河南省济源市2025~2026学年高一下册期末考试数学试卷【附解析】

数学一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.等于（）A. B.0 C. D.2.下列四个选项中正确的是（）A.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱B.棱长都相等的直四棱柱是正方体C.棱台的侧棱延长后交于同一点D.底面是正多边形的棱锥是正棱锥3.有以下说法：①对某小区全体住户燃气、水电设施安全检查适用全面调查.②调查一批待售袋装牛奶的细菌数适用抽样调查.③某班共45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动用的方法是简单随机抽样.④某人工智能公司为训练垃圾分类识别模型，需对采集的一批图片进行人工标注，图片分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾四类，已知四类图片的数量之比为，现按类别分层，采用分层抽样的方法抽取容量为n的样本对标注情况进行抽检，若抽到的厨余垃圾图片比有害垃圾图片多25张，则．这些说法，正确的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.44.已知是方程的一个根，则（）A. B. C. D.25.已知两条直线m，n及平面，下列条件中，一定能得到的是（）A. B.C. D.6.已知向量，，，若，，则（）A.2 B. C.18 D.7.某同学连续投掷一颗质地均匀的正方体骰子5次，记正面朝上的点数为，则的取值一定不会出现6的是下列哪种情况（）A.平均数为3，中位数为3 B.众数为2，中位数为3C.平均数为2，方差为3 D.中位数为3，方差为3.68.如图，是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形组成的大等边三角形，若，则下列结论错误的是（）A.B.C.与夹角的余弦值为D.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下一面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为奇数”；事件为“第一次记录的数字为奇数”；事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（）A.事件与事件是相互独立事件B.事件与事件是互斥事件C.D.10.若复数，则（）A. B.在复平面内对应的点位于第二象限C. D.是纯虚数11.在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，过点作与直线垂直的平面，则下列说法正确的是（）A.点到平面的距离为B.直线与所成的角为C.三棱锥的外接球的表面积为D.平面截正方体所得截面多边形的面积为三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，是的直观图(斜二测画法).其中在轴上，且轴..，则的周长为_____.13.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为____________.14.已知O是内的一点，，，，,则______；若，则______．四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，圆锥的底面半径，母线长为5.（1）求圆锥的表面积和体积;（2）过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个最大的圆柱.求剩下的几何体的体积和表面积.16.在不透明的甲盒子里装有标号为1，2的两个红球和标号为3，4，5的三个白球，在不透明的乙盒子里装有标号为6，7的两个红球和标号为8，9的两个白球.现从甲、乙两个盒子中各随机取出1个球.每个球被取出的可能性相等.（1）写出试验的样本空间；（2）求取出的2个球颜色相同的概率；（3）求取出的2个球中至少有1个红球的概率.17.用分层随机抽样从某地高一年级名学生的体育测试成绩(满分为分)中抽取一个样本量为的样本，其中男生成绩数据个，女生成绩数据个.再将个男生成绩样本数据分为组：，绘制得到如图所示的频率分布直方图.（1）求的值并估计男生成绩样本数据的上四分位数；（2）若成绩不低于分的为“优秀”成绩，用样本的频率分布估计总体，估计高一年级男生中成绩“优秀”人数；（3）已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为和，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为和.求总样本的平均数和方差.18.锐角的内角的对边分别为,已知，为边的中点.（1）求；（2）若；（i）求的周长的取值范围；（ii）设点在边上(含端点)，当的周长最大时，求的最小值.19.如图，在三棱锥中，为中点，平面平面，，，，，三棱锥的体积为．，分别是直线，上一点，且平面，记平面平面．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的平面角的正弦值；（3）若与所成角的余弦值为，求的值．

