方程的解（根）

L定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个•元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做•元二次

方程的根.

2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若打，孙是一元

二次方程+故+。=o（a00）的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数:

2

ax^+bx1+c=0（a丰0）,ax2+bx2+c=0（a工0）.

【题型6判断是否是一元二次方程的解】

【例6】（25-26九年级上•山西运城期末）下列各数：一4,一3,-2,4,6,其中是一元二次方程/+x-12=0

的解是（）

A.-3B.4C.6D.-4

【答案】D

【分析】本题可通过因式分解法求解一元二次方程，再从给定的数中匹配出方程的解，也可将选项代入方程

验证是否成立.

【详解】解：,••M+x-12=0

二对左边因式分解得（％+4）（%-3）=0

则父+4=0或％-3=0

解得力=-4或%=3

根据题干所给的数中,观察选项可知,选项D符合.

故选：D.

【变式6-1】下列一元二次方程中，有一个根为I的方程是（）

A./-2%+3=0B.x2-3x+2=0

C.x2—2x—3=0D.x2+3x—2=0

【答案】B

【分析】此题主要考查了一元二次方程的解，熟知方程的解是满足方程成立的未知数的值是解题的关键.

将父=1代入各方程，验证方程是否成立.

【详解】解：A、当x=1时，x2-2x4-3=1-2+3=2。0,该选项不符合题意；

B、当％=1时，x2-3%4-2=1-3+2=0,该选项符合题意；

C＞当％=1时，x2—2x—3=1-2-3=一4。0,该选项不符合题意；

D、当％=1时，x2+3%-2=1+3-2=2。0,该选项不符合题意.

故选：B.

【变式6-2］（25-26九年级上•河北保定•期末）下列数中，能使方程％2-4二0成立的x的值为（）

A.1B.2C.4D.16

【答案】B

【分析】本题考查了•元二次方程的解，将各个选项的“的值代入计算即可得解•.

【详解】解：A、当％=1时，I2-4=1-4=-30,故不符合题意；

B、当％=2时，22-4=4-4=0,故符合题意；

C、当％=4时，42-4=16-4=12*0,故不符合题意；

D、当工=16时，162-4=256-4=252^0,故不符合题意：

故选：B.

【变式6-31（25-26九年级上•贵州六盘水•期末）若关于％的一元二次方程a/+.+c=0（a,0）满足a+b+

c=0,Q-b+c=0,则该一元二次方程的根是（）

A.1,2B.1,0C.-1,0D.I,-1

【答案】D

【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键

根据当％=1时，a+b+c=0；当％=-1时，a-b+c=0作答即可.

【详解】解：+匕％+。=0（。00）,

二当x=l时，Q+匕+c=0；当x=-1时，Q—匕+c=0,

二方程的根是无=1或％=-1,

故选：D.

【题型7由一元二次方程的解求参数】

【例7】（25-26九年级上•湖北襄阳・期末）已知关于x的一元二次方程“2+3%-血=0的一个根是一1,则〃?

的便是（）

A.-2B.2C.-4D.4

【答案】A

【分析】本题考查•元二次方程根的定义.

将已知根代入方程即可求出m的值.

【详解】解：vx=-1是方程/+3%-m=0的根，

••・将x=-1代入方程得：（一1尸+3x（-1）-m=0,

即1—3—m=。

一2—m=0,

解得7九=-2.

故选：A.

【变式7-1］（25-26九年级上•福建泉州・期末）已知关于x的方程％+血=（%+1）（血汇+1）有一个根是0,则

机的值为.

【答案】1

【分析】本题考查了方程的解的定义.将x=0代入方程，利用根的定义求解

【详解】解：将x=。代入方程x+m=（x4-l）（mx+1）,得m=lxl=l,

故答案为：I

【变式7-2］（25-26九年级上•重庆黎江•期中）若关于x的一元二次方程/+2%+m-1=0有一个根为一2,

则〃?的值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】本题考查了一元二次方程的解，把％=-2代入方程求出m即可，解题的关键是理解方程解的定义.

【详解】解：•.♦关于X的一元二次方程/+2%+771-1=0有一个根为一2,

，4-4+m—1=0,

•••m=1,

故选：C.

