河北省邢台市2025~2026学年高二下册期末学业水平调研数学试卷【附解析】

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，，则（）A. B. C. D.2.已知命题p：，，命题q：，，则（）A.p和q都是真命题 B.和q都是真命题C.p和都是真命题 D.和都是真命题3.展开式中第6项的系数为（）A. B. C. D.4.已知奇函数的图象关于直线对称，且，则（）A. B. C. D.5.已知随机变量X服从二项分布，即，且，，则（）A.， B.，C.， D.，6.已知函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.7.已知球O的半径为3，球心为O，球O被某平面所截得的截面为圆M，则以圆M为底面，O为顶点的圆锥的体积的最大值为（）A. B. C. D.8.一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有0，1，2共3个数字，并且4个拨号盘上的数字之和小于或等于3，则满足条件的密码个数为（）A.28 B.30 C.31 D.32二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，且，则（）A.的最小值为1 B.的最小值为C.的最小值为0 D.的最小值为10.已知函数，下列结论正确的是（）A.存在，使得是的极大值点B.若恰有1个零点，则b的取值范围为C.若是增函数，则b的取值范围为D.若的极小值大于0，则b的取值范围为11.在一个不透明的盒子中装有2个白球、1个红球，小球除颜色外其他均相同．随机从盒子中取出一个球，若取出红球，红球不放回，换一个白球放回，若取出白球，白球不放回，换一个红球放回，重复取球n次，在第n次取球时，记盒子中有0，1，2，3个白球的概率分别为，，，，则（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.________．13.根据表中数据，得到y关于x的经验回归方程，则_______．x34567y101215161914.已知函数，若有四个不同的零点，则a的取值范围是________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.为进一步增强学生的消防安全、交通安全、饮食健康安全等安全意识，某校举办了一次安全教育知识竞赛．在参与竞赛的学生中随机抽取了100名学生统计成绩，其成绩近似服从正态分布，且．（1）估计这100名学生中成绩在95分以上的学生人数；（2）假设这100名学生中成绩在95分以上的学生人数为（1）中所求的估计值，若某学生本次竞赛的得分高于95分，则认为该学生安全意识极高，从这100名学生中随机选20名学生，记安全意识极高的学生人数为X，求X的期望．16.已知三对夫妻坐成一排照相．（1）求不同的排列数；（2）求每对夫妻两人均相邻的排列数；（3）求同性别的人均不相邻的排列数．17.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围.18.甲、乙、丙三人打羽毛球，约定：第一场甲、乙对打，丙轮空；每场对打的胜者与轮空者进行下一场对打，负者下一场轮空（在没有人连续打了3场的前提下）；若某人连续打了3场，则其下一场轮空，另外两人对打．设每场对打双方获胜的概率都为．（1）求第四场乙、丙对打的概率；（2）求第五场乙、丙对打的概率；（3）若甲、乙、丙三人共打了6场，其中甲参与了X场，求X的分布列及期望．19.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程．（2）证明：当时，．（3）求的最大值．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：考查集合的交集和并集运算，解题的关键是先求出与的交集，再将所得交集与求并集.解答过程：，.2.已知命题p：，，命题q：，，则（）A.p和q都是真命题 B.和q都是真命题C.p和都是真命题 D.和都是真命题答案：A解析：解答过程：先判断命题的真假：分式不等式等价于且，解得或，恰好对应命题给出的取值范围，∴，恒成立，故为真命题，为假命题.再判断命题的真假：不等式化简得，即，∵，∴不等式等价于，解得，即当时，成立，例如取，，满足条件，∴，成立，故为真命题，为假命题.综上，和都是真命题，A选项正确.3.展开式中第6项的系数为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：展开式中第6项的系数为.4.已知奇函数的图象关于直线对称，且，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由奇函数性质以及图象关于直线对称将转化为已知来求解.解答过程：因为是奇函数，所以.又因为的图象关于直线对称，所以.已知，故，所以.5.已知随机变量X服从二项分布，即，且，，则（）A.