贵州省遵义市神州天立高级中学2025~2026学年高二下册第一次月考数学试卷【附解析】

数学（满分：150，时间：120分钟）一、单选题1.已知复数的实部为，虚部为2，则的共轭复数是A. B. C. D.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.3.按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：7，11，14，m，22；乙组：5，10，n，18，20，若这两组数据的第50百分位数、第80百分位数分别对应相等，则=（）A.28 B.29 C.30 D.324.已知，则下列成立的是（）A. B. C. D.5.在的二项展开式中，若常数项为240，则项的系数为（）A.60 B.36C.729 D.66.如图，已知正方体的棱长均为2，则异面直线与所成角的余弦值是A. B. C. D.07.化简计算的值为（）A. B. C. D.8.已知定义在上的函数满足，且函数为奇函数，则下列说法正确的是（）A.的一个周期是2B.是奇函数C.不一定是偶函数D.的图象关于点中心对称二、多选题9.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则10.已知向量，，则（）A.B.C.向量在向量上的投影向量是D.向量在向量上的投影向量是11.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，则（）A.若的一条渐近线的倾斜角为，则B.若的离心率为，则的实轴长为2C.若，则D.焦点到渐近线的距离为三、填空题12.若事件与事件互斥，且，，则______.13.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的值为______.14.圆在点处的切线方程为______.四、解答题15.国务院于2023年开展第五次全国经济普查，为更好地推动第五次全国经济普查工作，某地充分利用信息网络开展普查宣传，向基层普查人员、广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识．为了解宣传进展情况，现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求图中a的值；（2）求这200人年龄的平均数（同一组数据用该组所在区间的中点值作代表）和中位数（精确到0.1）；（3）现要从年龄在与的两组中按照人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中任选3人进行问卷调查，求从中至少抽到2人进行问卷调查的概率．16.在中，内角的对边分别是，且．（1）求；（2）若，求的面积的最大值．17.如图所示，四棱锥的底面为一直角梯形，，，，底面，为的中点.（1）证明：平面；（2）若，证明：平面.18.在2022年北京冬奥会志愿服务开始前，北京市团委调查了北京师范大学某院50名志愿者参加志愿服务礼仪培训和赛会应急救援培训的情况，数据（单位：人）如下表：参加志愿服务礼仪培训未参加志愿服务礼仪培训参加赛会应急救援培训610未参加赛会应急救援培训628（1）从50名志愿者中随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个培训的概率；（2）在既参加志愿服务礼仪培训又参加赛会应急救援培训的6名同学中，有4名男同学名女同学，现从这4名男同学和2名女同学中各随机选1人，求未被选中且被选中的概率.19.已知A，B分别为椭圆C：的左、右顶点，且，C的离心率为．（1）求C的方程；（2）若倾斜角为的直线与C交于D，E两点，求DE的中点的轨迹方程；（3）若直线：与交于，两点，设直线，的斜率分别为，且，求t．

数学（满分：150，时间：120分钟）一、单选题1.已知复数的实部为，虚部为2，则的共轭复数是A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：本题考查复数的概念及复数的运算．解：由题意得：所以，共轭负数为2+i

