黑龙江省龙东十校联盟2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题（含解析）

龙东十校联盟高三学年数学开学考试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C.A⫋B D.B⫋【答案】A【解析】【详解】因为集合A和B都表示奇数集，所以．2.若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据正弦的诱导公式结合充分不必要条件定义判断求解.【详解】“”可以推出“”，当，满足，不能推出,所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3.函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由，求解即可.【详解】因，则其定义域满足，从而，解得.4.已知中，，，若满足条件的角有两个解，则长的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】由于满足条件的角有两个解，所以，即，答案为D．5.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】由，得，又，所以，得，由.6.函数的图象，可以由函数的图象向右平移个单位得到，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三角函数图象的变换即可得到的值．【详解】由，，因为，则将的图象向左平移个单位，就可以得到的图象，因为函数的最小正周期为，则将其向左平移个单位，即相当于将其向右平移个单位即可得到的图象，所以．7.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【详解】对于选项A，，定义域为，为偶函数，不符合题意；对于选项B，，定义域为，为偶函数，不符合题意；对于选项C，，定义域为，函数是奇函数，当时，，则，不符合题意；对于选项D，，定义域为，函数是奇函数，符合条件.8.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】由原式，得．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，，，则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【详解】因为，所以，即，当且仅当时等号成立，故B正确，又，即，当且仅当时等号成立，故D正确，由，得，当且仅当时等号成立，故A错误，因为，由，得，即，，当且仅当时等号成立，故C正确．10.已知，都是不等于1的正数，若，是函数的两个零点，且，则（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根据二次函数开口向上，求出的范围，再利用对数性质将题转化成关于的函数，讨论的范围即可判断.【详解】因为，所以，因为，所以，即，得，①当时，，A正确，B错误；②当时，，C正确，D错误.11.已知函数，则（）A.对于任意实数a，都没有最大值B.当时，在区间上单调递增C.当时，一定有无数个零点，且连续两个零点之差的绝对值都小于D.对于任意实数a、m，一定存在实数，当时，都有成立【答案】ABD【解析】【分析】对于A，由题设结合反证法可判断选项正误；对于B，由时，在上的正负情况可判断单调性；对于C，由函数和的图象相交情况可得零点情况，当时，设最小的正零点为，最大的负零点为，说明，可判断选项正误；对于D，设函数，由基本不等式可得，分类讨论的值，结合题设可得答案.【详解】对于A，假设存在最大值，设为，则.易得，对任意实数，取，则,这与矛盾，则对于任意实数a，都没有最大值；对于B，因为，当时，，当时，，，所以时，，函数单调递增；对于C，由，可得，考虑函数和的图象相交情况，可得时，两函数图象有无数个交点，即一定有无数个零点.再考虑当时，只要足够大，函数和的图象在时一定存在交点，在时也一定存在交点，显然不是函数的零点，不妨设最小的正零点为，最大的负零点为，故，是连续两个零点，因为时，，而，函数和的图象不可能相交，所以，由，得，此时连续两个零点之差的绝对值大于，故C错误；对于D，设函数，因，由基本不等式可得.当时，任意实数满足条件；当时，取，则时，，当时，对于方程，结合，可得，则此时取，当时，有.综上，对于任意实数a、m，一定存在实数，当时，都有成立.关键点睛：本题涉及函数，方程，不等式的综合运用.如要否定全称命题，只要找到一个反例即可，也可通过反证法解决；如要说明特称命题正确，找到满足题设要求的数学量即可.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，则______．【答案】【解析】【分析】直接利用分段函数化简求解函数值即可.【详解】已知函数，则．13.函数的值域是______．【答案】【解析】【详解】，令，则，所以函数可化为，因为，所以当时，，时，，故值域为．14.在中，，则的最小值是______．【答案】【解析】【分析】先利用正弦定理将角转化成边，然后用表示,再利用余弦定理和基本不等式即可求出答案.【详解】由，得，所以，由此可得令，，（当且仅当，即时取等号）．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，函数．（1）若时，函数的图象上存在斜率为的切线，求的取值范围；（2）当时，求函数的单调递减区间．【答案】（1）（2）当时，函数的单调递减区间是；当时，函数的单调递减区间是【解析】【分析】（1）对求导后，令换元，把方程有解问题转化为对勾函数求值域，从而求出参数的取值范围；（2）将导函数因式分解，比较两个零点与的大小，分、两类讨论，解不等式得到对应单调递减区间.【小问1详解】因为若时，有解，即令，则，即实数a的取值范围是．【小问2详解】因为当，即时，由，可得，即当，即时，由，可得，即所以当时，函数的单调递减区间是；当时，函数的单调递减区间是．16.已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数图象的对称中心；（3）求不等式的解集．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先化为余弦型函数再求解.（2）先化为余弦型函数再求对称中心.（3）由整体法求解.【小问1详解】所以函数的最小正周期为．【小问2详解】由，得，所以函数的图象的对称中心为.【小问3详解】由，得，即，得所以不等式的解集为．17.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，点P在边上，且．（1）求角C的值；（2）若，，求的周长；（3）若，求面积的最小值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理边角互化，结合三角形内角关系求出，进而求出C的值；（2）利用余弦定理及中线的性质，结合完全平方公式求出，进而求出三角形周长；（3）计算，利用正弦定理及三角形面积公式，化简关于的函数，采用配方法求分母最大值，进而求出面积最小值．【小问1详解】由，得因为，所以，因为，所以，所以．【小问2详解】因为，，所以，因为点P是AB中点，所以，，，所以，所以，所以，即，所以的周长为．【小问3详解】因为，，所以，在中，，得，在中，，得，所以面积，因为，所以，所以，所以当时，面积的最小值为．18.已知数列、中，，，且满足，．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列、的通项公式；（3）求的前项和．【答案】（1）证明：因为，，两式相加，得，令，则因，可知数列为等差数列，即数列是等差数列．（2），（3）【解析】【分析】（1）令，直接验证即可证明；（2）由（1）可知，解法一：直接代入，通过构造求解，再代入即可求解；解法二：令，通过已知条件得到，再结合即可求解；（3）由（2）可知，，代入即可求解.【小问1详解】略.【小问2详解】由（1）知数列是等差数列，首项为，公差为，所以，即，解法一：因为，且，所以，则，所以，所以，；解法二：因为，，两式相减，得，令，则，，得，所以，因为，所以，即，即，又，联立解得，.【小问3详解】由（2）已得，.则，所以其前n项和．19.已知，函数．（1）若函数存在两个极值点，，①求a的取值范围；②求证：；（2）若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）①②设，则，当，即时，，函数单调递减；当，即时，，函数单调递增；所以，由此可得，因为，所以，设，得，因为，所以，即，又因为，所以，因为，所以，设，得，因为，所以，即，由此可得．（2）【解析】【分析】（1）①求导，把极值点转化为的两个不同根，进而变形分离参数，新建函数并求导，利用函数单调性求出函数最小值，进而求出的取值范围；②构造函数并求导，代入不等式，解出，放缩不等式得出，两式相减并化简得出证明结论；（2）利用不等式恒成立，代入，，得出，即，证明充分性，当时利用得出不等关系，构造函数，通过求导证明恒成立，进而求出的取值范围．【小