6.2.2 线段的比较与运算

6.2.2线段的比较与运算教学目标课题6.1.2线段的比较与运算授课人素养目标1.能用尺规作图，会画一条线段等于已知线段.2.会用度量法与叠合法来比较线段的长短.理解两条线段的长短比较所隐含的意义，能从“量”与“形”上进行转化.3.掌握线段的基本事实：两点之间，线段最短.理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离.4.理解线段的和、差及线段中点的意义，了解三等分点、四等分点的意义.会画两条线段的和、差，体会数形结合思想，并能进行简单的应用.教学重点1.线段长短的比较.2.关于线段的基本事实.3.线段的中点.教学难点线段的中点、三等分点、四等分点的表示方法及运用.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，导入新课【问题引入】观察这三组图形，你能比较出每组图形中线段a和b的长短吗？三组图形中，线段a和b的长度均相等.很多时候，眼见未必为实.准确比较线段的长短还需要更加严谨的方法.如何找到更为严谨的方法呢？这就是本节课要解决的问题.【教学建议】这里可先让学生通过直观观察说出线段的长短，再结合学生的回答引出本节课的内容.设计意图由几何中线段视觉错觉问题作为引入，激发学生的学习兴趣和解决问题的热情.活动二：实践探究，获取新知探究点1尺规作图、线段长短的比较Ⅰ.尺规作图问题1如图，老师手里的纸上有一条线段，你能在你的本子上作出一条同样长短的线段吗？可用刻度尺直接测量后画出.问题2除了常用的用刻度尺度量的方法，是否还有其他方法？可用圆规和无刻度的直尺作图.概念引入：在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图.【教学建议】对于问题2，这是学生首次接触尺规作图，学生能完成作图即可，不要求说出作法，教师也可以鼓励学生用自己的语言表述作图过程.注意提醒学生：尺规作图一般要求作出图形，说明结果，并保留作图痕迹.设计意图尺规作图的概念和“作一条线段等于已知线段”是为后面线段的运算做铺垫.

教学步骤师生活动问题3想一想，两种方法中，刻度尺、直尺和圆规分别发挥了什么作用？刻度尺可以量出长度和画出相应线段.直尺只能用来画线，不能测量线段的长度，圆规可测量线段的长度.Ⅱ.线段的长短比较如何进行更为严谨的线段长短比较，我们可从身高比较中找一找方法.问题1下面两人要比较身高，类比上面尺规作图中的方法，说一说你是如何比较的？可按直接测量的方法或脚底平齐再看两人头顶高度的方法进行比较.问题2（1）类似地，我们如何比较两条线段的长短呢？①度量法：②叠合法：使用圆规按【教学建议】中的方法进行“叠合”.注意事项：叠合线段时要注意两条线段的一个端点对齐（重合），另一个端点落在同一侧.（2）你认为按照叠合法，两条线段的长短比较有哪些可能性？【对应训练】教材P166练习第1题.【教学建议】这里学生类比后会用到下面的方法：①用刻度尺分别测量出两位同学的身高，将所得的数值进行比较.②让两人并排站在同一块平地上，脚底平齐，观看两人的头顶，直接比出高矮.可通过这两种方法的介绍，引出线段比较中的度量法和叠合法.另外教师可用两根长短不一的粉笔再举下例子.【教学建议】在两条线段长短的比较中，度量法比较好理解.这个叠合法就是将其中一条线段“移”到另一条线段上，使其一端点与另一线段的一端点重合，然后观察两条线段另外两个端点的位置作比较.教师注意向学生解释，并提醒学生注意：这里虽然线段的位置改变了，但线段的长短保持不变.设计意图让学生从身高比较引出比较线段长短的两种方法：度量法和叠合法.并通过尺规作图，让学生进一步理解线段比较的实质，渗透数形结合思想，培养学生几何直观.

