河南省南阳市2025~2026学年高二下册期终质量评估数学试卷【附解析】

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集，，，则（）A. B. C. D.2.已知条件：，：，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.设，是正数，且，，则（）A. B. C. D.4.已知关于的一元二次不等式的解集为，则（）A.13 B. C.11 D.5.等差数列的前项和为，若，则（）A.310 B.320 C.330 D.3406.函数，的值域为（）A. B. C. D.7.某工厂要建造一个长方体形无盖储水池，其容积为，深为，如果该池底的造价为元，池壁的造价为元，则该储水池的最低总造价为（）A.36.4万元 B.36.6万元 C.36.8万元 D.37万元8.过点与曲线相切的直线恰有3条，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题正确的有（）A.若，则 B.若，则C. D.10.如图，直线（）与函数的图象交于，（）两点，分别过，作轴的平行线与函数的图象交于，两点，则（）A.实数的取值范围为 B.，，三点必在同一条直线上C.若轴，则 D.若轴，则11.已知函数，其中，则下列说法正确的有（）A.若，则在上单调递减B.若，则在上单调递减C.若，则在上单调递增D.若，则在上单调递增三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.曲线在处的切线方程为____________．13.等比数列满足，，则____________．14.已知函数，若，，则整数的最大值为____________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）设，函数的两个不同零点都在区间内，求实数的取值范围；（2）正数，满足，求的最小值．16.已知函数在和处取得极值．（1）求实数，的值；（2）若，使不等式成立，求实数的取值范围．17.设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．（1）求数列，的通项公式；（2）当时，记，求数列的前项和．18.数列的前n项和为，且，．（1）求，；（2）证明：数列是等比数列，并求；（3）设，数列的前n项和为，求使成立的最大正整数n．19.已知函数，．（1）当时，试证明函数存在唯一零点，并求出该零点．（2）当时，设，且数列的前n项和为，求证：（i）；（ii）．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集，，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为全集，，，所以.2.已知条件：，：，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：解答过程：，解得或，所以条件：或，又条件：，因为条件的范围是条件的范围的一部分，所以是的充分不必要条件.3.设，是正数，且，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用指数幂的运算求解即可.解答过程：由，，可得，因为为正数，所以，则4.已知关于的一元二次不等式的解集为，则（）A.13 B. C.11 D.答案：B解析：思路：根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根中间的关系可知的两个根为或，再利用根与系数的关系可确定，的取值．解答过程：不等式的解集为，则，且的两个根为或，则有，，则，，．故选：B5.等差数列的前项和为，若，则（）A.310 B.320 C.330 D.340答案：D解析：思路：利用等差数列的前项和公式求解即可.解答过程：由题可得：.6.函数，的值域为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：应用导数研究函数的区间单调性，进而求各区间端点值并比较大小，即可得值域.解答过程：对，求导得，令且，解得，，当，，在上单调递增，当，，在上单调递减，当，，在上单调递增，，，，，综上，在上的值域为.7.某工厂要建造一个长方体形无盖储水池，其容积为，深为，如果该池底的造价为元，池壁的造价为元，则该储水池的最低总造价为（）A.36.4万元 B.36.6万元 C.36.8万元 D.37万元答案：C解析：解答过程：设池底的长为，宽为，则长方体的体积为，则，因为池底的造价为万元，池壁的造价为万元，则储水池的总造价为，因为，等号成立时，故该储水池的最低总造价为万元.8.过点与曲线相切的直线恰有3条，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据题设及导数的几何意义，将问题化为有3个不同实根，即与有3个交点求参数范围.解答过程：由，则，设切点为，切线斜率，切线过点，则，整理得，问题转化为有3个不同实根，令，求导得，令，得，当，，在上单调递增，，当，，在上单调递减，，当，，在上单调递增，，所以极大值，极小值，且时，所以与有3个交点，即恰有3条切线，此时.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题正确的有（）A.若，则 B.若，则C. D.答案：AD解析：思路：利用分数指数幂的运算即可判断A；利用完全平方公式计算即可判断B；利用换底公式计算即可判断C；根据对数的运算法则计算即可判断D．解答过程：对于A，由，则，即，所以，故A正确；对于B，由，则，所以，故B错误；对于C，由，故C错误；对于D，由，故D正确．10.如图，直线（）与函数的图象交于，（）两点，分别过，作轴的平行线与函数的图象交于，两点，则（）A.