第1课时　完全平方公式

数学八年级上册(RJ)16.3.2完全平方公式第1课时完全平方公式教师备课素材示例●置疑导入【师】请同学们探究下列问题：一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，来三个孩子，老人就给每个孩子三块糖……(1)第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？(2)第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？(3)第三天这(a＋b)个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？(4)这些孩子第三天得到的糖果总数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？【生】(1)第一天老人一共给了这些孩子a2块糖．(2)第二天老人一共给了这些孩子b2块糖．(3)第三天老人一共给了这些孩子(a＋b)2块糖．(4)孩子们第三天得到的糖块总数与前两天他们得到的糖块总数比较，应用减法，即(a＋b)2－(a2＋b2).【师】我们上一节学了平方差公式，即(a＋b)(a－b)＝a2－b2，现在遇到了两个数的和的平方，该怎样处理呢？【教学与建议】教学：采用“发糖果事例”让学生领会完全平方公式的内涵．建议：问题(1)(2)(3)回答，问题(4)小组讨论.●归纳导入自主探究：计算下列各式，你能发现什么规律？(1)(x＋1)2＝(x＋1)(x＋1)＝x2＋2x＋1；(2)(x＋2)2＝(x＋2)(x＋2)＝x2＋4x＋4；(3)(x－1)2＝(x－1)(x－1)＝x2－2x＋1；(4)(x－2)2＝(x－2)(x－2)＝x2－4x＋4；(5)(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋2ab＋b2；(6)(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－2ab＋b2.【归纳】文字叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.符号叙述：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.其实我们还可以从几何角度去解释完全平方公式．（出示投影）你能根据图①和②中的面积证明完全平方公式吗？eq\o(\s\up7(),\s\do5(图①))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图②))【教学与建议】教学：学生自主探究，利用数形结合的情境领会完全平方公式的内涵．建议：老师要深入到学生中，发现问题，要及时启发引导．·命题角度1直接运用完全平方公式计算用完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2直接计算．口诀记忆：首平方，尾平方，2倍之积在中央．【例1】计算(2x－1)(1－2x)的结果正确的是(C)A．4x2－1B．1－4x2C．－4x2＋4x－1D．4x2－4x＋1【例2】计算(2a＋b)2.解：原式＝4a2＋4ab＋b2.·命题角度2利用完全平方公式进行数字简便计算有些数学计算可拆成两数（式）和（差）的平方的形式，利用完全平方公式简算．【例3】计算：(1)2012；(2)99.82.解：(1)2012＝(200＋1)2＝2002＋2×200×1＋12＝40000＋400＋1＝40401；(2)99.82＝(100－0.2)2＝1002－2×100×0.2＋0.22＝10000－40＋0.04＝9960.04.·命题角度3利用乘法公式化简求值对于整式的化简求值问题，先去括号再合并同类项，最后代入数值计算．【例4】化简求值：(2x＋y)2＋(x＋2y)2－x(x＋y)－2(x＋2y)(2x＋y)，其中x＝eq\f(1,3)，y＝1.解：原式＝y2－3xy.当x＝eq\f(1,3)，y＝1时，原式＝0.·命题角度4利用乘法公式研究图形特征通过正方形、长方形、三角形、平行四边形等几何图形的剪拼变化，反映完全平方公式或平方差公式．【例5】如图①，把一个长为2m，宽为2n(m>n)的长方形两次对折后展开，再用剪刀沿图中折痕剪开，把它分成四块完全相同的小长方形，最后按图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是(C)eq\o(\s\up7(),\s\do5(①))eq\o(\s\up7(),\s\do5(②))A．2mB．(m＋n)2C．(m－n)2D．m2－n2【例6】下列图形阴影部分的面积能够直观地解释(x－1)2＝x2－2x＋1的是(A)eq\o(\s\up7(),\s\do5(A))eq\o(\s\up7(),\s\do5(B))eq\o(\s\up7(),\s\do5(C))eq\o(\s\up7(),\s\do5(D))高效课堂教学设计1．利用多项式相乘的法则推导完全平方公式，并掌握公式的结构特征．2．会运用完全平方公式，并能灵活运用公式进行计算．▲重点完全平方公式的结构特征．▲难点完全平方公式的运用．◆活动1新课导入1．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.2．试着写出结果：(1)(x＋1)2＝x2＋2x＋1；(2)(x－1)2＝x2－2x＋1；(3)(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2；(4)(m－n)2＝m2－2mn＋n2.◆活动2探究新知1．教材P114探究．提出问题：(1)观察探究中的算式，找出它们的相同点和不同点；(2)观察一下，每个式子能否根据幂的意义将其拆成两个多项式相乘的形式？(3)根据多项式乘多项式的法则，计算出每个式子的结果，观察结果，你能发现什么规律？(4)用简洁的方式表示你的发现．学生完成并交流展示．2．教材P115思考1.提出问题：(1)你能用两种方法表示图16.3－2中大正方形的面积吗？(2)你能用两种方法表示图16.3－3中左下角的小正方形的面积吗？(3)比较(1)，(2)中的两种结果，你能得出什么结论？学生完成并交流展示．3．教材P115思考2.(1)填空：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(－a－b)2＝a2＋2ab＋b2，则(a＋b)2＝(－a－b)2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2，(b－a)2＝b2－2ab＋a2，则(a－b)2＝(b－a)2；(2)(a－b)2与a2－b2相等吗？为什么？(3)完成思考中的问题，有什么发现？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.即两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.2．互为相反数的两个数的平方相等．◆活动4例题与练习例1教材P115例3.例2教材P115例4.例3利用完全平方公式计算：20242－4050×2024＋20252.解：原式＝20242－2×2024×2025＋20252＝(2024－2025)2＝1.例4已知a＋b＝3，ab＝1，求(a－b)2的值．解：(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝9－4×1＝5.练习1．教材P115～116练习第1，2，3题．2．下列各式计算结果是eq\f(1,4)m2n2－mn＋1的是(C)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(mn－\f(1,2)))eq\s\up12(2)B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)mn＋1))eq\s\up12(2)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)mn－1))eq\s\up12(2)D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)mn－1))eq\s\up12(2)3．填空．(1)(2x＋3y)2＝4x2＋12xy＋9y2；(2)x2＋10x＋25＝(x＋5)2.4．先化简，再求值：2a(a＋2b)－(a＋2b)2，其中a＝－1，b＝eq\r(3).解：原式＝a2－4b2.当a＝－1，b＝eq\r(3)时，原式＝－11.5．已知(x＋y)2＝18，(x－y)2＝6，求x2＋y2和xy的值．解：由题意，得(x＋y)2＋(x－y)2＝2(x2＋y2)＝24，∴x2＋y2＝12，∴(x＋y)2－(x2＋y2)＝2xy＝6，∴xy＝3.◆活动5课堂小结1．完全平方公式及其特征．2．完全平方公式的运用．1．作业布置(1)教材P117习题16.3第2题；(2)对应课时练习．2．教学反思综合训练一、选择题1.下列计算正确的是()A.(a3)2=a5 B.(-ab3)3=-ab6C.(a+2)2=a2+4 D.2x12÷x6=2x62.下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是()A.a(x-y)=ax-ayB.x2+2x+1=x(x+2)+1C.(x+1)(x+3)=x2+4x+3D.x3-x=x(x+1)(x-1)3.把多项式x2+ax+b分解因式,得(x+1)·(x-3),则a,b的值分别是()A.a=2,b=3 B.a=-2,b=-3C.a=-2,b=3 D.a=2,b=-34.(xn+1)2(x2)n-1=()A.x4n B.x4n+3 C.x4n+1 D.x4n-15.把多项式x3-2x2+x分解因式正确的是()A.x(x2-2x) B.x2(x-2)C.x(x+1)(x-1) D.x(x-1)26.计算(72x3y4-36x2y3+9xy2)÷(-9xy2)的结果为()A.-8x2y2+4xy-1 B.-8x2y2-4xy-1C.-8x2y2+4xy+1 D.-8x2y2+4xy7.如图①,一个长方形的长为2m,宽为2n(m>n),用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图②那样拼成一个正方形,则中间空白部分的面积是()A.2mn B.(m+n)2C.(m-n)2 D.m2-n28.如图,正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张,如果要拼一个长为(a+3b),宽为(2a+b)的大长方形,则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为()A.2,3,7 B.3,7,2 C.2,5,3 D.2,5,7二、填空题9.若多项式x2+kx+16是一个完全平方式,则k的值是.10.设a=192×918,b=8882-302,c=10532-7472,则a,b,c按从小到大的顺序排列,结果是.