， B.，C.， D.，答案：A解析：解答过程：由随机变量，且，得，所以.6.已知函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为，则由可得，即，，所以，因为在上单调递增，所以.故不等式的解集为.7.已知球O的半径为3，球心为O，球O被某平面所截得的截面为圆M，则以圆M为底面，O为顶点的圆锥的体积的最大值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：设圆的半径为，圆锥的高为，则，圆锥的体积，利用导数求得圆锥的体积的最大值.解答过程：设圆的半径为，圆锥的高为，则.圆锥的体积，令函数，则.当时，单调递增；当时，单调递减.所以，故圆锥的体积的最大值为.8.一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有0，1，2共3个数字，并且4个拨号盘上的数字之和小于或等于3，则满足条件的密码个数为（）A.28 B.30 C.31 D.32答案：C解析：思路：因为4个拨号盘上的数字之和小于或等于3，所以以4个拨号盘中的个数来分类讨论即可得出答案.解答过程：因为4个拨号盘上的数字之和小于或等于3，所以4个拨号盘上的数字可分为以下情况：①4个有，有种，②个有，每种有种，共有：种，③个有则有种，有种，共有种.④个有，有种.所以一共有：种.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，且，则（）A.的最小值为1 B.的最小值为C.的最小值为0 D.的最小值为答案：AD解析：解答过程：对于AB，，当且仅当时取等号，A正确，B错误；对于CD，，当且仅当时取等号，D正确，C错误.10.已知函数，下列结论正确的是（）A.存在，使得是的极大值点B.若恰有1个零点，则b的取值范围为C.若是增函数，则b的取值范围为D.若的极小值大于0，则b的取值范围为答案：BCD解析：思路：求出函数的导数，利用极值点的意义判断A；由函数零点个数求出范围判断B；利用给定单调性列出不等式求解判断C；利用极小值大于0列出不等式组求解判断D.解答过程：函数的定义域为R，求导得，对于A，若是的极大值点，则，此方程无解，因此不存在实数，使得是的极值点，A错误；对于B，由，得或，由恰有1个零点，得方程无实根，，解得，因此b的取值范围为，B正确；对于C，由是增函数，得，恒成立，则，解得，因此b的取值范围为，C正确；对于D，由的极小值大于0，得恰有1个零点，且方程有两个不等的正实根，则，解得，因此b的取值范围为，D正确.11.在一个不透明的盒子中装有2个白球、1个红球，小球除颜色外其他均相同．随机从盒子中取出一个球，若取出红球，红球不放回，换一个白球放回，若取出白球，白球不放回，换一个红球放回，重复取球n次，在第n次取球时，记盒子中有0，1，2，3个白球的概率分别为，，，，则（）A. B.C. D.答案：BC解析：思路：对于A，根据第二次取球时，盒子里至少都有一个白球即可求解；对于B，根据题意可知任意时刻盒子里白球数量只能是0,1,2,3其中一种即可判断；对于C，D选项，由题可得，令，，利用构造法即可求解.解答过程：对于A，表示第二次取球时，盒子里没有白球，根据题意，第二次取球时，盒子里至少都有一个白球，则,故A错误；对于B，根据题意可知任意时刻盒子里白球数量只能是0,1,2,3其中一种，所以，故B正确；对于C，D选项，当时，，，，，若第次取球时盒子里没有白球，则第次取球时，盒子里只有1个白球，且第次取的是白球，则，若第次取球时盒子里只有1个白球，则第次取球时，若盒子里没有白球，且第次取的是红球，若盒子里只有2个白球，且第取的是白球，则，若第次取球时盒子里只有2个白球，则第次取球时，若盒子里有1个白球，且第次取的是红球，若盒子里只有3个白球，且第取的是白球，则，若第次取球时盒子里只有3个白球，则第次取球时，若盒子里有2个白球，且第次取的是红球，则，所以令，，则所以即，所以，所以是公比为的等比数列，由于，所以，所以，故C正确；所以，故D不正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.________．答案：解析：解答过程：由题意得.13.根据表中数据，得到y关于x的经验回归方程，则_______．x34567y1012151619答案：解析：解答过程：由题意得，，将代入回归方程，可得，解得.14.已知函数，若有四个不同的零点，则a的取值范围是________．答案：解析：思路：确定函数为偶函数，将问题转化为函数有两个不同零点，由零点的意义分离参数并构造函数，再利用导数求解.解答过程：依题意，函数是上的偶函数，由有四个不同的零点，得函数有两个不同零点，由，得，显然，则，令，依题意，直线与函数的图象有两个不同交点，，当时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，，又，当时，，当时，，因此当且仅当，即时，直线与函数的图象有两个不同交点，所以a的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.