【变式7-3］（25-26九年级上•全国•期末）已知％=是关于x的方程/—8%+2m—1=0的解，则小的值

为.

【答案】-4

【分析】本题考查了一元二次方程的知识，根据一元二次方程的性质，将4=-1代入到原方程计算，即可得

到答案.

【详解】解：=-1是关于x的方程32-8x+2m-1=0的解,

.-.1-8x(-1)4-2TH-1=0

•••m=-4

故答案为：-4.

【题型8由一元二次方程的解求代碧5恒曲值】

【例8-1】方程-5x+2=U的一个根是Q,则1UQ-6Q2+2019=.

【答案】2023

【分析】把a代入方程，得到3a2-5。=-2,把3a2-5a看成是一个整体，代入代数式求值即可.

【详解】把a代入方程得：3a2-5Q+2=0

则：3a2-5a=-2

原式=-2(3a2-5a)+2019=(-2)x(-2)+2019=2023

故填：2023.

【点睛】本题主要考查一元二次方程的解和代数式求值，采用整体代入法是解本题的关键.

【例8-2](25-26九年级上•四川泸州・期末)若机是方程/一工一1二0的一个根，则叫3-3后+坊+5的值

为•

【答案】3

【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键.

根据一元二次方程的解的意义可得血？一小一i=o,则血2=血+1,将原式变形后代入计算即可.

【详解】解：,•,m是方程/一%-1=0的一个根，

•••m2—m—1=0,

即机2=6+1.

•••m3—3m2+zn+5

=m-m2-3m2+m+5,

=m(m+1)-3(m+1)+m+5,

=m2+in—3m-3+m+5,

=7712-771+2,

=(m2—771—1)+3,

=3.

故答案为：3.

【变式8-1](25-26九年级上•河南驻马店•期末)若％=7几是一元二次方程%2-2%-15=0的解，则代数式

2TH2-47n的值为.

【答案】30

【分析】根据方程的解的定义，将x=m代入方程得到关于m的等式，再对所求代数式进行变形，最后代入

计算.本题主要考查了一元二次方程的解的定义以及代数式求值，熟练掌握方程的解的定义并能对代数式

进行合理变形是解题的关键.

【详解】解：•〃=771是一元二次方程/一2%-15=0的解

••.m2—2m—15=0

•••tn2—2m=15

,.'2m2-4m=2(m2—27n)

.,•2?n2-4m=2x15=30

故答案为：30.

【变式8-2](25-26八年级下•重庆・期末)若。是方程/+%-4=0的一个根，则c?+2小一3a+7的值为

【答案】11

【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据一元二次方程的解的定义把X=Q代入方程得到

a24-a-4=0,然后根据等式的性质易得小+Q=4,代入原式即可解答.

【详解】解：•・・〃是方程/+工一4=0的一个根，

•••a2+a-4=0,

•••a2+a=4,

••.a3+2a2-3a+7

=a(a2+a)+a2—3a+7,

=4Q+Q2-3Q+7,

二4+。+7,

=4+7,

=11,

故答案为：11.

【变式8-3](2025•广东珠海•一模)设a是方程2025%+1=0的一个实根，则M-2024a+鬻=()

A.2025B.2024C.2023D.2022

【答案】B

【分析】本题主要考查了•元二次方程的解的定义，•元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值,

据此可得/-2025a+1=0,则。2+1=2025a,M—2024a=a—1,再把a?+1=2025a,a2—2024a=

a-1代入所求式子中计算求解即可.

【详解】解：♦.«是方程/—2025x+l=0的一个实根，

••a2—2025a+1=0,

•••a2+1=2025a,a2—2024a=a-1,

••.a2-2024a+2025

a2+l

G-«1H,--2-0-2-5-

2025a

=G4---1,

a

2025a

=2025-1,

=2024,

故选:B.

【变式Ml】(25-26九年级上.黑龙江牡丹江.期中)己知m为方程.健+我一2023=0的根，那么小+一

20266+2023的值为()

A.-2022B.2022C.0D.4044

【答案】C

【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，将方程的根代入方程，化简得m2+3m=2023,将代数式变

形，整体代入求值即可.

