河北省部分学校2025~2026学年高二下册期末联考数学试卷【附解析】

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.某物体做直线运动，其位移s（单位：米）随时间t（单位：秒）变化的函数关系为，则该物体在时的瞬时速度为（）A.4米/秒 B.12米/秒 C.16米/秒 D.20米/秒3.某校学生会共有6名女干部和4名男干部，现从中随机选取3名干部组成“校园文明督察队”，则该督察队中至少含有1名男干部的概率为（）A. B. C. D.4.已知函数，则（）A.5 B.4 C.3 D.25.已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则（）A.2或-6 B.2 C.-2或6 D.66.已知函数若，则t的取值范围为（）A. B. C. D.7.函数图象上的点到直线的距离的最小值是（）A.1 B. C. D.28.已知，且，记随机变量X为x，y，z中的最大值，则（）A.4 B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.“”的一个充分不必要条件可以是（）A. B. C. D.10.甲、乙两名同学参加某答题活动，甲答对每道题的概率均为，乙答对每道题的概率均为，假设甲、乙两人答题相互独立，现随机抽取一道题由两人共同作答（只要有一人答对即视为该题被攻克），记事件A为“甲答对该题”，事件B为“乙答对该题”，事件C为“该题被攻克”，则（）A. B.C. D.11.已知函数，下列结论正确的是（）A.当时，在上单调递减B.存在，使得有唯一极值点C.若，则当时，恒成立D.若有两个极值点，，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若的展开式的常数项为-160，则a=_______.13.已知，则的最小值为_______.14.某厂商从其生产的某种无人机配件中随机抽取了一部分进行质量检测，其质量测试指标值X服从正态分布，且X落在[14，18]内的无人机配件个数为3146，则可估计所抽取的这批无人机配件中质量测试指标值低于8的个数大约为______.附：若，则，，.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知全集，集合，.（1）若a=1，求；（2）若，求a的取值范围.16.某餐饮公司准备在某城市开分店，为合理安排分店数量，先决定开1家分店进行试点，该分店1月至5月的营业额y（单位：万元）的数据如下：x/月份12345y/万元151211109（1）根据1月至5月的数据，求y与x之间的样本相关系数（精确到0.01）；（2）求y关于x的经验回归方程，并预测6月份的营业额能否突破7万元，说明理由.参考公式及数据：线性相关系数，.y关于x的回归直线方程的斜率与截距的最小二乘估计分别为，.17.已知函数，，.（1）若在x=1处取得极值，求a的值；（2）若在上单调递增，求a的取值范围；（3）若在上存在单调递减区间，求a的取值范围.18.某足球俱乐部进行点球测试，球员每次点球射中的概率为，各次点球射中与否相互独立，该球员连续进行4次点球射门，记射中次数为随机变量X.（1）求射中次数X不少于3次的概率；（2）该足球俱乐部制定奖励方案，射中X次可得奖金千元，求该球员获得奖金的数学期望.19.定义：若两个函数与在公共的定义域内恰好具有相同的极值点且在相同的极值点处也具有相等的极值，则称它们为“友好联盟函数”.已知函数，，且.（1）若与是“友好联盟函数”，求a的值.（2）当时，证明：，.（3）若不等式对任意的恒成立，求a的取值范围.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：解方程得或1，所以，，所以.2.某物体做直线运动，其位移s（单位：米）随时间t（单位：秒）变化的函数关系为，则该物体在时的瞬时速度为（）A.4米/秒 B.12米/秒 C.16米/秒 D.20米/秒答案：D解析：思路：由导数的定义求瞬时速度.解答过程：因为，所以所求瞬时速度为米/秒.3.