故选B2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据特称命题的否定规则，改换量词、否定结论、保持取值范围不变即可求解.解答过程：命题“”的否定是“”.3.按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：7，11，14，m，22；乙组：5，10，n，18，20，若这两组数据的第50百分位数、第80百分位数分别对应相等，则=（）A.28 B.29 C.30 D.32答案：C解析：思路：分别求出两组数据的第50百分位数、第80百分位数，求出即可得解.解答过程：依题意，甲组数据的第50百分位数为14，乙组数据的第50百分位数为，则，由，得甲组数据的第80百分位数为，乙组数据的第80百分位数为，因此，解得，所以.故选：C4.已知，则下列成立的是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据已知条件，利用指数函数，对数函数的单调性以及不等式性质，逐一分析即可.解答过程：对，等价于，因为，显然，不等式不成立；对，因为是增函数，又因为，故，故不等式不成立；对，因为是增函数，又因为，故，故不等式不成立；对，等价于，因为，显然，故不等式成立.故选：C.方法提示：本题考查不等式的性质，以及利用对数和指数函数的单调性比较大小，属基础题.5.在的二项展开式中，若常数项为240，则项的系数为（）A.60 B.36C.729 D.6答案：A解析：解答过程：展开式的通项公式为，令，则，当时，，，当时，，，所以，令，则，所以.6.如图，已知正方体的棱长均为2，则异面直线与所成角的余弦值是A. B. C. D.0答案：B解析：思路：根据正方体的线面关系，将平移至，找到异面直线所成角，求解即可．解答过程：在正方体中，，所以异面直线与所成角为，由为正三角形，故．故选B．方法提示：本题考查了异面直线所成角，求解异面直线所成角的步骤：先平移找到角，再证明，最后求解．7.化简计算的值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由三角恒等变换求解即可.解答过程：.故选：B.8.已知定义在上的函数满足，且函数为奇函数，则下列说法正确的是（）A.的一个周期是2B.是奇函数C.不一定是偶函数D.的图象关于点中心对称答案：D解析：思路：对于A，根据函数周期性的定义分析判断，对于BC，根据函数奇偶性的定义结合题意分析判断，对于D，根据函数的周期性、偶函数和对称性分析判断即可.解答过程：对于A，因为定义在上的函数满足，所以，所以，所以，所以的一个周期是4，所以A错误，对于BC，因为，所以，因为函数为奇函数，所以，所以，所以的图象关于点对称，所以，所以，所以是偶函数，不是奇函数，所以BC错误，对于D，因为为偶函数，的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，因为的一个周期是4，所以的图象关于点对称，即的图象关于点中心对称，所以D正确，故选：D二、多选题9.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：BD解析：思路：利用空间中的线面、面面关系逐一判断.解答过程：由，得或，A错误；由，得，B正确；由，得或相交，C错误；由，得，D正确.故选：BD10.已知向量，，则（）A.B.C.向量在向量上的投影向量是D.向量在向量上的投影向量是答案：BC解析：思路：根据向量垂直的坐标表示、向量模的计算和向量的投影公式对选项逐一计算判断.解答过程：，，所以，所以不垂直，A错误；，，所以，B正确；，，，所以向量在向量上的投影向量为，C正确；，所以向量在向量上的投影向量为，D错误.故选：BC.11.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，则（）A.若的一条渐近线的倾斜角为，则B.若的离心率为，则的实轴长为2C.若，则D.焦点到渐近线的距离为答案：ABD解析：思路：由一条渐近线的倾斜角为45°，则，得到，可判定A正确；由双曲线的离心率，求得，可判定B正确；由双曲线定义和，列出方程组，求得，可判定C错误；根据点到直线的距离公式，可判定D正确.解答过程：由双曲线，可得，对于A，由双曲线的渐近线方程为，因为一条渐近线的倾斜角为45°，则，所以，所以A正确；对于B，由双曲线的离心率，解得，所以实轴长，所以B正确；对于C，由双曲线定义，因为，则，可得，即，所以，所以C错误；对于D，由双曲线的渐近线，即，则焦点到渐近线的距离为，所以D正确.故选：ABD．三、填空题12.若事件与事件互斥，且，，则______.答案：##解析：思路：根据互斥事件的概率加法公式，求得，再由对立事件的概率公式，即可求解.解答过程：因为事件与事件互斥，则，又因为，所以.故答案为：.13.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的值为______.答案：解析：思路：根据余弦定理的边角互化，化简得，即可求解.解答过程：由根据余弦定理，可得.故答案为.方法提示：本题主要考查了余弦定理的应用，其中解答中熟练应用余弦定理的边角互化，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14.圆在点处的切线方程为______.