教学步骤师生活动设计意图探究点2关于线段的基本事实问题1（教材P165探究）如图，从A地到B地有四条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路？如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短道路.从图②可以看出线段AB最短.概念引入：①关于线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短.简单说成：两点之间，线段最短.②距离的概念：连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离.问题2如上图②中，线段AB的长度就是点A与点B之间的距离.想一想，我们能说A，B两点间的距离是线段AB吗？不能，两点间的距离是一个具体的数量，而线段是图形，因此不能把A，B两点间的距离说成线段AB.问题3你能举出线段的基本事实在生活中的一些应用吗？应用举例1河道改直问题如图，把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度有什么变化？河道的长度变短了.应用举例2九曲桥问题如图，公园里修建了曲折迂回的桥，这样做对游人观赏湖面风光有什么影响？与修一座笔直的桥相比，这样做是否增加了游人在桥上行走的路程？说出其中的道理.由于“两点之间，线段最短”，这样做增加了桥的长度，一方面能容纳更多的游人来观光，另一方面也增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏湖面风光.【对应训练】如图，这是A，B两地之间的公路，在公路工程改造计划时，为使A，B两地行程最短，应如何设计道路？请在图中画出，并说明理由.解：设计道路如图中线段AB.理由：两点之间，线段最短.【教学建议】“两点之间，线段最短”是学生容易接受的结论，对此基本事实是让学生通过观察、思考得到的，这种经过实验比较得到结论的方法是科学的方法，有广泛的应用价值.在此基础上，可以让学生举出一些实际应用以认识此性质的实际价值.通过设置的问题，让学生经历观察、猜想、验证新知的过程，强化对线段基本事实的理解，并在探究中培养学生独立思考、合作交流、口头表达的能力.设计意图探究点3线段的运算Ⅰ.线段和、差的意义及作图问题1（1）如图，线段AB和AC的大小关系是怎样的？AB＜AC.（2）上图中AB，BC，AC有怎样的和、差关系？AC＝AB＋BC，AB＝AC－BC，BC＝AC－AB.由判断线段的长短引出线段的运算，让学生掌握线段和、差的作图方法；将用图形表示和、差与用符号表示和、差结合起来.教学步骤师生活动问题2如图，已知线段a和线段b，怎样通过作图得到a与b的和、a与b的差呢？例（教材P165例1）如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于2a－b.解：如图，在直线上作线段AB＝a，再在线段AB的延长线上作线段BC＝a，则线段AC＝2a.在线段AC上作线段CD＝b，则线段AD＝2a－b.教师总结：作线段的和、差时，按“右加左减”的方法作图.线段的倍数也可转化为线段的和进行作图.Ⅱ.线段的中点、三等分点、四等分点及倍、分问题1在一张透明的纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端点重合.折痕与线段的交点是线段的什么位置？中点位置.问题2如图，已知线段a，求作线段AB＝2a.如图，线段AB即为所求.知识引入：如问题2图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点M叫作线段AB的中点.教师总结：【教学建议】

教师引导学生思考并总结：几何中线段的和、差与代数中数的和、差有联系也有区别，在数量上是线段长度的和、差，在图形上作线段的和、差得到的图形是一条线段.【教学建议】

对于线段的和、差、中点，应以图形认识为主，让学生看到相应图形的形成，培养识图能力，进一步可要求学生能在图形和相应数量关系之间建立起联系，并与有关的符号表示联系起来，如由点M是线段AB的中点，就有AB＝2AM＝2BM，AM＝BM＝eq\f(1,2)AB（反过来，如果点M在线段AB上，且有这样的数量关系，那么点M是线段AB的中点），这对于以后的学习（用符号表示推理）很有帮助.

