第1课时　线段的垂直平分线的性质和判定

数学八年级上册(RJ)15.1.2线段的垂直平分线第1课时线段的垂直平分线的性质和判定教师备课素材示例●归纳导入通过几何画板课件的演示，探索线段垂直平分线的性质．探究（一）演示课件：如图，点P在线段AB的垂直平分线上运动，测量PA，PB的长度，你能发现什么规律？PA＝PB.eq\a\vs4\al()PAPB1.90cm1.90cm1.48cm1.48cm1.75cm1.75cm1.57cm1.57cm1.80cm1.80cm0.75cm0.75cm0.50cm0.50cm探究（二）证明结论：利用几何画板中的图形证明所得结论．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．【教学与建议】教学：利用几何画板的测量功能能表明PA＝PB，但需要证明．建议：学生独立观察教师演示的课件，很容易归纳结论．证明过程可以指定学生板演证明过程，其余同学在练习本上完成．●类比导入1.前面我们学习了角的平分线的性质和判定，具体内容是什么？2．我们学习了线段的垂直平分线，既然“角的平分线”与“线段的垂直平分线”都是“平分线”，那么它们之间有哪些相似之处呢？3．你能证明你发现的结论是正确的吗？【教学与建议】教学：利用角的平分线与线段的垂直平分线的相似之处猜想结论．建议：启发学生画图观察，仿照角的平分线从定义、性质和判定三个角度思考，类比角的平分线定义可以得出倍半关系，类比角的平分线性质与判定分别得到线段的垂直平分线的性质与判定．·命题角度1利用线段垂直平分线的性质进行有关的计算与证明(1)利用线段垂直平分线的性质解决问题，一般需要连接直线上某一点与线段两端点的线段（常用的添加辅助线的方法），从而由性质可以直接得到相等的两条线段；(2)把未知的线段通过线段的垂直平分线的性质转化为已知的线段．【例1】如图，在△ABC中，AC＝12，BC＝8，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是20．【例2】如图，已知CD垂直平分AB，若AC＝4cm，AD＝5cm，则四边形ADBC的周长是18cm.【例3】如图，AB＝CD，线段AC的垂直平分线与线段BD的垂直平分线相交于点E.求证：∠ABE＝∠CDE.证明：如图，连接AE，CE.∵线段AC的垂直平分线与BD的垂直平分线相交于点E，∴AE＝CE，BE＝DE.在△ABE和△CDE中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＝CD，,AE＝CE，,BE＝DE，))∴△ABE≌△CDE(SSS).∴∠ABE＝∠CDE.·命题角度2线段垂直平分线的判定一点与一条线段的两个端点距离相等，可判定该点在这条线段的垂直平分线上．【例4】如图，在△ABC中，AB＞AC＞BC，边AB上存在一点P，使得PA＋PC＝AB.下列描述正确的是(D)A.点P是∠ACB的平分线与AB的交点B．点P是以点B为圆心，AC长为半径的弧与边AB的交点C．点P是AC的垂直平分线与AB的交点D．点P是BC的垂直平分线与AB的交点【例5】如图，AB＝AC，MB＝MC.求证：直线AM是线段BC的垂直平分线．证明：∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上．∵MB＝MC，∴点M在线段BC的垂直平分线上．∴直线AM是线段BC的垂直平分线．·命题角度3综合运用线段的垂直平分线的性质和判定(1)利用线段垂直平分线的性质可证明两线段相等；(2)利用线段垂直平分线的判定可证明垂直关系和线段相等关系．【例6】如图，已知AB＝AC，DB＝DC，P是AD上的一点．求证：∠ABP＝∠ACP.证明：连接BC.∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上．∵DB＝DC，∴点D在线段BC的垂直平分线上．∴直线AD是线段BC的垂直平分线．∵点P在直线AD上，∴PB＝PC.在△ABP和△ACP中eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,PB＝PC，,AP＝AP，))∴△ABP≌△ACP(SSS).∴∠ABP＝∠ACP.高效课堂教学设计1．掌握线段垂直平分线的概念．2．理解线段垂直平分线的性质和判定定理．3．运用线段垂直平分线的性质和判定定理解决几何问题．▲重点掌握线段垂直平分线的性质和判定，并学会运用．▲难点运用线段垂直平分线的性质和判定定理解决几何问题．◆活动1新课导入1．经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线．2．由轴对称的性质可知，无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴都是任意一对对称点所连线段的垂直平分线．◆活动2探究新知1．教材P65探究．提出问题：(1)比较点P1，P2，P3……到点A与点B的距离，你有什么发现？(2)你能否通过理论验证你的发现？学生完成并交流展示．2．教材P66第1个思考．提出问题：(1)线段垂直平分线的性质的题设和结论分别是什么？(2)如果把线段垂直平分线的结论和题设反过来，得到的命题是什么？(3)此命题是真命题吗？能否通过证明验证此命题？学生完成并交流展示．3．教材P66第2个思考．提出问题：(1)互逆命题、原命题、逆命题的定义分别是什么？(2)举例说一说原命题与逆命题的真假关系？(3)互逆定理的定义是什么？互逆定理是真命题还是假命题？(4)举例几何中的互逆定理．学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.2．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.3．两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.4．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.◆活动4例题与练习例1如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上，若AB＝5cm，BD＝3cm，求BE的长．解：∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC.∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC＝CE.∵AB＝5cm，BD＝3cm，∴CE＝AC＝AB＝5cm，CD＝BD＝3cm，∴BE＝BD＋DC＋CE＝3＋3＋5＝11(cm).例2如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC.(1)求∠PAQ的度数；(2)若△APQ的周长为12，BC的长为8，求PQ的长．解：(1)设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z.∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，∴AP＝PB，AQ＝CQ.由轴对称的性质可知∠B＝∠BAP＝x＋z，∠C＝∠CAQ＝x＋y.∵∠BAC＝80°，∴∠B＋∠C＝100°，即x＋y＋z＝80°，x＋z＋x＋y＝100°.∴x＝20°.∴∠PAQ＝20°；(2)∵△APQ的周长为12，∴AQ＋PQ＋AP＝12.∵AQ＝CQ，AP＝PB，∴CQ＋PQ＋PB＝12，即CQ＋BQ＋2PQ＝12.∴BC＋2PQ＝12.又∵BC＝8，∴PQ＝2.例3写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立．(1)两直线平行，内错角相等；(2)若a＝b，则a2＝b2；(3)如果一个三角形是直角三角形，那么两个锐角互余．解：(1)如果内错角相等，那么这两条直线平行，真命题；(2)如果a2＝b2，那么a＝b，假命题；(3)如果在一个三角形中的两锐角互余，那么这个三角形是直角三角形，真命题．练习1．教材P67练习第1，2，3题．2．如图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交边BC于点D，交边AC于点E.若△ABD的周长是22cm，则AE的长为(C)A．2cmB．3cmC．4cmD．5cmeq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第4题图）))3．如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是16.4．如图，点D在△ABC的边BC上，且BC＝BD＋AD，则点D在AC的垂直平分线上．◆活动5课堂小结1．线段垂直平分线的性质、判定及运用．2．互逆命题与互逆定理．1．作业布置(1)教材P70习题15.1第4，5，6题；(2)对应课时练习．2．教学反思综合训练一、选择题1.下列说法正确的是()A.如果两个三角形全等,那么它们必是关于某条直线成轴对称B.如果两个三角形关于某条直线成轴对称,那么它们是全等三角形C.等腰三角形是关于腰上的中线成轴对称的图形D.一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形2.下列“慢行通过,注意危险,禁止行人通行,禁止非机动车通行”四个交通标志图(黑白阴影图片)为轴对称图形的是()3.如图,把等腰直角三角形ABC沿BD折叠,使点A落在边BC上的点E处.下面结论错误的是()A.AB=BE B.AD=DCC.AD=DE D.AD=EC4.如图,△AOD与△BOC关于直线l成轴对称,则下列说法不正确的是()A.∠1=∠2B.∠3=∠4C.l垂直平分AB,CDD.AC,BD互相平分5.在平面直角坐标系中,若点P关于x轴的对称点在第二象限,且到x轴的距离为2,到y轴的距离为3,则点P的坐标为()A.(-3,-2) B.(-2,-3) C.(2,3) D.(3,2)6.如图,△ABC是等边三角形,AD是角平分线,△ADE是等边三角形,AB与ED相交于点F,有下列结论:①AD⊥BC;②EF=FD;③BE=BD.其中正确的有()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个7.在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,∠B=30°,AD=2cm,则AB的长是()A.2cm B.4cm C.8cm D.16cm8.如图,在平面直角坐标系中,△ABC位于第二象限,点A的坐标是(-2,3),先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1,再作△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2,则点A的对应点A2的坐标是()A.(-3,2) B.(2,-3) C.(1,-2) D.(-1,2)二、填空题9.若等腰三角形有一个角是50°,则另两个角分别是.

