16.1.2　幂的乘方与积的乘方

数学八年级上册(RJ)16.1.2幂的乘方与积的乘方教师备课素材示例●情景导入如果太阳、木星和地球可近似看作球体，那么大家知道太阳、木星和地球的体积的大致比例吗？我可以告诉你，木星的半径是地球半径的10倍，太阳的半径是地球半径的102倍，假设地球的半径为r，那么，请同学们计算一下太阳和木星的体积是多少．（球的体积公式为V＝eq\f(4,3)πr3）学生在练习本上演算．教师总结，并引出课题．【教学与建议】教学：情景导入幂的乘方例题，激发学生学习兴趣．建议：利用同底数幂的乘法讲解下面几个题目：(1)(a2)3；(2)(22)3；(3)(bn)3.进而归纳总结并进行小组讨论，最后得出结论：(am)n＝＝＝amn.●归纳导入观察下面的计算过程，仿照第(1)小题的过程填写每一步的理论依据：(1)(2×3)7——积的乘方＝——乘方的意义＝——乘法交换律、结合律＝27×37;——幂的意义(2)(2×3)m——积的乘方＝——乘方的意义＝——乘法交换律、结合律＝2m×3m;——幂的意义(3)(ab)n——积的乘方＝——乘方的意义＝——乘法交换律、结合律＝anbn.——幂的意义由(1)(2)(3)的化简，得出：(1)(2×3)7＝27×37；(2)(2×3)m＝2m×3m；(3)(ab)n＝anbn（n是正整数）．【归纳】积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.【教学与建议】教学：学生自己分析计算的结果并进行讨论，归纳积的乘方法则．建议：学生语言描述若有困难，教师可进一步设计成填空形式．·命题角度1直接利用幂的乘方的法则计算幂的乘方，底数不变，指数相乘．当底数是一个多项式时，应将多项式视为一个整体，同样可用幂的乘方的法则解答．【例1】计算(－a3)3的结果是(B)A．a9B．－a9C．－a6 D．a6【例2】下列各式计算正确的是(B)A．(x2)6＝x8B．(x3)4＝x12C．(xn+1)3＝x3n+1D．x5·x6＝x30·命题角度2逆用幂的乘方法则逆用幂的乘方法则：amn＝(am)n，代入已知数据求值或将方程的两边化为同底数幂的形式，得到一个关于x的一元一次方程．【例3】已知有理数x，y，m，n满足5x＝m，5y＝n，则53x+2y等于(B)A．3m＋2nB．m3n2C．3m·2nD．m3＋n2【例4】(1)若92n＝38，则n＝2；(2)若27b＝9×3a+3，16＝4×22b-2，则a＋b＝3.·命题角度3直接利用积的乘方法则计算(1)积的乘方中底数必须是乘积的形式．(2)当底数含有“－”号时，应将其视为“－1”，作为一个因式，防止漏乘．【例5】计算(－3a3)4的结果是(D)A．－3a7B．21a7C．－81a12D．81a12【例6】计算eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)xy3))eq\s\up12(2)，结果正确的是(C)A．eq\f(1,2)x2y5B．－eq\f(1,2)x2y6C．eq\f(1,4)x2y6D．－eq\f(1,4)x2y6·命题角度4逆用幂的运算法则进行简便计算当由已知条件不能直接求值或直接求值较复杂时，逆用am＋n＝am·an（m，n都是正整数），amn＝(am)n＝(an)m（m，n都是正整数），anbn＝(ab)n（n为正整数）这些法则简便计算．【例7】计算（－eq\f(5,4)）2025×（eq\f(4,5)）2025等于(D)A．0.8B．－0.8C．1D．－1【例8】计算：(1)(－9)5×（－eq\f(2,3)）5×（eq\f(1,3)）5；(2)(－0.125)12×（－eq\f(5,3)）7×(－8)13×（－eq\f(3,5)）8.解：(1)原式＝[－9×（－eq\f(2,3)）×eq\f(1,3)]5＝25＝32；(2)原式＝（－eq\f(1,8)）12×(－8)12×(－8)×（－eq\f(5,3)）7×（－eq\f(3,5)）7×（－eq\f(3,5)）＝[（－eq\f(1,8)）×(－8)]12×(－8)×[（－eq\f(5,3)）×（－eq\f(3,5)）]7×（－eq\f(3,5)）＝1×(－8)×1×（－eq\f(3,5)）＝eq\f(24,5).高效课堂教学设计1．理解幂的乘方与积的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义．2．经历探索过程，发展学生的推理能力和有条理的表达能力．▲重点幂的乘方与积的乘方法则．▲难点法则的推导过程及灵活应用．◆活动1新课导入1．an的意义是n个a相乘.2．同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am·an＝am＋n（m，n都是正整数）．3．逆用：am＋n＝am·an（m，n都是正整数）．◆活动2探究新知1．教材P99探究．提出问题：(1)x3表示什么意义？如果将x换成32，那么(32)3表示什么意义？(2)你会计算(32)3吗？怎么计算？能否将32看成一个整体，根据乘方的意义转化成指数的乘法运算？(3)利用推导方法计算(a2)3，(am)3；(4)通过观察上面的计算结果，你能发现计算前后，底数和指数的变化规律吗？你能用一句简洁的语言表示出来吗？学生完成并交流展示．2．教材P100探究．提出问题：(1)怎样计算(ab)2和(ab)3？能否将ab看作一个整体，根据乘方的意义转化成同底数幂的乘法？(2)在计算(ab)2和(ab)3的过程中运用到哪些运算律？每一步的依据是什么？(3)观察上面计算出的结果，能得出什么规律？(4)如果将指数改为n，上面的规律还存在吗？对n的取值有什么要求呢？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.即(am)n＝amn（m，n都是正整数）．2．积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即(ab)n＝anbn（n是正整数）．◆活动4例题与练习例1教材P100例2.例2教材P100例3.例3计算：(1)－[(a－b)2]3；(2)(x2m-2)4·(xm+1)2；(3)5(p3)4·(－p2)3＋2[(－p)2]4·(－p5)2.解：(1)原式＝－(a－b)2×3＝－(a－b)6；(2)原式＝x4(2m-2)·x2(m+1)＝x8m-8·x2m+2＝x8m-8+2m+2＝x10m-6；(3)原式＝5p12·(－p6)＋2p8·p10＝－5p18＋2p18＝－3p18.例4已知x2m＝5，求eq\f(1,5)x6m－5的值．解：∵x2m＝5，∴eq\f(1,5)x6m－5＝eq\f(1,5)(x2m)3－5＝eq\f(1,5)×53－5＝20.练习1．教材P101练习第1，2，3题．2．下列计算正确的是(D)A．a3－a2＝aB．a2·a3＝a6C．(3a)3＝9a2D．(a2)2＝a43．下列各式计算正确的是(C)A．(－a2)3＝－a5B．a3·a5＝a15C．(－a2b3)2＝a4b6D．3a2－2a2＝14．如果(9n)2＝312，那么n的值为(B)A．4B．3C．2D．15．(1)若n为正整数，且x2n＝3，则(3x3n)2＝243；(2)若(x3)5＝215×315，则x＝6.◆活动5课堂小结1．幂的乘方的运算法则．2．积的乘方的运算法则．1．作业布置(1)教材P101习题16.1第2，3，4题；(2)对应课时练习．2．教学反思综合训练一、选择题1.下列计算正确的是()A.(a3)2=a5 B.(-ab3)3=-ab6C.(a+2)2=a2+4 D.2x12÷x6=2x62.下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是()A.a(x-y)=ax-ayB.x2+2x+1=x(x+2)+1C.(x+1)(x+3)=x2+4x+3D.x3-x=x(x+1)(x-1)3.把多项式x2+ax+b分解因式,得(x+1)·(x-3),则a,b的值分别是()A.a=2,b=3 B.a=-2,b=-3C.a=-2,b=3 D.a=2,b=-34.(xn+1)2(x2)n-1=()A.x4n B.x4n+3 C.x4n+1 D.x4n-15.把多项式x3-2x2+x分解因式正确的是()A.x(x2-2x) B.x2(x-2)C.x(x+1)(x-1) D.x(x-1)26.计算(72x3y4-36x2y3+9xy2)÷(-9xy2)的结果为()A.-8x2y2+4xy-1 B.-8x2y2-4xy-1C.-8x2y2+4xy+1 D.-8x2y2+4xy7.如图①,一个长方形的长为2m,宽为2n(m>n),用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图②那样拼成一个正方形,则中间空白部分的面积是()A.2mn B.(m+n)2C.(m-n)2 D.m2-n28.如图,正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张,如果要拼一个长为(a+3b),宽为(2a+b)的大长方形,则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为()A.2,3,7 B.3,7,2 C.2,5,3 D.2,5,7二、填空题9.若多项式x2+kx+16是一个完全平方式,则k的值是.10.设a=192×918,b=8882-302,c=10532-7472,则a,b,c按从小到大的顺序排列,结果是.