为进一步增强学生的消防安全、交通安全、饮食健康安全等安全意识，某校举办了一次安全教育知识竞赛．在参与竞赛的学生中随机抽取了100名学生统计成绩，其成绩近似服从正态分布，且．（1）估计这100名学生中成绩在95分以上的学生人数；（2）假设这100名学生中成绩在95分以上的学生人数为（1）中所求的估计值，若某学生本次竞赛的得分高于95分，则认为该学生安全意识极高，从这100名学生中随机选20名学生，记安全意识极高的学生人数为X，求X的期望．答案：（1）5人（2）1解析：思路：（1）根据给定条件，利用正态分布的对称性求出概率，进而估计人数.（2）由（1）的结论，利用超几何分布的期望公式求解.（1）由成绩近似服从正态分布，且，得，所以这100名学生中成绩在95分以上的学生人数约为.（2）由（1）得，100名学生中安全意识极高的学生共5人，从100人中抽取20人，安全意识极高的人数服从超几何分布，所以的期望.16.已知三对夫妻坐成一排照相．（1）求不同的排列数；（2）求每对夫妻两人均相邻的排列数；（3）求同性别的人均不相邻的排列数．答案：（1）（2）（3）解析：思路：根据题设要求，选择捆绑法，插空法，特殊位置优先法，以及分步乘法，分类加法计数原理求解即得.（1）6人坐成一排，不同的排列数为；（2）要求每对夫妻均相邻，使用捆绑法，将每对夫妻看作1个整体，共得到3个整体，则不同的排列数为；（3）要求同性别的人均不相邻，仅存在两种性别排列方式：男女男女男女；女男女男女男，则不同的排列数为.17.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围.答案：（1）答案见解析（2）.解析：思路：（1）先对函数求导，再对参数分情况讨论即可得到单调性.（2）将条件转化为不等式恒成立问题，再构造函数，判断单调性求出最值即可证明结论.（1）.当时，是减函数.当时，令，解得.当时，；当.所以在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，是减函数；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2），即.令，则，所以.因为在上单调递增，所以，即.令当时，；当.所以在上单调递增，在上单调递减.所以.故的取值范围为.18.甲、乙、丙三人打羽毛球，约定：第一场甲、乙对打，丙轮空；每场对打的胜者与轮空者进行下一场对打，负者下一场轮空（在没有人连续打了3场的前提下）；若某人连续打了3场，则其下一场轮空，另外两人对打．设每场对打双方获胜的概率都为．（1）求第四场乙、丙对打的概率；（2）求第五场乙、丙对打的概率；（3）若甲、乙、丙三人共打了6场，其中甲参与了X场，求X的分布列及期望．答案：（1）（2）（3）X的分布列为345期望为．解析：思路：（1）第四场乙、丙对打，即第四场甲轮空，有甲连胜三场，或第三场甲败两大类共3种情况分析，可得第四场乙、丙对打的概率；（2）第五场乙、丙对打，即第五场甲轮空，所以第四场甲一定参赛，且比赛失败，由此依次分析前三场的情况，即可求得第五场乙、丙对打的概率；（3）列出当第一场比赛甲胜出时，各场比赛的对战情况，结合比赛对甲乙的对称性，求得甲参赛的可能场数及其相应的概率，从而得到的分布列，并根据期望公式求得期望.（1）第四场乙、丙对打，即第四场甲轮空，共有3种情况：第1种情况，甲连胜三场，概率为；第2种情况，第一场甲胜，第二场甲胜，第三场甲败，概率为；第3种情况，第一场甲败，第二场甲轮空、丙胜，第三场甲败，概率为.所以第四场乙、丙对打的概率为.（2）第五场乙、丙对打，即第五场甲轮空，共有3种情况：第1种情况，第一场甲胜，第二场甲败丙胜，第三场甲轮空，乙丙对打，丙败，第四场甲败，概率为；第2种情况，第一场甲败，第二场甲轮空，丙胜，第三场甲胜，第四场甲败，概率为；第3种情况第一场甲败，第二场甲轮空，乙胜，第三场不论甲乙哪方胜出，乙已经连打三场，所以第四场甲丙比赛，甲败，概率为.综上所述，第五场乙、丙对打的概率为.（3）若甲、乙、丙三人共打了6场，当第一场比赛甲胜出时，各场对战情况如下：括号内的一方代表该场比赛的胜方丙参加场数乙参加场数甲参加场数123456345甲乙甲丙（甲）甲乙（甲）乙丙（乙）甲乙（甲）甲丙345甲乙甲丙（甲）甲乙（甲）乙丙（乙）甲乙（乙）甲丙345甲乙甲丙（甲）甲乙（甲）乙丙（丙）甲丙（甲）甲乙444甲乙甲丙（甲）甲乙（甲）乙丙（丙）甲丙（丙）乙丙345甲乙甲丙（甲）甲乙（乙）乙丙（乙）甲乙（甲）甲丙345甲乙甲丙（甲）甲乙（乙）乙丙（乙）甲乙（乙）甲丙345甲乙甲丙（甲）甲乙（乙）乙丙（丙）甲丙（甲）甲乙444甲乙甲丙（甲）甲乙（乙）乙丙（丙）甲丙（丙）丙乙345甲乙甲丙（丙）丙乙（乙）甲乙（甲）甲丙（甲）甲乙444甲乙甲丙（丙）丙乙（乙）甲乙（甲）甲丙（丙）乙丙444甲乙甲丙（丙）丙乙（乙)甲乙（乙）乙丙（乙）甲丙444甲乙甲丙（丙）丙乙（乙）甲乙（乙