河南省南阳市2025~2026学年高一下册期终质量评估数学试卷【附解析】

数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若一个水平放置的等边三角形的边长为2，则其斜二测直观图的面积为（）A. B. C. D.4.在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知角，，，则（）A. B. C. D.5.已知，，为三条不同的直线，，为两个不同平面，则下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，且，，则D.若，，且，，则6.已知点同时是函数与的对称中心，则的最小正整数值为（）A.5 B.4 C.3 D.27.如图，在中，，F为线段上的一点，，若E为的中点，则（）A. B. C. D.8.已知，且，则的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，，则（）A. B.与夹角为C. D.在上的投影向量为10.如图所示的圆锥中，，的直径，点在上，且，点为中点，则（）A.平面B.圆锥的侧面积为C.异面直线与的夹角为D.与平面夹角的正弦值为11.在中，内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（）A.若是锐角三角形，则B.若是直角三角形，则C.若，则是钝角三角形D.当，，时，若为的内心，则的面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.一个物体在大小为的力的作用下产生大小为的位移，且力与的夹角为，则力所做的功______．13.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，，，则此球的体积为______________．14.在中，角为锐角，若，则的最大值为______________四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数，，.（1）若为纯虚数，求的值；（2）求．16.已知正三棱柱，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离．17.在中，内角、、的对边分别为、、，向量，，且．（1）求；（2）若，的面积为，求的周长．18.已知的部分图象如图所示．（1）求的解析式；（2）若，求在上的值域；（3）若把的图象向右平移个单位后得到函数的图象，设，求在上的零点之和．19.在四棱锥中，侧棱长均为，，，．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值；（3）若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成角最大？并求出最大角的正弦值．

数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：直接利用诱导公式化简即得解.解答过程：.故选：A方法提示：本题主要考查诱导公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：解答过程：由，对应复平面内的点坐标为，位于第二象限．3.若一个水平放置的等边三角形的边长为2，则其斜二测直观图的面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据直观图面积与原图面积关系计算即可．解答过程：等边三角形的边长为2，则面积为，根据直观图面积与原图面积公式关系为，故．4.在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知角，，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：已知两边及一边的对角，可利用余弦定理计算另一边长，注意验证锐角三角形．解答过程：由余弦定理可知，整理得，即，解得或；因为为锐角三角形，故角，，均为锐角，当时，，不满足题意，故舍去；当时，，满足题意；故．5.已知，，为三条不同的直线，，为两个不同平面，则下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，且，，则D.若，，且，，则答案：D解析：思路：A选项，根据线面平行的判定定理进行判断；B，C选项，根据面面垂直的判定定理进行判断；D选项，根据面面平行的判定定理进行判断．解答过程：A选项，平面外一条直线与平面内一条直线平行，则线面平行，选项中未强调平面外的直线，故A错误；B选项，若，则两平面可能相交，可能平行，故B错误；C选项，一条直线垂直于平面内两条相交直线可得线面垂直，选项中未强调相交，故不成立；D选项，根据，，且，，可得，，一条直线垂直于两个平面，则这两个平面平行，故D正确．6.已知点同时是函数与的对称中心，则的最小正整数值为（）A.5 B.4 C.3 D.2答案：A解析：思路：根据正切函数和余弦函数的对称中心列出等式．解答过程：由正切函数的对称中心为，则，即，故的对称中心为；由余弦函数的对称中心为，则，即，故的对称中心为；因为点同时是函数与的对称中心，故，解得；故，解得；故的最小正整数为5．7.