河南省许昌市禹州市第三高级中学2025~2026学年高一下册第二次校内质量检测数学试卷【附解析】

数学一、选择题：1.已知为虚数单位，则（）A. B. C. D.2.已知数据的中位数为2，方差为3，那么数据的中位数和方差分别为（）A.2，3 B.7，6 C.7，12 D.4，123.某品牌家电公司从其全部200名销件员工中随机抽出50名调查销售情况，销售额都在区间（单位：百万元）内，将其分成5组：，并整理得到如下的频率分布直方图，下列说法正确的是（）A.频率分布直方图中a的值为0.06B.估计全部销售员工销售额的中位数为15C.估计全部销售员工中销售额在区间内有6人D.估计全部销售员工销售额的第76百分位数为174.甲乙两人进行三分远投比赛，甲、乙每次投篮命中的概率分别为0.5和0.4，且两人之间互不影响.若两人分别投篮一次，则两人中至少一人命中的概率为（）A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.95.已知，是两条不同的直线，平面，满足，则下列说法正确的是（）A.若，则，共面B.若，则与有公共点C.若与无公共点，且，则D.若存在平面，使得，，，则6.《九章算术》中将正四棱台称为方亭，如图，在方亭中，，其体积为，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.7.如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点，过点作与垂直的平面，且平面与该三棱柱的侧面的交线为线段，则（）A.3 B. C. D.28.已知，是两个暗礁群，将其视为质点，相距.为保障航行安全，欲在一条东西方向的航道（视为直线）上选取，点建两座灯塔，其中选取在距比距近的地方，且在灯塔处测得在它的南偏东方向，测得在它的南偏东方向.从灯塔沿航道向正东行驶可到灯塔，在灯塔处测得在它的南偏西方向，则在处测得在它的（）A.南偏西方向 B.南偏西方向C.南偏西方向 D.南偏西方向二、选择题：9.已知向量，，则（）A.若，则B.若，则C.若，则与同向的单位向量为D.若，则10.正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一.如图，一个正八面体八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记“得到的点数为奇数”为事件A，记“得到的点数不大于4”为事件B，记“得到的点数为质数”为事件C，则下列说法正确的是（）A.事件与互斥 B.C.事件与相互独立 D.11.如图,在棱长为2的正方体中，为的中点，则下列说法中正确的是（）A.若点为的中点，则平面B.连接，则直线与平面成角正弦值为C.若点为线段上的动点（包含端点），则的最小值为D.若点在侧面正方形内（包含边界），且，则点的轨迹长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为__________．13.现有甲，乙，丙，丁四支球队进行单循环比赛，即每两支球队在比赛中都要相遇且仅相遇一次．若每场比赛中每队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，甲队胜2场且乙队胜2场的概率为______．14.已知平面向量，满足，在上的投影向量为，当时，的最小值为，则_________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.2025年秋天将在天津举办上合组织峰会，为了加深师生对上合峰会的了解，天津某校举办了“上合组织峰会”知识竞赛，并将100名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）分成六段后得到如下频率分布直方图.观察图形信息，回答下列问题：（1）求a的值，并估计本次竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）估计这组数据的第75百分位数；（3）用分层抽样的方法在分数落在内的师生中随机抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人的分数在内的概率.16.甲、乙两人进行乒乓球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，且比赛结束，通过分析甲、乙过去比赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球.（1）求该局打4个球甲赢的概率；（2）求该局打5个球结束的概率.17.如图，在棱长为2的正方体中，为侧面的中心.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的大小；（3）求三棱锥的外接球的表面积.18.已知，，分别为三个内角，，的对边，且．（1）求；（2）若，且的面积为，求的值；（3）若为锐角三角形，为所在平面内一点，且满足，设，求的取值范围．19.如图，在梯形中，，，，为的中点，将沿翻折至的位置，使点落在点的位置，且，，分别为，的中点.（1）证明：平面平面.（2）若线段上存在点，使得平面平面，（i）猜想的值，并说明理由；（ii）求二面角的正弦值.