教学步骤师生活动问题3那么什么叫做三等分点？四等分点呢？【对应训练】教材P166练习第2，3题.【教学建议】

教师提醒学生注意：线段的中点只有一个，且一定在线段上，类似地，线段的三等分点有两个，线段的四等分点有三个，且这些点都在线段上.活动三：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是尺规作图？如何用尺规作一条线段等于已知线段？2.比较线段的长短有哪些方法？3.线段的基本事实是什么？4.什么是两点间的距离？5.如何作线段的和，线段的差？6.什么是线段的中点、三等分点、四等分点？【知识结构】【作业布置】1.教材P167习题6.2第4，5题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.板书设计教学反思本节课通过比较线段视觉错觉问题，引导学生思考严谨的比较线段长短的方法，从而引出课题，极大地激发了学生的学习兴趣；并通过动手操作，亲身体验用叠合法比较线段的长短.教师要尝试让学生自主学习，优化课堂教学中的反馈与评价.通过评价，激发学生的求知欲，坚定学生学习的自信心.解题大招一线段的长短比较实际做题时，线段的长短比较主要是用叠合法，比较时关键要注意两条线段的一个端点要重合.例1为了比较线段AB与CD的长短，李明将点A与点C重合使两条线段在一条直线上，结果点B在线段CD的延长线上，则（B）A.AB<CDB.AB>CDC.AB＝CDD.以上都不对例2体育课上，刘伟在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示他最好成绩的是（C）A.点MB.点NC.点PD.点Q解题大招二与线段有关的作图（1）到两点的距离之和最小就是求作连接两点的线段.（2）线段和、差的作图方法：例3如图，要在铁路l旁建一仓库P，使P到铁路两旁的A，B的距离之和最短，请在l上标出点P的位置，并说明理由.解：如图，点P为所求.理由：两点之间，线段最短.例4已知线段a，b.求作：线段AC，使AC＝a－2b.解：如图，线段AC即为所求.解题大招三与线段中点有关的计算M为线段AB的中点表达方式：（1）点M在线段AB上，且AM＝BM；（2）AB＝2AM＝2BM；（3）AM＝BM＝Ａeq\f(1,2)AB1.直接计算例5如图，AC＝8cm，CB＝6cm，O是线段AB的中点，求线段OC的长度.思路分析解：因为AB＝AC＋CB＝8＋6＝14（cm），O是线段AB的中点，所以OB＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×14＝7（cm），所以OC＝OB－CB＝7－6＝1（cm）.2.用方程思想解决线段中点计算问题有关线段长的计算问题，若直接求解无法计算，则可考虑借助未知数，特别是条件有连比的情况，通过相关线段之间的数量关系构建方程求解.例6如图，B，C是线段AD上两点，且AB∶BC∶CD＝3∶2∶5，E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝24，求线段AB，BC，CD的长.分析：根据已知条件AB∶BC∶CD＝3∶2∶5，不妨设AB＝3x，BC＝2x，CD＝5x，然后运用线段的和、差、倍、分，用含x的代数式表示EF的长，从而得到一个关于x的一元一次方程，解方程，得到x的值，即可得到所求各线段的长.解：设AB＝3x，BC＝2x，CD＝5x.因为E，F分别是AB，CD的中点，所以BE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(3,2)x，CF＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(5,2)x，所以EF＝BE＋BC＋CF＝eq\f(3,2)x＋2x＋eq\f(5,2)x＝6x.因为EF＝24，所以6x＝24，解得x＝4.所以AB＝3x＝12，BC＝2x＝8，CD＝5x＝20.培优点与线段运算有关的分类讨论问题综合训练一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.高速公路是指专供汽车高速行驶的公路.高速公路在建设过程中,有时要从大山中开挖隧道穿过,把道路取直以缩短路程.其中的数学原理是()A.两点之间线段最短 B.两点确定一条直线C.平行线之间的距离最短 D.平面内经过一点有无数条直线2.淇淇想在自己房间的墙上钉一个直线型饰品挂架,用来挂自己喜欢的装饰物.为了固定饰品挂架,淇淇至少需要()钉子A.4根 B.3根 C.2根 D.1根3.下列说法与右边的几何图形相符的是()A.点D在线段CB的延长线上B.∠1可以表示成∠CC.射线BD与射线CD表示同一条射线D.∠1+∠ACD=180°4.如图,用5个大小相等的正方体搭成如图所示的三个立体图形,从哪个方向看这三个立体图形所看到的形状是一样的()A.前面 B.上面 C.左面 D.都不一样5.下图是学习小组设计制作长方体形状的包装盒后的余料,小明同学观察发现它恰好是由7个小正方形组成,现要将它折成一个正方体(相邻的两个小正方形之间至少有一条边相连),需要再剪去1个小正方形,则应剪去的小正方形的编号不能是()A.1 B.2 C.3 D.66.如图,C是线段AB上一点,D是AC的中点,E是CB的中点,若AD=3,AB=10,则DE=()A.2 B.5 C.6 D.87.若一个角的补角是它的余角的3倍,要求这个角的度数时,我们可以用方程思想去解决.设这个角的度数为x°,可得一元一次方程()A.x°-180°=3(x°-90°) B.90°-x°=3(180°-x°)C.180°-x°=3(90°-x°) D.x°-90°=3(x°-180°)8.如图,在直线PQ上找一点C,且使PC=3CQ,则点C应()A.在点P,Q之间 B.在点P左边C.在点Q右边 D.在点P,Q之间或在点Q右边9.下列度、分、秒运算中,正确的是()A.48°39'+67°31'=115°10' B.90°-70°39'=20°21'C.21°17'×5=185°5' D.180°÷7≈25°43'(精确到分)10.如图,在O点的观测站测得渔船A位于东北方向,渔船B位于南偏西30°方向,为了减少相互干扰并取得较好的捕鱼效益,渔船C恰好位于∠AOB的平分线上,则渔船C相对观测站O的方向为()A.南偏东52.5° B.南偏东37.5°C.南偏东53.5° D.南偏东82.5°二、填空题(将结果填在题中横线上)11.20.5°=°'.