数学一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.等于（）A. B.0 C. D.答案：A解析：解答过程：.2.下列四个选项中正确的是（）A.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱B.棱长都相等的直四棱柱是正方体C.棱台的侧棱延长后交于同一点D.底面是正多边形的棱锥是正棱锥答案：C解析：思路：根据棱柱、正方体、棱台、正棱锥的定义对选项逐一分析即可.解答过程：对于A：有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体，不一定满足每相邻两个四边形的公共边都互相平行，所以不一定是棱柱，故A错误；对于B：直四棱柱是侧棱垂直于底面的四棱柱，棱长都相等的直四棱柱，其底面不一定是正方形，可能是其它四边形，所以不一定是正方体，故B错误；对于C：根据棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台，由于棱台是由棱锥截得的，所以棱台的侧棱延长后一定交于同一点，故C正确；对于D：底面是正多边形的棱锥，其顶点在底面的射影不一定是底面中心，所以不一定是正棱锥，故D错误.3.有以下说法：①对某小区全体住户燃气、水电设施安全检查适用全面调查.②调查一批待售袋装牛奶的细菌数适用抽样调查.③某班共45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动用的方法是简单随机抽样.④某人工智能公司为训练垃圾分类识别模型，需对采集的一批图片进行人工标注，图片分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾四类，已知四类图片的数量之比为，现按类别分层，采用分层抽样的方法抽取容量为n的样本对标注情况进行抽检，若抽到的厨余垃圾图片比有害垃圾图片多25张，则．这些说法，正确的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：C解析：思路：根据每种调查方式、抽样方法的适用条件及定义逐个判断.解答过程：对于①，小区全体住户燃气、水电设施安全检查的调查范围有限，且涉及住户安全，需覆盖所有住户，适用全面调查，故①正确；对于②，检测袋装牛奶的细菌数需要拆封包装，对产品进行损坏，对全部产品进行破坏性检测不现实，适用抽样调查，故②正确；对于③，简单随机抽样要求总体内每个个体被抽取的概率相等，本题指定个子最高的5名同学参与活动，其余个体无被抽取的可能，不符合简单随机抽样的定义，故③错误；对于④，根据分层抽样的计算方法，可得，解得，故④正确；综上，①②④这3个正确.4.已知是方程的一个根，则（）A. B. C. D.2答案：B解析：思路：由韦达定理得到两根之积，结合模长相关性质可得答案解答过程：，由题意得和是的两个根，由韦达定理得，故，因为，所以，5.已知两条直线m，n及平面，下列条件中，一定能得到的是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据空间中线面之间的位置关系，判断面面平行，逐个选项判断是否正确.解答过程：如图所示，此时符合，不能推出面面平行，所以A错误；如图所示，此时符合，不能推出面面平行，所以B错误；如图所示，此时符合，不能推出面面平行，所以B错误；根据线面垂直的性质定理可知，垂直于同一条直线的两个平面平行，所以D正确；故选：D.6.已知向量，，，若，，则（）A.2 B. C.18 D.答案：B解析：思路：根据题意，利用共线向量的坐标表示和向量垂直的坐标表示，列出方程，求得的值，即可求解.解答过程：由向量，，因为，可得，解得，又由向量，，因为，可得，解得所以7.某同学连续投掷一颗质地均匀的正方体骰子5次，记正面朝上的点数为，则的取值一定不会出现6的是下列哪种情况（）A.平均数为3，中位数为3 B.众数为2，中位数为3C.平均数为2，方差为3 D.中位数为3，方差为3.6答案：C解析：思路：通过先假设存在6，并满足选项的某个条件，若根据条件推出结果与选项的条件矛盾，即可反推出答案.解答过程：设5次投掷的点数按从小到大排列为，，A：中位数为3，故；平均数为3，故，取，满足条件，所以可能出现.B：众数为2，2出现次数最多；中位数为3，故；取，满足条件，所以可能出现.C：平均数为2，即；若存在，则其余4个数的和为，骰子点数最小为1，故其余4个数只能全为1，此时方差：，与方差为3矛盾，故C一定不会出现6.D：中位数为3，故，取，，，满足条件，所以可能出现.8.如图，是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形组成的大等边三角形，若，则下列结论错误的是（）A.B.C.与夹角的余弦值为D.答案：D解析：思路：对于A：根据正弦定理，即可判断A，对于B：根据向量的线性运算，判断B，对于C：利用基底表示和，再利用向量数量积的运算律和公式，判断C，对于D：根据C的结果，判断D.解答过程：对于A：由条件可知，，中，，所以，故A正确；对于B：，即，得，故B正确；对于C：，，且，所以，故C正确；对于D：因为，，且，所以，即，故D错误.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下一面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为奇数”；事件为“第一次记录的数字为奇数”；事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（）A.事件与事件是相互独立事件B.事件与事件是互斥事件C.D.答案：AC解析：思路：利用定义判断选项B的真假，利用公式计算判断选项ACD的真假，即得解.解答过程：对于A，对于事件A与事件B，，事件A与事件B是相互独立事件，故选项A正确；对于B，事件与事件不是互斥事件，因为它们有可能同时发生，如第一次记录的数字为1，第二次记录的数字为4，故选项B错误；对于C，因为，所以，故选项C正确；对于D，事件等价于事件，即第一次记录的数字为奇数且第二次记录的数字为偶数故，故D错误.故选：AC．10.若复数，则（）A. B.在复平面内对应的点位于第二象限C. D.是纯虚数答案：BCD解析：解答过程：虚数无法比大小，故A错误；，则，则在复平面内对应的点位于第二象限，故B正确；，，故C正确；，是纯虚数，故D正确.11.在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，过点作与直线垂直的平面，则下列说法正确的是（）A.