【详解】解：•••m为方程/+3%一2023=0的根，

.,•m24-3m.-2023=0,

•,•m2+3m=2023,

二原式=m3+3m2—TH2-3m—2023m+2023

=m(m2+37n)—(m2+3TH)—2023m+2023,

=2023m-2023-2023m+2023,

=0.

故选：c.

【题型9已知一元二次方程的解求另一个方程的解】

【例9】(25-26九年级上•吉林长春•月考)若关于"勺一元二次方程a/+双一8=0(aH0)有一个根为％=

2025,则一元二次方程a(x+3)2+bx+3b=8(a*0)有一个根为()

A.X=202ZB.X=2023C.X=Z0Z5D.X=ZUZ8

【答案】A

【分析】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键.

通过换元法，将第二个方程转化为第•个方程的形式，然后利用已知根求解.

【详解】解：方程Q(X+3产+bx+3b=8可变形为：a(x+3)2+bx+3b-8=0,

又，；bx+3b=b(x+3),

二方程化为+3)2+b(x4-3)-8=0.

设y=%+3,则方程化为ay?+0一8=o,

••♦方程a/+ftx-8=0有一个根为％=2025,

二方程ay2+by-8=0有一个根为y=2025,

即为+3=2025,

:.x=2022.

故选A.

【变式9-1](25-26八年级下•浙江绍兴•期中)若关于％的一元二次方程Q/+陵-1=0(aH0)有一根为2022,

则一元二次方程a(l-x)2-b(x-1)=1必有一根为.

【答案】x=-2021/-2021

【分析】对所求一元二次方程整理变形后，利用换元法得到与己知方程形式一致的方程，结合已知方程的根

求出所求方程的根即可.

【详解】解：将方程a(l-x)2-b[x-1)=1变形为Q(1-x)2+b(l-x)-l=0,

设t=1-x,则可得Qt?+bt—1=0,

•.•一元二次方程a/+bx-1=0(a0)有一根为2022,

•t-at2+bt—1=。有一根为£=2022,

即1一%=2022,

解得％=-2021,

•••一元二次方程a（l-x）2-b（x-1）=1必有一根为X=-2021.

【变式9-2]（25-26八年级下•浙江温州•期中）若关于x的一元二次方程a/+bx+c=0（ac工0）有一根为

x=m,则关于％的一元二次方程c/一"+Q=O（QC装0）必有一根为（）

A•一血B.*C.mD.

【答案】D

【分析】本题考有一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义；

根据x=7几满足方程。为2+/）%+c=0（acH0）,得到am?+bm+c=0,两边同时除以-m?可确定所求方

程的一个根.

【详解】解：％=m把代入一元二次方程a/+bx+c=0（ac。0）,得，

am24-bm+c=0,

两边除以一m?（mHO,若m=0,代入a/+力％+c=o得c=0,与acH0矛盾），得，

，（一£）2-（一£）+a=0.

二当工=—工时，方程c/一匕工+Q=o成立.

m

二方程ex?—b%+Q=o（acH0）必有一根为x=——,

m

故选：D.

【变式9-3]（25-26八年级下•山东泰安・期末）若x=2025是关于x的方程a/+力％+i=o的一个根，则关

于I的方程a（x+1）2+bx+匕=-1必有一个根为（）

A.2024B.2025C.2026D.2027

【答案】A

【分析】本题考查了一元二次方程的解，将方程a（x+1）2+以+b=-1整理为：Q（X+I）2+b（x+1）+1=

0,通过变量普换y=x+l,转化为原方程的形式，从而确定新方程的根.

【详解】解：将方程。0+1）2+及+6=-1整理为：Q（X+l）2+ba+l）+l=0,

令y=无+1,则方程变为ay?+如+1=o,与原方程形式相同，

vy=2025是关于y的方程ay?+“+i=。的一个根，

•••y=x+1=2025,

:x—2024,

•,・关于x的方程a(x+I)2+bx+b=-1必有一个根为2024,

故选：A.

考点4根据实际问题列一元二次方程

【题型io根据实际问题列一元二次方程】

【例10】(25-26九年级上•河北张家口•期末)元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三

尺，剩下的卖了二贯九百七十五文(1贯=1000文).已知这何锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，

求这匹锦的长和每尺锦的价格.设这匹锦的长为x尺，则可列方程为()

A.-3)(无+47)=2975