10.如图,由镜子中的号码得出实际号码是.

11.如图,在△ABC中,DE垂直平分AC交AB于点E,∠A=30°,∠ACB=80°,则∠BCE的度数是.

12.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,点E,F是AD的三等分点.若△ABC的面积为12cm2,则图中阴影部分的面积是cm2.

三、解答题13.由边长为1的小正方形组成的方格图如图所示,AB=5.(1)请在方格图中建立平面直角坐标系,使点A的坐标为(3,3),点B的坐标为(-1,0);(2)在x轴上画点C,使△ABC是以AB为腰的等腰三角形,并写出所有满足条件的点C的坐标.(不写作法,保留作图痕迹)14.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC延长线上的一点,E是AB上的一点,且在BD的垂直平分线EG上,DE交AC于点F,求证:点E在AF的垂直平分线上.15.如图,△ABC和△BDE均为等边三角形,点E在线段AD上,求证:BD+CD=AD.16.如图,在四边形纸片ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=6,∠B=60°,将纸片沿AE折叠,点B恰好与点D重合,求CE的长.综合训练一、选择题1.B全等的三角形不一定成轴对称,而成轴对称的两个三角形一定是全等的.2.B3.B4.D因为成轴对称的两个图形全等,对应点的连线被对称轴垂直平分,所以选项A,B,C是正确的.5.A因为点P关于x轴的对称点在第二象限,所以点P在第三象限,由点P到x轴的距离为2,到y轴的距离为3,得P(-3,-2).6.D7.C8.B如图,点A的对应点A2的坐标是(2,-3).故选B.二、填空题9.50°,80°或65°,65°①当50°的角为顶角时,底角为(180°-50°)÷2=65°;②当50°的角为底角时,另一个底角是50°,顶角为180°-2×50°=80°.10.326511.50°12.6三、解答题13.解(1)所作图形如图所示.(2)以AB为腰的等腰三角形有△ABC1,△ABC2,△ABC3,其中点C的坐标分别为C1(-6,0),C2(4,0),C3(7,0).14.证明如图,∵点E在BD的垂直平分线EG上,∴EB=ED,∴∠1=∠B.又∠ACB=90°,∴∠1+∠3=90°,∠B+∠2=90°,∴∠3=∠2.又∠3=∠4,∴∠2=∠4,∴EA=EF,∴点E在AF的垂直平