11.若a+3b-2=0,则3a·27b的值是.

12.将4个数a,b,c,d排成2行、2列,两边各加一条竖直线记成abcd,定义abcd=ad-bc.若-三、解答题13.计算:(1)2a5·(-a)2-(-a2)3·(-7a);(2)(x-4y)·(2x+3y)-(x+2y)·(x-y).14.先化简再求值:(1)2x-23y-((2)(3x-y)2-(2x+y)2-5x(x-y),其中x=2,y=1.15.(14分)观察下列三个算式的特点:52-32=8×2,92-72=8×4,152-32=8×27.(1)请你再写两个具有同样规律的算式;(2)用文字写出反映上述算式的规律;(3)验证这个规律的正确性.综合训练一、选择题1.D2.D3.B∵(x+1)(x-3)=x2-2x-3,∴x2+ax+b=x2-2x-3.∴a=-2,b=-3.4.A5.D6.A7.C拼成的正方形的边长为(m+n),它的面积为(m+n)2=m2+2mn+n2.原长方形的面积为4mn,故中间空白部分的面积为m2+2mn+n2-4mn=m2-2mn+n2=(m-n)2.8.A长为(a+3b),宽为(2a+b)的大长方形的面积为(a+3b)·(2a+b)=2a2+7ab+3b2.因为一张A类卡片的面积为a2,一张B类卡片的面积为b2,一张C类卡片的面积为ab,所以需要A类卡片2张,B类卡片3张,C类卡片7张.故选A.二、填空题9.±810.a<c<b因为a=192×918=361×918,b=8882-302=(888-30)(888+30)=858×918,c=10532-7472=(1053+747)(1053-747)=1800×306=600×918,所以a<c<b.11.912.-6由新定义知,-53x2+52x2-3=-5(x2-3)-2(3x2+5)=-5x2+15-因为-5所以-11x2+5=6.故11x2-5=-(-11x2+5)=-6.三、解答题13.解(1)原式=2a5·a2-7a6·a=2a7-7a7=-5a7.(2)原式=(2x2+3xy-8xy-12y2)-(x2-xy+2xy-2y2)=2x2-5xy-12y2-x2-xy+2y2=x2-6xy-10y2.14.解(1)原式=2x=x+=x2+19y2+23xy-=x2+19y2当x=1,y=9时,原式=12+19×92=1+9=10(2)原式=(3x-y+2x+y)(3x-y-2x-y)-5x2+5xy=5x·(x-2y)