数学一、选择题：1.已知为虚数单位，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为，所以.2.已知数据的中位数为2，方差为3，那么数据的中位数和方差分别为（）A.2，3 B.7，6 C.7，12 D.4，12答案：C解析：思路：利用中位数和方差的求法分别列式，求出平均数和方差．解答过程：因为数据的中位数为2，方差为3，所以数据的中位数为，方差为.故选：C.3.某品牌家电公司从其全部200名销件员工中随机抽出50名调查销售情况，销售额都在区间（单位：百万元）内，将其分成5组：，并整理得到如下的频率分布直方图，下列说法正确的是（）A.频率分布直方图中a的值为0.06B.估计全部销售员工销售额的中位数为15C.估计全部销售员工中销售额在区间内有6人D.估计全部销售员工销售额的第76百分位数为17答案：D解析：思路：根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，即可求出，再一一计算可得；解答过程：对A，由频率分布直方图可得，解得，故A错误；对B，设中位数为，则，解得，故B错误；对C，估计其全部销售员工中销售额在区间内的人数为：（人），故C错误；对D，因为，故为第百分位数，故D正确；故选：D4.甲乙两人进行三分远投比赛，甲、乙每次投篮命中的概率分别为0.5和0.4，且两人之间互不影响.若两人分别投篮一次，则两人中至少一人命中的概率为（）A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.9答案：B解析：思路：根据独立事件的乘法公式可求得结果解答过程：由题意两人中至少一人命中的概率为.故选：B.5.已知，是两条不同的直线，平面，满足，则下列说法正确的是（）A.若，则，共面B.若，则与有公共点C.若与无公共点，且，则D.若存在平面，使得，，，则答案：D解析：思路：根据异面直线的定义、面面平行、垂直的性质逐一判断即可.解答过程：当与相交时，因为，，所以，异面，A错误；当，时，因为，所以，此时与没有公共点，B错误；若与无公共点，则，因为，如图，但与不垂直，C错误；因为存在平面，使得，，所以，因为，，所以，，所以，D正确.6.《九章算术》中将正四棱台称为方亭，如图，在方亭中，，其体积为，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据异面直线夹角的定义，在图中明确夹角，根据正四棱台的几何性质以及体积公式，求得夹角所在的直角三角形的边长，结合锐角三角函数的定义，可得答案.解答过程：连接，过作平面，其中垂足为，连接，如下图：

在正四棱台中，易知，，则，所以，因为平面，平面，所以，，易知，所以，因为，，所以，则，故，因为分别为的中点，所以，则异面直线与的夹角为，因为平面，平面，所以，在正方形中，，同理可得，在等腰梯形中，易知，在正四棱台中，上下底面面积分别为，，正四棱台的体积，则，解得在中，，.7.如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点，过点作与垂直的平面，且平面与该三棱柱的侧面的交线为线段，则（）A.3 B. C. D.2答案：B解析：思路：结合面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理和性质定理，作出为平面，再运用勾股定理计算平面与直三棱柱的侧面的交线的长度.解答过程：如图，作，为垂足，又，，平面，所以平面，连接，过作，交于点，因为平面，平面，所以，且，平面，所以平面，又平面，则，易知，，又，且，，所以，则，即，所以.连接，过作，交于，因为，所以，则平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，则，因为，，，平面，所以平面，连接，则平面就是平面.由，得，则，所以，所以.8.已知，是两个暗礁群，将其视为质点，相距.为保障航行安全，欲在一条东西方向的航道（视为直线）上选取，点建两座灯塔，其中选取在距比距近的地方，且在灯塔处测得在它的南偏东方向，测得在它的南偏东方向.从灯塔沿航道向正东行驶可到灯塔，在灯塔处测得在它的南偏西方向，则在处测得在它的（）A.南偏西方向 B.南偏西方向C.南偏西方向 D.南偏西方向答案：C解析：思路：先作出示意图，再利用正弦定理求出的长，在中，利用余弦定理求出的长，最后在中利用余弦定理求出即可.解答过程：根据题意作出如图所示的示意图，在中，，，，则，由正弦定理得，所以.在中，，由余弦定理得，即，整理得，解得或，因为，所以在中，，则，因为，所以，则，所以在处测得在它的南偏西方向上.二、选择题：9.已知向量，，则（）A.若，则B.若，则C.若，则与同向的单位向量为D.