实数的取值范围为 B.，，三点必在同一条直线上C.若轴，则 D.若轴，则答案：ABCD解析：思路：利用对数换底公式转化两个对数函数关系，结合导数求直线斜率范围、斜率判定三点共线、平行坐标轴条件联立方程求解横坐标即可.解答过程：对于A：当与函数相切时，设切点为，因为，所以，解得，所以，所以要使直线与函数的图象交于两点，则，故A正确；对于B：由题意知，，所以，因为三点共线，所以，即，化简得，所以三点共线，故B正确；对于C、D：若轴，则，即，所以，所以①，代入得：，整理得②，由②得，因为，所以，又由①②得，故C、D正确.11.已知函数，其中，则下列说法正确的有（）A.若，则在上单调递减B.若，则在上单调递减C.若，则在上单调递增D.若，则在上单调递增答案：ACD解析：思路：通过对函数求导，分解因式后，根据选项中参数的范围，确定导函数的符号，判断函数的单调性即可.解答过程：由求导得.对于A，若，，当时，，函数在上单调递减；若，由，可得或，即函数在上单调递减，综上，当时，在上单调递减，即A正确；对于B，若，则，由可得，由可得或，即函数在上单调递增，故B错误；对于C，若，，故在上单调递增，即C正确；对于D，若，则，由可得或，故函数在上单调递增，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.曲线在处的切线方程为____________．答案：解析：解答过程：由题意知，当时，，所以切点为，又因为，所以，所以切线方程为，即.13.等比数列满足，，则____________．答案：32或162解析：解答过程：设等比数列公比为，则，由题设，，得，整理得，解得或，若，则，若，则.14.已知函数，若，，则整数的最大值为____________．答案：2解析：思路：根据条件，将题设不等式转化成，设，通过求导判断函数的单调性，借助于零点存在定理，确定函数的零点，由此求得的最小值所在范围，即可求得整数的最大值.解答过程：由求导得，则即，整理得，依题意可得，，恒有成立，设，求导得，设，求导得，则函数在上单调递增，又因，由零点存在定理，存在，使得，即，则当时，，则，函数在上单调递减；当时，，则，函数在上单调递增，故，因为，则的最大值为2.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）设，函数的两个不同零点都在区间内，求实数的取值范围；（2）正数，满足，求的最小值．答案：（1）；（2）9．解析：解答过程：（1）的对称轴为，因为函数的两个不同零点都在区间内，所以，得，故实数的取值范围为．（2），，且，，当且仅当，即时，取“”号．的最小值是9．16.已知函数在和处取得极值．（1）求实数，的值；（2）若，使不等式成立，求实数的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）对函数求导，根据极值点有列方程组求参数值；（2）问题化为上，利用导数求函数的最小值，即可得.（1）函数的定义域为，则，由在，处取得极值，即，解得；（2）若，使得不等式成立，则只需，，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，在处取得极小值，即，，实数的取值范围是.17.设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．（1）求数列，的通项公式；（2）当时，记，求数列的前项和．答案：(1)an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1；an（2n+79），bn＝9•；(2)解析：思路：（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（2）当d＞1时，由（1）知cn，写出Tn、Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．解答过程：解：（1）设a1＝a，由题意可得，解得，或，当时，an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1；当时，an（2n+79），bn＝9•；（2）当d＞1时，由（1）知an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1，∴cn，∴Tn＝1+3•5•7•9•（2n﹣1）•，∴Tn＝1•3•5•7•（2n﹣3）•（2n﹣1）•，∴Tn＝2（2n﹣1）•3，∴Tn＝6．方法提示：本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．18.数列的前n项和为，且，．（1）求，；（2）证明：数列是等比数列，并求；（3）设，数列的前n项和为，求使成立的最大正整数n．答案：（1）；（2）当时，由，则，所以两式相减得，整理得，又，则，所以，又，所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列．所以，即．（3）2015解析：思路：（1）分别将，代入计算即可求出，；（2）根据题意推出的递推公式，从而构造出目标等比数列，即得证，进而即可求出的通项公式；（3）结合（2）得到的通项公式，从而根据对数的运算法则求出，再结合的单调性即可求解．（1）当时，；当时，，又，所以，解得．（2）略（3）由（2）可知，，则，所以，显然数列为递增数列，且，，使成立的最大正整数．19.已知函数，．（1）当时，试证明函数存在唯一零点，并求出该零点．（2）当时，设，且数列的前n项和为，求证：（i）；（ii）．答案：（1）证明见解析，零点为1．（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析解析：思路：（1）求导，得到函数在上单调递增求