点到平面的距离为B.直线与所成的角为C.三棱锥的外接球的表面积为D.平面截正方体所得截面多边形的面积为答案：ACD解析：思路：对于A，利用三棱锥体积的等积性即可判断；对于B，说明直线与所成的角为，结合余弦定理验算即可；对于C，只需求出三棱锥的外接球的半径，再结合球的表面积公式验算即可；对于D，说明截面为边长为的正六边形，然后根据面积公式验算即可.解答过程：对于A，设点到平面的距离为，因为是棱的中点，所以根据正方体的性质和勾股定理，得，因此，，因为，所以，故A正确；对于B，如图所示，因为，所以四边形是平行四边形，所以，所以直线与所成的角为，而，所以，所以，故B错误；对于C，如图所示，，所以三角形的外接圆半径为，显然平面，且，所以三棱锥的外接球的半径为，所以球的表面积为，故C正确；对于D，如图所示，取中点，顺次连接，因为平面，平面，所以，又因为，，平面，所以平面，又因为平面，所以，同理可证，，而，，平面，所以平面，根据前面的假设，得，所以四点共面，又因为，所以四边形是平行四边形，所以，所以六点共面，因为，平面，平面，所以平面，同理可证平面，又因为平面，，平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面，所以六边形即为过点且与直线垂直的平面截正方体所得截面多边形，显然这是一个边长为的正六边形，其面积为，故D正确.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，是的直观图(斜二测画法).其中在轴上，且轴..，则的周长为_____.答案：解析：思路：直接由斜二测画法特征计算可得.解答过程：由斜二测画法可知，因为轴，且，所以原图形中，且轴；因为在轴上，，所以原图形中在轴上，；所以原图形中为原点，坐标为，坐标为，坐标为，因此，所以的周长为：.13.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为____________.答案：3/5解析：解答过程：设该队员每次罚球的命中率为p(其中0＜p＜1)，则依题意有1－p2＝，p2＝.又0＜p＜1，因此有p＝.14.已知O是内的一点，，，，,则______；若，则______．答案：①.##0.5②.解析：思路：根据向量数量积的运算方法，直接求出结果即可，再根据向量数量积的运算律，列出方程组，求出参数值，求出结果即可.解答过程：由题意可知；

所以因为，所以，得，解得，则.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，圆锥的底面半径，母线长为5.（1）求圆锥的表面积和体积;（2）过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个最大的圆柱.求剩下的几何体的体积和表面积.答案：（1），（2），解析：思路：（1）设圆锥的高为h，分别应用表面积和体积公式，求出表面积和体积即可得到答案.（2）先求出圆锥的体积，为的中点，利用相似比求出圆柱的底面半径，即可求出圆柱的体积，剩下几何体的体积为圆锥体积减去圆柱体积，根据圆锥表面积和圆柱侧面积即可得到剩下几何体的表面积，即可得到答案.（1）设圆锥的高为h，由题意得：，故，所以．所以圆锥侧面积，圆锥的底面积，所以圆锥的表面积；圆锥的体积为．（2）圆柱的底面半径为，高（母线）为，所以圆柱的体积为又圆锥的体积为，所以剩下几何体的体积为；因为，圆锥的表面积；所以剩下几何体的表面积16.在不透明的甲盒子里装有标号为1，2的两个红球和标号为3，4，5的三个白球，在不透明的乙盒子里装有标号为6，7的两个红球和标号为8，9的两个白球.现从甲、乙两个盒子中各随机取出1个球.每个球被取出的可能性相等.（1）写出试验的样本空间；（2）求取出的2个球颜色相同的概率；（3）求取出的2个球中至少有1个红球的概率.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）用表示抽取小球，通过列举法即可求解；（2）由样本空间，结合古典概型概率公式即可求解；（3）由独立事件概率公式和对立事件概率公式即可求解.（1）用表示抽取小球的所有结果（其中x，y分别为从甲、乙盒子抽到的小球标号），则（2）由（1）．设事件“取出的2个球颜色相同”，则事件，，所以．（3）设“从甲袋中摸出一个红球”为事件，“从乙袋中摸出一个红球”为事件，则，，“2个球至少有一个红球”的概率为．17.用分层随机抽样从某地高一年级名学生的体育测试成绩(满分为分)中抽取一个样本量为的样本，其中男生成绩数据个，女生成绩数据个.再将个男生成绩样本数据分为组：，绘制得到如图所示的频率分布直方图.（1）求的值并估计男生成绩样本数据的上四分位数；（2）若成绩不低于分的为“优秀”成绩，用样本的频率分布估计总体，估计高一年级男生中成绩“优秀”人数；（3）已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为和，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为和.求总样本的平均数和方差.答案：（1），（2）人（3），解析：思路：（1）根据频率分布直方图的性质及上四分位数的定义计算可得；（2）先计算样本中成绩“优秀”的频率，再估计总体中成绩“优秀”的频率，进而可得成绩优秀的人数.（3）直接根据分层抽样中，由各层的平均数及方差计算总体的平均数及方差可得.（1）因为，所以.在内的成绩占比为，在内的成绩占比为，因此上四分位数一定在内．设为，则，解得，所以估计上四分位数约为.（2）样本中成绩不低于分的频率为，所以总体中成绩不低于分的频率为.高一年级男生总人数为，所以高一年级男生中成绩优秀人数估计为：，因此估计高一年级男生中成绩优秀人数为人.（3）因为男生成绩样本平均数为，方差为，女生成绩样本平均数，方差为，设总样本的平均数为，方差为，．．所以总样本的平均数和方差分别为和．18.锐角的内角的对边分别为,已知，为边的中点.