若，则答案：AC解析：思路：根据向量的线性运算即可判断A，利用共线向量的坐标运算即可判断B，计算即可判断C，根据向量的模即可判断D.解答过程：若，则，，所以，故A正确；若，则，解得，故B错误；若，则，所以与同向的单位向量为，故C正确；，，由，得，解得，故D错误.10.正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一.如图，一个正八面体八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记“得到的点数为奇数”为事件A，记“得到的点数不大于4”为事件B，记“得到的点数为质数”为事件C，则下列说法正确的是（）A.事件与互斥 B.C.事件与相互独立 D.答案：BD解析：思路：利用古典概型来计算各事件概率，利用独立事件的定义，利用对立事件概念即可判断各选项.解答过程：对于A，事件B为“得到的点数不大于4”，即得到的点数为，事件C为“得到的点数为质数”，即得到的点数为，显然得到点数为时，事件B与事件C同时发生，所以事件与不互斥，故A错误；对于B，事件A为“得到的点数为奇数”，事件B为“得到的点数不大于4”，故得到点数为，表示事件发生，即，故B正确；对于C，由事件A为“得到的点数为奇数”，则，事件C为“得到的点数为质数”，则，而得到点数为，表示事件发生，即，此时，所以事件与事件不相互独立，故C错误；对于D，而得到点数为，表示事件发生，即，所以，故D正确，故选：BD.11.如图,在棱长为2的正方体中，为的中点，则下列说法中正确的是（）A.若点为的中点，则平面B.连接，则直线与平面成角正弦值为C.若点为线段上的动点（包含端点），则的最小值为D.若点在侧面正方形内（包含边界），且，则点的轨迹长度为答案：ACD解析：思路：利用线面平行的判定推理判断A；求出线面角的正弦判断B；把正方形与正方形置于同一平面内，求出线段长判断C；求出点的轨迹判断D.解答过程：对于A，四边形是正方体的对角面，则四边形是矩形，，由点、分别为、的中点，得，平面，平面，因此平面，A正确；对于B，连接，则，由平面，平面，得，又平面，则平面，过作交于，连接，于是平面，是直线与平面所成的角，，，，B错误；对于C，把正方形与正方形置于同一平面内，且在直线两侧，连接，则的最小值为，C正确；对于D，延长与的延长线交于，由，得为平行四边形，，取中点，连接交于，连接，由，得四边形是平行四边形，，为的中点，由平面，平面，得，又，平面，则平面，而平面，则，同理，因此，而，平面，于是平面，又，则平面，又平面，因此点的轨迹是平面与正方形相交所得线段，而，所以点的轨迹长度为，D正确.故选：ACD方法提示：思路点睛：涉及立体图形中的轨迹问题，若动点在某个平面内，利用给定条件，借助线面、面面平行、垂直等性质，确定动点与所在平面内的定点或定直线关系，结合有关平面轨迹定义判断求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为__________．答案：解析：解答过程：试题分析：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为，则一次取出2只球，基本事件为、、、、、共6种，其中2只球的颜色不同的是、、、、共5种；所以所求的概率是．考点：古典概型概率13.现有甲，乙，丙，丁四支球队进行单循环比赛，即每两支球队在比赛中都要相遇且仅相遇一次．若每场比赛中每队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，甲队胜2场且乙队胜2场的概率为______．答案：解析：思路：根据甲队胜2场分3种情况，甲胜乙丙，甲胜乙丁，甲胜丙丁，结合互斥事件的加法公式和独立事件的乘法公式讨论求解.解答过程：每场比赛中每队胜、平、负的概率都为，甲队胜2场且乙队胜2场，分下面3种情况：若甲胜乙丙，乙胜丙丁，概率为，若甲胜乙丁，乙胜丙丁，概率为，若甲胜丙丁，乙胜丙丁，甲平乙或甲胜丙丁，乙胜甲丙或甲胜丙丁，乙胜甲丁，其概率为，所以甲队胜2场且乙队胜2场的概率为.故答案为：14.已知平面向量，满足，在上的投影向量为，当时，的最小值为，则_________.答案：解析：思路：由结合平面向量的数量积的运算律可得，结合在上的投影向量为可得，进而得到，再根据向量夹角余弦公式求解，设，，，转化问题为点与点重合时，取得最小值，进而可得，，进而求解即可.解答过程：由，得，则，即，因为在上的投影向量为，所以，则，即，因此，所以，又，则.设，，如图所示，其中，则，显然当且仅当，即点与点重合时，取得最小值，所以，则，，故.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.2025年秋天将在天津举办上合组织峰会，为了加深师生对上合峰会的了解，天津某校举办了“上合组织峰会”知识竞赛，并将100名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）分成六段后得到如下频率分布直方图.