某校学生会共有6名女干部和4名男干部，现从中随机选取3名干部组成“校园文明督察队”，则该督察队中至少含有1名男干部的概率为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由所求事件的对立事件的概率求解.解答过程：所求事件的对立事件是该督察队中没有男干部，由间接法，得所求概率.4.已知函数，则（）A.5 B.4 C.3 D.2答案：A解析：解答过程：因为，所以，解得.5.已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则（）A.2或-6 B.2 C.-2或6 D.6答案：B解析：思路：利用定义域为的奇函数性质求出参数，借助奇函数对称性算出，代入等式求得，结合时的函数解析式解方程并舍去负根得到.解答过程：因为是定义在上的奇函数，所以，解得，则.因为是增函数，且当时，，则当时，，由，得，所以，由，解得或（舍去）.6.已知函数若，则t的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先计算出的值，再根据的取值范围分和两种情况，分别代入分段函数对应的解析式列不等式求解，最后将两种情况的解集合并得到的取值范围.解答过程：，当，即时，，由，得；当，即时，，由，得，解得，综上，，即的取值范围为.7.函数图象上的点到直线的距离的最小值是（）A.1 B. C. D.2答案：C解析：思路：先利用切线斜率等于导数值求出切点横坐标，得到切点坐标，再根据切点在切线上求出参数，最后用点到直线距离公式算出最小距离.解答过程：设直线与的图象相切于点，因为，所以，解得，所以切点坐标为，则所求的最小值.8.已知，且，记随机变量X为x，y，z中的最大值，则（）A.4 B. C. D.答案：D解析：思路：先用隔板法算出方程正整数解总组数，找出最大值的全部取值，分类枚举每种取值对应的数组排列情况求对应概率，最后代入期望公式计算.解答过程：用隔板法，将8看作8个完全相同的小球，排成一排，之间形成7个空位，放入2块隔板，可求得的正整数解有组，X的所有可能取值为，当时，三个正整数为，有种，则；当时，三个正整数为或，有种，则当时，三个正整数为，有种，则；当时，三个正整数为，有种，则.故二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.“”的一个充分不必要条件可以是（）A. B. C. D.答案：ACD解析：解答过程：由，可得，即，解得或，则的解集为或，若找的充分不必要条件对应的集合，则必须满足，且，故A，C，D均正确，B错误.10.甲、乙两名同学参加某答题活动，甲答对每道题的概率均为，乙答对每道题的概率均为，假设甲、乙两人答题相互独立，现随机抽取一道题由两人共同作答（只要有一人答对即视为该题被攻克），记事件A为“甲答对该题”，事件B为“乙答对该题”，事件C为“该题被攻克”，则（）A. B.C. D.答案：ABD解析：思路：对A，利用对立事件与独立事件概率公式，用1减去甲乙全都答错的概率，算出题目被攻克的总概率进行判断；对B，依据条件概率公式，结合甲答对则题目必被攻克即、，代入与已求算出条件概率验证对错；对C，套用条件概率公式，由得，先通过独立事件算出，再除以得到对比判断正误；对D，同B的思路求出，再用减去，对比差值完成判断.解答过程：由题意知，且A与B相互独立.对于A：事件C表示“该题被攻克”，即甲、乙至少有一人答对，则，A正确；对于B：由条件概率公式知.注意到，故，即，因此，B正确；对于C：同理可得，由于，所以，即，因此，C错误；对于D：因为，所以，D正确.11.已知函数，下列结论正确的是（）A.当时，在上单调递减B.存在，使得有唯一极值点C.若，则当时，恒成立D.若有两个极值点，，则答案：AC解析：思路：求出函数的导数，利用导数确定单调性依次判断ABC；利用极值点的意义确定的范围，再计算判断D.解答过程：函数的定义域为，求导得，对于A，当时，，当且仅当时取等号，因此在上单调递减，A正确；对于B，当时，，，因此在上单调递减，不存在极值点，B错误；对于C，当时，，在上单调递减，由，得，C正确；对于D，由有两个极值点，得有两个不等的正根，则，此时，则，D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若的展开式的常数项为-160，则a=_______.