第1课时　等边三角形的性质与判定

数学八年级上册(RJ)15.3.2等边三角形第1课时等边三角形的性质与判定教师备课素材示例●情景导入如图分别是上海世博会永久性标志建筑之一世博轴、指示牌、跳棋等，感受等边三角形．学生能从图片中抽象出等边三角形，进而产生求知欲：等边三角形有什么特点呢？教师引出课题：什么是等边三角形？它与以前学过的等腰三角形有何关系？【教学与建议】教学：在丰富的现实情境中，感受到等边三角形无处不在，激发学生探索新知识的欲望．建议：在教学时，先出示生活中的实例运用，让学生亲自去观察探究，感受数学来源于生活．●置疑导入在一次探究活动中，老师给同学们出了一道题目：“如果等腰三角形有一个角是60°，那么这个三角形的三边有什么关系？”小勋假设底角为60°，得出了三个角都是60°；小强假设顶角为60°，也得出了三个角都是60°，根据“等角对等边”，最后得出结论：三边都相等．老师告诉他们“这种三条边都相等的三角形是等边三角形”．小勋、小强也发表了自己的看法，小勋认为“三条边都相等的三角形是等边三角形，而不是等腰三角形”；小强认为“等边三角形也是等腰三角形，只是比一般的等腰三角形特殊而已”．小勋、小强谁的看法有道理呢？【教学与建议】教学：通过问题情境引入本节课的课题，增强学生的学习兴趣．建议：教师注重引导分类讨论，让学生经历观察——实践——猜想——证明的思维过程.·命题角度1利用等边三角形的性质与判定进行简单的计算或证明从等边三角形的性质中发现一些可利用的条件是解决问题的关键．另外，在证明线段或角相等时，可考虑证明三角形全等．【例1】由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作，小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆OA＝OB＝17cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图②，则此时A，B两点之间的距离是17cm.eq\o(\s\up7(),\s\do5(图①))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图②))【例2】如图，已知P，Q是△ABC的边BC上两点且PB＝PQ＝QC＝AP＝AQ，∠BAC＝120°.【例3】如图，D，E分别是等边三角形ABC的边BC，CA的延长线上的点，且CD＝AE，连接AD，BE.求证：AD＝BE.证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AC＝AB.∴∠BAE＝∠ACD＝120°.在△ABE和△CAD中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AE＝CD，,∠BAE＝∠ACD，,BA＝AC，))∴△ABE≌△CAD(SAS).∴AD＝BE.·命题角度2与等边三角形有关的变式拓展型问题此类问题通常以等边三角形为背景，结合全等三角形的性质和判定等知识综合命题．【例4】如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B，C，D在同一条直线上，连接AD，BE，交CE和AC分别于点G，H，连接GH.(1)证明：AD＝BE；(2)证明：△BCH≌△ACG；(3)试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并证明．解：(1)∵△ABC和△CDE均为等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°.∴∠ACD＝∠ECB.∴△ACD≌△BCE(SAS).∴AD＝BE；(2)∵△ACD≌△BCE，∴∠CAG＝∠CBH.∵∠ACB＝∠ECD＝60°，点B，C，D在同一条直线上，∴∠ACB＝∠ECD＝∠ACG＝60°.又∵AC＝BC，∴△BCH≌△ACG(ASA)；(3)△CGH是等边三角形，证明如下：∵△ACG≌△BCH，∴CG＝CH.又∵∠ACG＝60°，∴△CGH是等边三角形．·命题角度3与等边三角形有关的探索规律型问题先通过推导或计算得到第一次图形变化后的结果，然后继续探究2～3个图形变化的结论，从中发现规律．【例5】如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3……在射线ON上，点B1，B2，B3……在射线OM上．△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1＝3，则△A6B6A7的边长为(D)A．24B．48C．64D．96【例6】如图，直线a∥b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把△ABC沿BC方向平移BC长度一半的距离得到△A′B′C′（如图①）；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…，请问在第100个图形中等边三角形的个数是400.eq\o(\s\up7(),\s\do5(图①))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图②))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图③))高效课堂教学设计1．知道等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形是轴对称图形．2．能叙述、推证等边三角形的性质和判定方法．▲重点等边三角形的性质与判定．▲难点等边三角形的性质和判定的区别，等边三角形判定的应用．◆活动1新课导入提问：同学们知道等边三角形是特殊的等腰三角形，那么一个等腰三角形满足什么条件时，能使它成为等边三角形？把你的想法与同学们交流一下．◆活动2探究新知1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC.提出问题：(1)你能证明∠A＝∠B＝∠C＝60°吗？(2)如何证明？这样证明的依据是什么？(3)等边三角形是轴对称图形吗？它有几条对称轴，对称轴是什么？(4)你能归纳出等边三角形具有哪些性质吗？学生完成并交流展示．2．已知△ABC.提出问题：(1)若∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是等边三角形吗？(2)若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形吗？(3)若AB＝AC，且∠A＝60°，则△ABC是等边三角形吗？(4)你能归纳出哪几种判定等边三角形的方法？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．三边都相等的三角形是等边三角形．2．等边三角形的性质：(1)等边三角形具有等腰三角形的性质；(2)等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°；(3)等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴．3．等边三角形的判定：(1)三个角都相等的三角形是等边三角形；(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．◆活动4例题与练习例1教材P82例4.例2如图，△ABC和△BDE均为等边三角形，点E在线段AD上．求证：BD＋CD＝AD.证明：∵△ABC和△BDE均为等边三角形，∴AB＝BC，BE＝BD＝ED，∠ABC＝∠EBD.∴∠ABC－∠EBC＝∠EBD－∠EBC，即∠ABE＝∠CBD，∴△ABE≌△CBD(SAS)，∴AE＝CD.又∵BD＝ED，∴AD＝AE＋ED＝CD＋BD，即BD＋CD＝AD.例3如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AC延长线上一点，且CE＝CD，AD＝DE.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)如果把AD改为△ABC的中线或高（其他条件不变），请判断(1)中结论是否依然成立？（不要求证明）解：(1)∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE，∴∠ACB＝∠E＋∠CDE＝2∠E.又∵AD＝DE，∴∠E＝∠DAC.∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAC＝2∠DAC＝2∠E，∴∠ACB＝∠BAC，∴BA＝BC.又∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形；(2)当AD为△ABC的中线或高时，结论依然成立．练习1．教材P82练习第1，2题．2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中，是等边三角形的有(D)A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④3．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE的度数为(A)A．15°B．30°C．45°D．60°eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第4题图）))4．如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD＝30°.5．如图，△ABC是等边三角形，D是边AB上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E，A在直线DC的同侧，连接AE.求证：AE∥BC.证明：∵△ABC和△EDC都是等边三角形，∴∠BCA＝∠DCE＝60°，AC＝BC，EC＝DC，∴∠BCA－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.在△DBC和△EAC中，BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，DC＝EC，∴△DBC≌△EAC(SAS)，∴∠DBC＝∠EAC.又∵∠DBC＝∠ACB＝60°，∴∠ACB＝∠EAC，∴AE∥BC.◆活动5课堂小结1．等边三角形的性质．2．等边三角形的判定．1．作业布置(1)教材P85习题15.3第10，11题；(2)对应课时练习．2．教学反思综合训练一、选择题1.下列说法正确的是()A.如果两个三角形全等,那么它们必是关于某条直线成轴对称B.如果两个三角形关于某条直线成轴对称,那么它们是全等三角形C.等腰三角形是关于腰上的中线成轴对称的图形D.一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形2.下列“慢行通过,注意危险,禁止行人通行,禁止非机动车通行”四个交通标志图(黑白阴影图片)为轴对称图形的是()3.如图,把等腰直角三角形ABC沿BD折叠,使点A落在边BC上的点E处.下面结论错误的是()A.AB=BE B.AD=DCC.AD=DE D.AD=EC4.如图,△AOD与△BOC关于直线l成轴对称,则下列说法不正确的是()A.∠1=∠2B.∠3=∠4C.l垂直平分AB,CDD.AC,BD互相平分5.在平面直角坐标系中,若点P关于x轴的对称点在第二象限,且到x轴的距离为2,到y轴的距离为3,则点P的坐标为()A.(-3,-2) B.(-2,-3) C.(2,3) D.(3,2)6.如图,△ABC是等边三角形,AD是角平分线,△ADE是等边三角形,AB与ED相交于点F,有下列结论:①AD⊥BC;②EF=FD;③BE=BD.其中正确的有()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个7.在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,∠B=30°,AD=2cm,则AB的长是()A.2cm B.4cm C.8cm D.16cm8.如图,在平面直角坐标系中,△ABC位于第二象限,点A的坐标是(-2,3),先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1,再作△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2,则点A的对应点A2的坐标是()A.(-3,2) B.(2,-3) C.(1,-2) D.(-1,2)二、填空题9.若等腰三角形有一个角是50°,则另两个角分别是.

