海南省儋州市2025~2026学年高一下册7月期末期末学业质量监测数学试卷【附解析】

数学考试时间120分钟．一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1.已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z的共轭复数＝（）A. B. C. D.2.为了了解学生们的身体状况，某学校决定采用分层抽样的方法，从高一､高二､高三三个年级共抽取100人进行各项指标测试.已知高三年级有500人，高二年级有700人，高一年级有800人，则高三年级抽取的人数为（）A.30 B.25 C.20 D.153.已知向量，，若，则|（）A.2 B. C.3 D.4.已知m，n是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则5.已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面积为，则此圆锥的体积为（）A. B. C. D.6.在中，已知是边上的中线，则（）A. B. C. D.7.将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于直线对称，则的最小值是（）A. B. C.2 D.68.如图，在直角梯形中，，以四条边为直径向外作四个半圆，点是这四个半圆弧上的一个动点，则的最大值是（）A.8 B.16 C. D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，全对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．共18分．）9.一组样本数据如下：47，48，49，50，51，52，53，则（）A.该组数据的平均数为50 B.该组数据的中位数为50C.该组数据的方差为3 D.该组数据的第80百分位数为51.510.已知平面向量，则（）A.不垂直B.，使得共线C.当时，D.当时，在方向上的投影向量为11.已知棱长为2的正方体，点是的中点，点在线段上，满足，则下列表述正确的是（

）A.时，平面B.不存在，使得平面C.任意，三棱锥的体积为定值D.过点的平面分别交于，则的范围是三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.已知复数，则复数在复平面内对应的点位于第__________象限.13.在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则______.14.三棱锥的顶点都在球的球面上，且，若三棱锥的体积最大值为，则球的表面积为_____.四、解答题（本题共5小题，共77分．）15.如图，在正方体中，是棱上一点，且．（1）试画出过三点的平面截正方体所得截面；（2）证明：平面与平面相交，并指出它们的交线．16.文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，遵义市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，⋯，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的第80百分位数；（2）求样本成绩的平均数，中位数和众数；（3）已知落在的平均成绩是55，方差是7，落在的平均成绩为67，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差.17.已知分别是锐角三个内角的对边，且，．（1）求的值；（2）求面积的取值范围．18.设函数，其中，已知函数的图象关于点成中心对称.（1）求；（2）当时，求函数的单调递增区间；（3）若，，且，，求的值.19.如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.

数学考试时间120分钟．一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1.已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z的共轭复数＝（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据复数的除法运算法则，结合求模公式及共轭复数的概念，即可得答案.解答过程：由题意，则z的共轭复数2.为了了解学生们的身体状况，某学校决定采用分层抽样的方法，从高一､高二､高三三个年级共抽取100人进行各项指标测试.已知高三年级有500人，高二年级有700人，高一年级有800人，则高三年级抽取的人数为（）A.30 B.25 C.20 D.15答案：B解析：思路：根据分层抽样的抽样比公式进行求解即可.解答过程：根据分层抽样的性质可知：高三年级抽取的人数为.故选：B3.已知向量，，若，则|（）A.2 B. C.3 D.答案：D解析：思路：根据平面向量垂直的坐标运算可得，进而利用向量的线性坐标运算求得的坐标，代入模的运算公式即可求解.解答过程：因为向量，，且，所以，解得，所以，所以．4.已知m，n是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则答案：C解析：思路：根据空间中线、面关系的判定和性质逐一判断即可.解答过程：对A：平行于同一个平面的两条直线的位置关系不确定，故A错误；对B：若，，则或，故B错误；对C：根据线面垂直的定义可知，C正确；对D：若，，则直线与平面的位置关系不确定，故D错误.故选：C5.已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面积为，则此圆锥的体积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据题意结合圆锥的结构特征列式求，进而可得体积.解答过程：设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，由题意可得：，解得，所以圆锥的体积为.故选：B.6.在中，已知是边上的中线，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用两次余弦定理即可求解.解答过程：由余弦定理得：，再由余弦定理得：，则，故选：B7.将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于直线对称，则的最小值是（）A. B. C.2 D.6答案：B解析：思路：通过平移得到，再利用对称性列方程，即可求解.解答过程：函数的图象向左平移个单位后，得到的函数，因为曲线关于直线对称，所以，，解得：，，因为，令，得，所以的最小值是.故选：B.8.如图，在直角梯形中，，以四条边为直径向外作四个半圆，点是这四个半圆弧上的一个动点，则的最大值是（）A.8 B.16 C. D.答案：D解析：思路：根据点的位置，分类讨论，利用数量积的定义即可求解.解答过程：要使最大，与的夹角小于，当点在弧上时，，当点在弧上时，，当点在弧上时，取线段中点为，则，所以当与同向时，，此时最大值为，故选：D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，全对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．共18分．）9.一组样本数据如下：47，48，49，50，51，52，53，则（）A.该组数据的平均数为50 B.该组数据的中位数为50C.该组数据的方差为3 D.该组数据的第80百分位数为51.5答案：AB解析：解答过程：对于A项：平均数，故A正确；对于B项：该组数据共7个，从小到大排列后中位数为第4个数据，即50，故B正确；对于C项：方差，故C错误；对于D项：由，结果不是整数，向上取整为6，因此第80百分位数为第6个数据52，不是，故D错误.10.已知平面向量，则（）A.不垂直B.，使得共线C.当时，D.当时，在方向上的投影向量为答案：ABD解析：思路：对于选项A，可通过向量的数量积进行判断；对于选项B，根据向量的共线性质进行判断；对于选项C，首先求出的坐标，然后求其和的模；对于选项D，首先求出的坐标，然后根据向量的投影公式进行求解.解答过程：因为，则，所以不垂直，所以选项A正确.假设，则，所以，所以当时，共线，所以选项B正确.当时，，所以，所以，所以选项C错误.当时，，所以在方向上的投影向量为.故选：.11.已知棱长为2的正方体，点是的中点，点在线段上，满足，则下列表述正确的是（