11.若a+3b-2=0,则3a·27b的值是.

12.将4个数a,b,c,d排成2行、2列,两边各加一条竖直线记成abcd,定义abcd=ad-bc.若-三、解答题13.计算:(1)2a5·(-a)2-(-a2)3·(-7a);(2)(x-4y)·(2x+3y)-(x+2y)·(x-y).14.先化简再求值:(1)2x-23y-((2)(3x-y)2-(2x+y)2-5x(x-y),其中x=2,y=1.15.(14分)观察下列三个算式的特点:52-32=8×2,92-72=8×4,152-32=8×27.(1)请你再写两个具有同样规律的算式;(2)用文字写出反映上述算式的规律;(3)验证这个规律的正确性.综合训练一、选择题1.D2.D3.B∵(x+1)(x-3)=x2-2x-3,∴x2+ax+b=x2-2x-3.∴a=-2,b=-3.4.A5.D6.A7.C拼成的正方形的边长为(m+n),它的面积为(m+n)2=m2+2mn+n2.原长方形的面积为4mn,故中间空白部分的面积为m2+2mn+n2-4mn=m2-2mn+n2=(m-n)2.8.A长为(a+3b),宽为(2a+b)的大长方形的面积为(a+3b)·(2a+b)=2a2+7ab+3b2.因为一张A类卡片的面积为a2,一张B类卡片的面积为b2,一张C类卡片的面积为ab,所以需要A类卡片2张,B类卡片3张,C类卡片7张.故选A.二、填空题9.±810.a<c<b因为a=192×918=361×918,b=8882-302=(888-30)(888+30)=858×918,c=10532-7472=(1053+747)(1053-747)=1800×306=600×918,所以a<c<b.11.912.-6由新定义知,-53x2+52x2-3=-5(x2-3)-2(3x2+5)=-5x2+15-因为-5所以-11x2+5=6.故11x2-5=-(-11x2+5)=-6.三、解答题13.解(1)原式=2a5·a2-7a6·a=2a7-7a7=-5a7.(2)原式=(2x2+3xy-8xy-12y2)-(x2-xy+2xy-2y2)=2x2-5xy-12y2-x2-xy+2y2=x2-6xy-10y2.14.解(1)原式=2x=x+=x2+19y2+23xy-=x2+19y2当x=1,y=9时,原式=12+19×92=1+9=10(2)原式=(3x-y+2x+y)(3x-y-2x-y)-5x2+5