10.如图,由镜子中的号码得出实际号码是.

11.如图,在△ABC中,DE垂直平分AC交AB于点E,∠A=30°,∠ACB=80°,则∠BCE的度数是.

12.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,点E,F是AD的三等分点.若△ABC的面积为12cm2,则图中阴影部分的面积是cm2.

三、解答题13.由边长为1的小正方形组成的方格图如图所示,AB=5.(1)请在方格图中建立平面直角坐标系,使点A的坐标为(3,3),点B的坐标为(-1,0);(2)在x轴上画点C,使△ABC是以AB为腰的等腰三角形,并写出所有满足条件的点C的坐标.(不写作法,保留作图痕迹)14.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC延长线上的一点,E是AB上的一点,且在BD的垂直平分线EG上,DE交AC于点F,求证:点E在AF的垂直平分线上.15.如图,△ABC和△BDE均为等边三角形,点E在线段AD上,求证:BD+CD=AD.16.如图,在四边形纸片ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=6,∠B=60°,将纸片沿AE折叠,点B恰好与点D重合,求CE的长.综合训练一、选择题1.B全等的三角形不一定成轴对称,而成轴对称的两个三角形一定是全等的.2.B3.B4.D因为成轴对称的两个图形全等,对应点的连线被对称轴垂直平分,所以选项A,B,C是正确的.5.A因为点P关于x轴的对称点在第二象限,所以点P在第三象限,由点P到x轴的距离为2,到y轴的距离为3,得P(-3,-2).6.D7.C8.B如图,点A的对应点A2的坐标是(2,-3).故选B.二、填空题9.50°,80°或65°,65°①当50°的角为顶角时,底角为(180°-50°)÷2=65°;②当50°的角为底角时,另一个底角是50°,顶角为180°-2×50°=80°.10.326511.50°12.6三、解答题13.解(1)所作图形如图所示.(2)以AB为腰的等腰三角形有△ABC1,△ABC2,△ABC3,其中点C的坐标分别为C1(-6,0),C2(4,0),C3(7,0).14.证明如图,∵点E在BD的垂直平分线EG上,∴EB=ED,∴∠1=∠B.又∠ACB=90°,∴∠1+∠3=90°,∠B+∠2=90°,∴∠3=∠2.又∠3=∠4,∴∠2=∠4,∴EA=EF,∴