12.如图,A,B,C三点共线,BD是∠ABE的平分线,BF是∠EBC的平分线.已知∠ABD=28°32',则∠FBC=.

13.如图,AB=20,点C,D,E在AB上,且CD=4,AE=13AC,则2BE+ED=.14.将一副三角尺按如图所示的方式摆放,测量得∠AOB是∠COD的4倍,那么∠1的大小为°.

15.如图,在直线AB上有一点C,AC=13BC=20cm.有两只蚂蚁分别以2cm/s、1cm/s的速度从A,C两点同时出发向B方向运动,经过s,两只蚂蚁与点C的距离相等.三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.如图,点A,B,M,C,D在同一条直线上,M为AD的中点,BM=6cm,AB=CM,BM=2CM,求AD的长.解:因为BM=6cm,BM=2CM,所以CM=cm.

因为AB=CM,所以AB=cm.

所以AM=AB+=3+=cm.

因为M为AD的中点,所以AD=2=2×=cm.

17.按要求完成画图及作答:(1)如图,用适当的语句表述点M与直线l的关系:;

(2)如图,画射线PM,画直线QM;(3)如图,延长PN至D,使PD=2PN.18.把一副三角尺按如图所示的方式拼在一起(三角尺分别含30°,45°,60°,90°角,点A,C,D在一条直线上).(1)求∠ACE的度数;(2)若CF是∠BCE的平分线,求∠ECF的度数.19.钟表是我们日常生活中常用的计时工具.如图,在圆形钟面上,把一周等分成12个大格,每个大格等分成5个小格,分针OP和时针OQ均绕中心O匀速转动.(本题中的角均指小于180°的角)(1)分针每分钟转度,时针每分钟转度.当时间为3:30时,分针和时针的夹角为度.

(2)求2:00开始后几分钟分针第一次追上时针.综合训练1.A2.C3.D4.A解析:从前面看到的图形如下:从上面看到的图形如下:从左面看到的图形如下:故选A.5.D解析:根据只要有“田”字的展开图都不是正方体的表面展开图,故应剪去的小正方形的编号是1或2或3,故选D.6.B解析:因为D是线段AC的中点,所以DC=12AC因为E是线段BC的中点,所以CE=12BC因为AB=10,所以DE=DC+CE=12AB=5故选B.7.C解析:设这个角的度数为x°,则这个角的余角的度数为(90°-x°),这个角的补角的度数为(180°-x°),由题意,得180°-x°=3(90°-x°),故选C.8.D解析:如图,由图可知,当点C在点P的左边时,C3Q>PC3,不满足题意.当点C在点P,Q之间时,存在点C1,满足PC1=3C1Q.当点C在点Q右边时,存在点C2,满足PC2=3C2Q.综上所述,点C在点P,Q之间或在点Q右边.9.D解析:48°39'+67°31'=115°70'=116°10',故A选项错误;90°-70°39'=19°21',故B选项错误;21°17'×5=105°85'=106°25',故C选项错误;180°÷7≈25°43'(精确到分),故D选项正确.10.A解析:根据题意,可得∠AOB=180°-45°+30°=165°.因为OC平分∠AOB,所以∠BOC=12∠AOB=82.5°所以82.5°-30°=52.5°.可得渔船C位于观测站O的南偏东52.5°方向上.故选A.11.203012.61°28'解析:因为∠ABD=28°32',BD是∠ABE的平分线,所以∠ABE=2∠ABD=57°4'.由补角的性质,可得∠