答案：##解析：思路：先写出二项展开式通项，令的指数为求出常数项对应的，再代入常数项等式求解参数.解答过程：的展开式的通项，令，得，由，得.13.已知，则的最小值为_______.答案：##解析：思路：先由判断，再将配凑，利用乘法结合基本不等式求最小值.解答过程：因为，所以，所以，当且仅当即时，等号成立.所以的最小值为.14.某厂商从其生产的某种无人机配件中随机抽取了一部分进行质量检测，其质量测试指标值X服从正态分布，且X落在[14，18]内的无人机配件个数为3146，则可估计所抽取的这批无人机配件中质量测试指标值低于8的个数大约为______.附：若，则，，.答案：455解析：思路：先求出抽取的配件总个数，再计算出测试指标值低于8的个数的概率，最后得出测试指标值低于8的个数.解答过程：由题意知，，则，故可估计抽取的配件总个数，又，所以可估计所抽取的这批无人机配件中质量测试指标值低于8的个数大约为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知全集，集合，.（1）若a=1，求；（2）若，求a的取值范围.答案：（1）（2）.解析：思路：（1）先解一元二次不等式化简集合，写出的补集，再代入化简集合，最后取两集合的交集得到结果；（2）由推出，结合集合非空与子集区间端点约束列出不等式组，解不等式组得到参数的取值范围.（1）因为的解集为，所以，则或，当时，，所以.（2）若，则，因为，所以，解得，即的取值范围为.16.某餐饮公司准备在某城市开分店，为合理安排分店数量，先决定开1家分店进行试点，该分店1月至5月的营业额y（单位：万元）的数据如下：x/月份12345y/万元151211109（1）根据1月至5月的数据，求y与x之间的样本相关系数（精确到0.01）；（2）求y关于x的经验回归方程，并预测6月份的营业额能否突破7万元，说明理由.参考公式及数据：线性相关系数，.y关于x的回归直线方程的斜率与截距的最小二乘估计分别为，.答案：（1）（2）由题意得，可得，，所以y关于x的经验回归方程是当时，，所以预测6月份的营业额能突破7万元.解析：（1）由题意得，，可得，则，得到，故.（2）略17.已知函数，，.（1）若在x=1处取得极值，求a的值；（2）若在上单调递增，求a的取值范围；（3）若在上存在单调递减区间，求a的取值范围.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）先对函数求导，利用极值点处导数为求出参数，再通过导数正负判断函数单调性，进而得到单调区间；（2）方法一：对求导，将导数恒非负的不等式分离参数，构造函数求其在对应区间的最大值得到的范围；方法二：根据单调递增函数的性质，让区间最小值满足不等式，直接解出的取值范围；（3）方法一：将不等式分离参数，结合构造函数在区间的单调性求出最大值，得到的上限；方法二：利用函数单调性求出区间最小值，令最小值小于解出的取值范围.（1）因为，所以，则，得，当时，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，则在处取得极值，故.（2），则，由题意得，在上恒成立，即在上恒成立.（方法一）整理得在上恒成立，所以，因为在上单调递减，最大值为，所以，即的取值范围是.（方法二）因为，，所以函数在上单调递增，所以，所以，即，即的取值范围是.（3）由题意得在上有解.（方法一）需在上有解.因为在上单调递减，所以，所以，即的取值范围为.（方法二）函数在上单调递增，所以，在上有解，所以，所以，即的取值范围为.18.某足球俱乐部进行点球测试，球员每次点球射中的概率为，各次点球射中与否相互独立，该球员连续进行4次点球射门，记射中次数为随机变量X.（1）求射中次数X不少于3次的概率；（2）该足球俱乐部制定奖励方案，射中X次可得奖金千元，求该球员获得奖金的数学期望.答案：（1）（2）8000元.解析：思路：（1）已知服从4次、单次命中率的二项分布，射中不少于3次即、，分别用二项分布概率公式算出对应概率再相加；（2）由得到全部取值，借助二项分布求出每个取值的概率，再代入数学期望公式计算得到奖金期望.（1）由题可知，，则射中次数不少于3次的概率为.（2）令，由题