观察图形信息，回答下列问题：（1）求a的值，并估计本次竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）估计这组数据的第75百分位数；（3）用分层抽样的方法在分数落在内的师生中随机抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人的分数在内的概率.答案：（1），71（2）82分（3）解析：思路：（1）利用直方图面积之和为1可计算得出a的值；将每组矩形底边的中点横坐标值乘以对应矩形的面积，将所得结果全加可得出本次考试的平均分；（2）先判断第75百分位数的位置，再根据左边的矩形面积之和为0.75，可求得本次考试成绩的第75百分位数；（3）分析可知，分数在的人数为2，分别记为a、b，分数在的人数为4，分别记为A、B、C、D，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.（1）根据频率分布直方图可知：，即；估计本次竞赛成绩的平均分为.（2）由图中前四组面积之和为：，图中前五组面积之和为：，故这组数据的第75百分位数在第五组数据中，设这组数据的第75百分位数为m，则有，故，即估计这组数据的第75百分位数为82分；（3）用分层抽样的方法在分数在内的师生中抽取一个容量为6的样本，其中分数在的人数为2，分别记为a、b，分数在的人数为4，分别记为A，B，C，D从6人中任取2人，所有的基本事件有：ab、aA、aB、aC、aD、bA、bB、bC、bD、AB、AC、AD、BC、BD、CD，共15种，其中，事件“从6人中任取2人，至多有1人的分数在内”所包含的基本事件有：ab、aA、aB、aC、aD、bA、bB、bC、bD，共9种，故所求概率为.16.甲、乙两人进行乒乓球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，且比赛结束，通过分析甲、乙过去比赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球.（1）求该局打4个球甲赢的概率；（2）求该局打5个球结束的概率.答案：（1）（2）解析：思路：（1）先设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解；（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率.（1）设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，该局打4个球甲赢为事件C，由题知，，，则，所以，所以该局打4个球甲赢的概率为.（2）设该局打5个球结束时甲赢为事件D，乙赢为事件E，打5个球结束为事件F，易知D，E为互斥事件，，，，所以，，所以，所以该局打5个球结束的概率为.17.如图，在棱长为2的正方体中，为侧面的中心.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的大小；（3）求三棱锥的外接球的表面积.答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：（1）根据线面平行的判定证明；（2）由正方体性质易证平面，则为直线与平面所成的角,结合边长关系求解.（3）先证明三棱锥的外接球的球心在线段上，再结合勾股定理求解.（1）证明：连接，与交于点，连接，因为为侧面的中心，所以为的中点，连接，因为，，且，，所以，且，则四边形为平行四边形，因为为的中点，易知，又平面，平面，故平面.（2）连接，则，则，易知四边形为平行四边形，在正方体中，平面，又平面，所以，因为，故平面，即平面，所以为直线与平面所成的角，在中，易求，，所以，则.故直线与平面所成角的大小为.（3）设三棱锥的外接球的球心为，半径为，因为的外接圆的圆心为，所以平面，由（1）可知，，平面，所以平面，因此球心在线段上，易求，，由，解得，故三棱锥的外接球的表面积为.18.已知，，分别为三个内角，，的对边，且．（1）求；（2）若，且的面积为，求的值；（3）若为锐角三角形，为所在平面内一点，且满足，设，求的取值范围．答案：（1）（2）4（3）．解析：思路：（1）利用正弦定理将边化为角，因化简得的值，结合范围确定大小.（2）先根据范围确定范围，求出，再用公式求，，由面积公式得，进而求.（3）先根据向量垂直推出为外心，再利用向量数量积得到的关系，最后结合锐角三角形条件和不等式求出的最小值.（1）由，根据正弦定理得，在中，，则，即，又，故．（2）因为