如图，在中，，F为线段上的一点，，若E为的中点，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据向量的加减运算与平面向量基本定理，找定一组基底，通过向量的转化计算比值．解答过程：设，因为E为的中点，则，根据向量加法运算可知，所以；由B，D，E三点共线，则，因为，故；故，整理得，解得；故．8.已知，且，则的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：C解析：思路：利用凑角的思路，将所给的角转化为两角和差，利用两角和差公式进行计算．解答过程：由整理可得，，展开得，整理可得，由可得，代入上式可得：，因为，故；故，解得．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，，则（）A. B.与夹角为C. D.在上的投影向量为答案：BCD解析：解答过程：对于A选项，由题意可得，，则，故A错误；对于B选项，，又因为，故，即与夹角为，故B正确；对于C选项，，故，故C正确；对于D选项，在方向上的投影向量为，故D正确.10.如图所示的圆锥中，，的直径，点在上，且，点为中点，则（）A.平面B.圆锥的侧面积为C.异面直线与的夹角为D.与平面夹角的正弦值为答案：AD解析：思路：利用线面垂直的判定定理可判断A选项；利用圆锥的侧面积公式可判断B选项；利用异面直线所成角的定义可判断C选项；利用线面角的定义可判断D选项.解答过程：对于A选项，在底面圆中，为弦的中点，由垂径定理可得，因为平面，平面，所以，因为，、平面，所以平面，故A正确；对于B选项，因为的直径，则，因为平面，平面，所以，由勾股定理可得，故该圆锥的侧面积为，故B错误；对于C选项，因为、分别为、的中点，所以，所以异面直线与的夹角为或其补角，因为点在上，所以，因为，所以，在中，，，由余弦定理可得，故异面直线与的夹角不是，故C错误；对于D选项，连接，如下图所示：因为平面，所以与平面所成角为，且，，因为平面，平面，所以，由勾股定理可得，所以，即与平面夹角的正弦值为，故D正确.11.在中，内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（）A.若是锐角三角形，则B.若是直角三角形，则C.若，则是钝角三角形D.当，，时，若为的内心，则的面积为答案：ACD解析：思路：利用诱导公式结合正弦函数单调性可判断A选项；取可判断B选项；利用正弦定理、同角三角函数的基本关系以及两角和的余弦公式可判断C选项；利用正弦定理、余弦定理可求出的其它元素，可求出的面积，再利用面积公式计算出的值，结合的面积可求得的面积.解答过程：对于A选项，因为是锐角三角形，则，则，即，因为正弦函数在上为增函数，所以，同理可得，，由不等式的基本性质可得，故A正确；对于B选项，若是直角三角形，不妨设为直角，则，此时为锐角，且，显然，故B错误；对于C选项，由及正弦定理可得，所以，故、均为锐角，由可得，即，解得，，故，，所以，故角为钝角，即为钝角三角形，故C正确；对于D选项，因为，，，则，由，所以，可得，即，即，解得，则，此时，故，，因为，则，故，则，设内切圆圆的半径为，则，故，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.一个物体在大小为的力的作用下产生大小为的位移，且力与的夹角为，则力所做的功______．答案：解析：解答过程：由题意可知，，，由平面向量数量积的定义可得13.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，，，则此球的体积为______________．答案：解析：思路：根据长方体外接球的半径为体对角线的一半，代入体积公式即可．解答过程：长方体外接球的半径为，根据体积公式可得．14.在中，角为锐角，若，则的最大值为______________答案：解析：思路：由三角恒等变换结合化简得出，分、两种情况讨论，利用诱导公式、辅助角公式化简可得出的最大值.解答过程：在中，角为锐角，且，即，可得，即,所以，因为为锐角，则，故，若，由于，所以，则，故，为锐角，且，因为，所以，此时当时，即当时，取最大值；当时，由于，所以，则，故，为锐角，且，因为，所以，此时当时，即当时，取最大值.综上所述，的最大值为.四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数，，.（1）若为纯虚数，求的值；（2）求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用复数的加法化简复数，根据复数为纯虚数可得出关于的等式与不等式，结合可得出的值；（2）方法一：利用复数的乘法化简复数，利用复数的模长公式可得出的值；方法二：利用复数模的几何性质得出，结合复数的模长公式可求得结果；方法三：利用复数三角形式的乘法化简复数的表达式，利用复数的模长公式可求得的值.（1）由，，得．因为为纯虚数，所以，解得．（2）方法一：由，，得．所以．方法二：．方法三：．因为，所以，所以．16.已知正三棱柱，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离．答案：（1）证法一：连接交于，连接．因为三棱柱为正三棱柱，所以且，所以四边形为平行四边形，所以为的中点．