）A.时，平面B.不存在，使得平面C.任意，三棱锥的体积为定值D.过点的平面分别交于，则的范围是答案：ACD解析：思路：利用线面平行的判定判断A；举例说明判断B；利用等体积法计算判断C；作图直接计算得到并判断D.解答过程：对于A，当时，是的中点，而是的中点，则，而平面，平面，于是平面，A正确；对于B，当，即点与重合时，由平面，平面，则，又平面，则平面，而平面，于是，又，则，同理，又平面，因此平面，B错误；对于C，显然，而平面，平面，则平面，因此点到平面的距离为定值，在中，，其面积为定值，因此三棱锥的体积为定值，C正确；对于D，直线与直线和分别交于点，则，，而有，，当时，有，，则，，从而，，当时，分别与重合；当时，点为中点，与重合，，亦成立，则，，所以的取值范围是，D正确.故选：ACD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.已知复数，则复数在复平面内对应的点位于第__________象限.答案：三解析：思路：先求出，然后求出其在复平面对应的坐标，从而可得答案解答过程：因为，所以，所以复数在复平面内对应的点为，位于第三象限，故答案为：三13.在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则______.答案：解析：思路：根据正弦定理进行角化边，由题意解得两边的长，利用余弦定理，可得答案.解答过程：因为，所以根据正弦定理得，代入，可得，解得，.所以由余弦定理可得，即.故答案为：.14.三棱锥的顶点都在球的球面上，且，若三棱锥的体积最大值为，则球的表面积为_____.答案：解析：思路：先由余弦定理得到为直角三角形，解得，再根据得到与的关系，而后由三棱锥的体积最大值为得到，此时，即可求得，代入球的表面积公式可得答案.解答过程：由余弦定理可知：，即，又，解得.因为，故，所在小圆的圆心为中点，小圆半径；记球心到小圆圆心的距离为，球半径为，三棱锥的高为，则有，当三棱锥的体积最大时，与在球心两侧，此时有，再由，可知，故，解得，此时，故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分．）15.如图，在正方体中，是棱上一点，且．（1）试画出过三点的平面截正方体所得截面；（2）证明：平面与平面相交，并指出它们的交线．答案：（1）作图见解析（2）证明见解析；为面与面的交线解析：思路：（1）在上取一点，使得，延长交于点，连结，即可得到截面；（2）根据两平面有公共点，可知两面相交；延长，设它们交于点，可证得在两面交线上，由此可知交线为.（1）在上取一点，使得，延长交于点，连结，则平面就是过三点的平面截正方体所得截面．（2）平面，平面，平面平面，即平面与平面相交．延长，设它们交于点，直线，直线平面，平面．直线，直线平面，平面．为面与面的交线．16.文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，遵义市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，⋯，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的第80百分位数；（2）求样本成绩的平均数，中位数和众数；（3）已知落在的平均成绩是55，方差是7，落在的平均成绩为67，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差.答案：（1），86（2）74，75，75（3），解析：思路：（1）由频率分布直方图的性质，求得参数，根据百分数的定义，可得答案；（2）根据平均数、中位数以及众数估计值的公式，结合频率分布直方图，可得答案；（3）根据两个分数段的频率可得其人数比例，结合平均数与方差的计算，可得答案.（1）根据题意可得，解得；因为前几组的频率依次为0.05，0.1，0.2，0.3，0.25，所以样本成绩的第80百分位数在内，且为.（2）本成绩的平均数为；因为前几组的频率依次为0.05，0.1，0.2，0.3，所以样本成绩的中位数在内，且为；样本成绩的众数为.（3）因为与的频率之比为，又落在的平均成绩是55，方差是7，落在的平均成绩为67，方差是4，所以两组成绩合并后的平均数；所以两组成绩合并后的方差.17.已知分别是锐角三个内角的对边，且，．（1）求的值；（2）求面积的取值范围．答案：（1），（2）解析：思路：（1）根据正弦定理和辅助角公式求出，再由已知条件结合正弦定理求得；（2）先根据正弦定理求出的关系式，然后根据的范围求出的范围，最后利用三角形面积公式即可求得其面积的范围.（1）在锐角中，由正弦定理得，又，∵，所以，则，在锐角中，，，即.，（2）由（1）得，由正弦定理：，得因为为锐角三角形，所以，所以，所以，所以，所以，故面积的取值范围为．18.设函数，其中，已知函数的图象关于点成中心对称.（1）求；（2）当时，求函数的单调递增区间；（3）若，，且，，求的值.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用三角恒等变换得到，将代入，结合，求出；（2）整体法得到，求出即为单调递增区间；（3）求出，由同角三角函数关系得到和的值，凑