答案：解析：思路：根据题意，由点在圆上，求得，结合圆的性质，得到切线斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解.解答过程：将圆化为标准方程，可得圆心坐标为，由点在圆上，可得圆心与点连线的斜率，因为圆的切线与圆心和切点连线垂直，可得切线斜率为，所以切线方程为，即．故答案为：．四、解答题15.国务院于2023年开展第五次全国经济普查，为更好地推动第五次全国经济普查工作，某地充分利用信息网络开展普查宣传，向基层普查人员、广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识．为了解宣传进展情况，现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求图中a的值；（2）求这200人年龄的平均数（同一组数据用该组所在区间的中点值作代表）和中位数（精确到0.1）；（3）现要从年龄在与的两组中按照人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中任选3人进行问卷调查，求从中至少抽到2人进行问卷调查的概率．答案：（1）（2）平均数为；中位数约为42.1（3）解析：思路：(1)用频率分布直方图的面积和为直接求出；(2)用平均数，中位数的意义可求；(3)古典概率问题，先求出不同年龄段抽取的人数，再用古典概率公式求出结果.（1）由图可知，解得．（2）平均数为．设中位数为x，由已知可得．且，解得，即中位数约为42.1．（3）年龄在和这两组的人数分别为30，20，则年龄在的应抽取3人，年龄在的应抽取2人，设“从这5人中任选3人，年龄在内的至少有2人”为事件A，则．16.在中，内角的对边分别是，且．（1）求；（2）若，求的面积的最大值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由余弦定理得，通过同角三角函数的基本关系求得的值；（2）利用基本不等式可得，从而求出的面积的最大值.（1）由，得，所以由余弦定理，得，因为中，，所以，，所以.（2）由和，得，因为，当且仅当时取等号，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的面积，即的面积的最大值为.17.如图所示，四棱锥的底面为一直角梯形，，，，底面，为的中点.（1）证明：平面；（2）若，证明：平面.答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析.解析：思路：（1）取的中点，连接，，可证得，由线面平行的判断定理即可求证；（2）根据已知条件可证明面，可得，再由等腰三角形的性质可得，由线面垂直的判定定理可证明面，再结合即可求证.解答过程：（1）取的中点，连接，，因为四边形是直角梯形，，，所以，且，因为为的中点，点为的中点，所以且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）因为底面，面，所以，又因为，，所以面，因为平面，可得，因为，点为的中点，所以，因为，所以面，因为，所以平面.18.在2022年北京冬奥会志愿服务开始前，北京市团委调查了北京师范大学某院50名志愿者参加志愿服务礼仪培训和赛会应急救援培训的情况，数据（单位：人）如下表：参加志愿服务礼仪培训未参加志愿服务礼仪培训参加赛会应急救援培训610未参加赛会应急救援培训628（1）从50名志愿者中随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个培训的概率；（2）在既参加志愿服务礼仪培训又参加赛会应急救援培训的6名同学中，有4名男同学名女同学，现从这4名男同学和2名女同学中各随机选1人，求未被选中且被选中的概率.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据查数据可知至少参加上述一个培训的共有22人，即可计算出相应的概率；（2）列出所有的基本事件，再选出符合题意的基本事件数，即可计算出结果.（1）由调查数据可知，既未参加志愿服务礼仪培训又未参加赛会应急救援培训的有28人，故至少参加上述一个培训的共有（人）.因此从50名志愿者中随机选1名同学，该同学至少参加上述一个培训的概率为；（2）从这4名男同学和2名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有，共8个，根据题意，这些基本事件的出现是等可能的，事件“未被选中且被选中”所包含的基本事件有，共3个，所以可得未被选中且被选中的概率为.19.已知A，B分别为椭圆C：的左、右顶点，且，C的离心率为．（1）求C的方程；（2）若倾斜角为的直线与C交于D，E两点，求DE的中点的轨迹方程；（3）若直线：与交于，两点，设直线，的斜率分别为，且，求t．答案：（1