因为点为的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．证法二：取的中点，连接、、，如下图所示：在正三棱柱中，且，所以四边形为平行四边形，所以且，因为、分别为、的中点，所以且，故四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，因为且，、分别为、的中点，所以且，所以四边形为平行四边形，所以且，又因为且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，因为，、平面，所以平面平面，因为平面，所以平面.（2）解析：思路：（1）证法一：连接交于，连接，利用中位线的性质可得出，再结合线面平行的判定定理即可证得结论成立；证法二：取的中点，连接、、，证明出平面平面，再利用面面平行的性质可证得结论成立；（2）解法一：连接，利用等体积法求解即可；解法二：由题意可知，点到平面距离等于点到平面距离，过点在平面内作，垂足为点，推导出平面，可知的长即为点到平面的距离，然后利用等面积法求解即可.（1）略（2）解法一：设点到平面距离为，连接．在正三棱柱中，为等边三角形，由，，点为的中点，可得，因为平面，所以，因为为等边三角形，为的中点，所以，因为平面，平面，所以，因为，、平面，所以平面，因为平面，所以，由勾股定理可得，，所以，所以，解得：，所以点到平面的距离为．解法二：因为点为的中点，所以点到平面距离等于点到平面距离．在正三棱柱中，为等边三角形，因为点为的中点，所以，因为平面，平面，所以，因为，、平面，所以平面，过点在平面内作，垂足为点，因为平面，所以，因为，，、平面，所以平面，所以即为到平面距离．在中，由，，则．又因为，所以，所以点到平面的距离为.17.在中，内角、、的对边分别为、、，向量，，且．（1）求；（2）若，的面积为，求的周长．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用向量平行的坐标表示以及正弦定理、三角恒等变换化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；（2）利用三角形的面积公式可得出的值，结合余弦定理可得出的值，进而可得出的周长.（1）由，，且得：，由正弦定理得．因为，所以，则，整理得．因为，所以，所以，所以．因为，所以．（2）因为的面积为，所以，所以．由余弦定理得：，所以，所以．所以的周长为．18.已知的部分图象如图所示．（1）求的解析式；（2）若，求在上的值域；（3）若把的图象向右平移个单位后得到函数的图象，设，求在上的零点之和．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据图象可求出函数的最小正周期，可得出的值，再由以及的取值范围可得出的值，即可得出函数的解析式；（2）解法一：利用诱导公式化简得出，由可求出的取值范围，再结合余弦函数的基本性质可求得在上的值域；解法二：利用三角恒等变换化简得出，由可求出的取值范围，再结合余弦函数的基本性质可求得在上的值域；（3）利用两角和与差的余弦公式化简得出，然后分别解出和在时的解，即可得出答案.（1）设函数的最小正周期为，由图可知，则，所以，即，又因为，所以，，因为，所以，，所以．（2）解法一：由（1）知，则．．因为，所以．因为，即，所以，即，所以在上的值域为；解法二：由（1）知，则，，则，因为，即，所以，即，所以在上的值域为．（3）由题知，则，所以，令即，则或．当时，，，即，．因为，所以，化简得：，，则，或，．当时，，，即，，因为，所以，化简得：，，此时不存在，即无解.故在上的零点之和为．19.在四棱锥中，侧棱长均为，，，．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值；（3）若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成角最大？并求出最大角的正弦值．答案：（1）在四棱锥中，侧棱长均为，，，．所以、、均为边长为的等边三角形．证法一：分别取、的中点、，连接、、，则，．因为、分别为、的中点，所以，，由已知，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以．因为，所以．又因为，平面，平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．证法二：取的中点，连接、、．因为、为边长为的等边三角形，所以，，且，所以为二面角的平面角．在等腰梯形中，过、分别作、，垂足分别为、，因为，，，所以四边形为矩形，则，因为，，且，所以，所以，则，由勾股定理可得，，在中，，，所以，所以，所以二面角为直二面角，所以平面平面．证法三：延长、交于点，连接，因为，，所以、分别为、的中点，所以，则，因为为等边三角形，所以，所以，则，所以，即，同理可证，因为，、平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）（3）当点在线段靠近点的四等分点处时，直线与平面所成角最大，其正弦值为解析：思路：（1）证法一：分别取、的中点、，连接、、，证明出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；证法二：取的中点，连接、、，分析可知为