河南省郑州市共同体2025~2026学年高二下册期末考试数学试卷【附解析】

数学考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知函数，则（）A. B. C. D.2.计算（）A. B. C. D.3.函数的图象如图所示，则的图象可能是（）A. B.C. D.4.连续抛掷一枚质地均匀的硬币12次，每次正面向上得2分，反面向上得分，记总得分为，则（）A. B. C. D.5.若函数在处有极小值，则实数的值为（）A. B. C.或 D.6.某高中举办校运动会，计划安排甲、乙、丙、丁、戊、己6名体育特长生，担任4个不同比赛项目的裁判工作，每个项目至少安排1名裁判，其中甲、乙必须安排在同一个项目的概率为（）A. B. C. D.7.某学习小组对一组数据（，2，…，5）进行回归分析，甲同学首先求出回归直线方程，样本点的中心为．乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据误输成，将这两个数据修正后得到回归直线方程，则实数（）A. B. C. D.8.设函数是定义在上的奇函数，为其导函数．当时，，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列求导正确的是（）A. B.C. D.10.下列说法正确的是（）A.三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．若由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有6种B.若随机变量，且，则C.除以的余数为D.已知，，，则11.对于函数，下列说法正确的是（）A.在上单调递减，在上单调递增B.C.设有个不同的零点，则D.对任意正实数，，且，若，则第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．12.在的展开式中，含的项的系数是___________．13.若曲线与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则__________．14.已知函数，，有恒成立，则的取值范围是__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知（），该二项展开式中第5项和第6项的二项式系数最大．（1）求正整数的值；（2）求；（3）问展开式各项系数的绝对值，，，…，中哪个最大，并说明理由．16.某现代农业产业园集中储存各类经济作物，仓储恒温保鲜设备每日出现故障的概率为0.2．若园区引入一套智能仓储检测系统：设备正常运转时，检测出正常的概率为0.9；设备发生故障时，系统检测出故障的概率为0.9，每日检测结果相互独立．（1）求某日检测结果与设备实际状态不符的概率；（2）连续4天检测，求恰有2天检测结果与实际不符的概率；（3）若使用该系统时，系统每日基础运维费100元；检测出故障需花费400元检修；检测正常但设备实际故障，会造成经济作物变质，单日损失2000元．已知不使用该系统时，每日故障损失期望为280元．判断是否引进该系统，并说明理由．17.某中学为了解高二年级学生对“数学社团”的参与意愿与性别是否有关，现从学校高二年级学生中随机抽取了100名学生进行调查，得到如下列联表：性别愿意参与不愿意参与合计男生

女生

合计

（1）补全列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为“愿意参与数学社团与性别有关联”？（2）从样本中“愿意参与”的学生中按性别采用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人作为社团骨干，记人中女生的人数为，求的分布列和数学期望．附：，18.台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：令，数据经过初步处理得：，，，，，，.现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数.（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好?（2）根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少?附：①相关系数，回归直线中公式分别为，；②参考数据：，，，19.已知函数（）．（1）当时，求的极值点；（2）若对，恒成立，求的取值范围；（3）证明：若在区间上存在唯一零点，则（其中）．

数学考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知函数，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为，所以，由导数的定义可知.2.计算（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：，，故分子为，又，因此原式.3.函数的图象如图所示，则的图象可能是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据导数于原函数单调性的关系进行判断.解答过程：当时，曲线的切线斜率大于0且越来越大，当时，曲线的切线斜率小于0且越来越大.故选：D4.连续抛掷一枚质地均匀的硬币12次，每次正面向上得2分，反面向上得分，记总得分为，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：设每次试验得分为，则取（正面，概率）和（反面，概率）.12次独立重复试验的总得分，利用期望和方差的性质，即可判断.解答过程：计算的期望：.计算的方差：，.于是，故A、B错误.，故C正确，D错误.故选：C.5.若函数在处有极小值，则实数的值为（）A. B. C.或 D.答案：A解析：思路：求导得，由题可知，解得或，再进行检验即可．解答过程：，，又在处有极小值，，解得或，当时，，，则或，，则，所以在和上单调递增，在上单调递减，函数在处取得极大值，不符合题意；当时，，，则或，，则，所以在和上单调递增，在上单调递减，函数在处取得极小值，符合题意；综上，．6.某高中举办校运动会，计划安排甲、乙、丙、丁、戊、己6名体育特长生，担任4个不同比赛项目的裁判工作，每个项目至少安排1名裁判，其中甲、乙必须安排在同一个项目的概率为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据题意分每组人数为或两种情况讨论，根据古典概型结合排列数、组合数运算求解.解答过程：将这6名体育特长生分成四组，再分配到不同比赛项目当裁判.若裁判人数为,则不同的安排方法种数为：；若裁判人数为,则不同的安排方法种数为：.故不同的安排方法共有种.将这6名体育特长生分成四组，再分配到不同比赛项目当裁判，甲、乙安排在同一个项目,若裁判人数为,则不同的安排方法种数为：种；若裁判人数为,则不同的安排方法种数为：种，故不同的安排方法共有种.所以所求事件的概率为7.某学习小组对一组数据（，2，…，5）进行回归分析，甲同学首先求出回归直线方程，样本点的中心为．乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据误输成，将这两个数据修正后得到回归直线方程，则实数（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据回归直线方程的性质求解即可.解答过程：由题意知，回归直线方程经过错误数据的样本中心点，，则.所以错误数据横坐标总和，纵坐标总和.修正后横坐标总和，纵坐标总和，所以修正后，，代入修正后回归直线方程得，解得.8.设函数是定义在上的奇函数，为其导函数．当时，，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：设，根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可.解答过程：设，.当时，，因为时，，所以当时，.所以在上单调递增，且，所以当时，；当时，.又为上的奇函数，所以为上的偶函数.所以当时，；当时，.综上，不等式的解集为.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列求导正确的是（）A. B.C. D.答案：BD解析：思路：根据基本初等函数的导数、函数积商的求导及复合函数的求导求解即可.解答过程：对于A，，A错误.对于B，，B正确.对于C，，C错误.对于D，，D正确.10.下列说法正确的是（）A.三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．若由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有6种B.若随机变量，且，则C.除以的余数为D.已知，，，则答案：ABD解析：思路：利用枚举法列出所有不同的传递方式，可判断A的真假；利用正态分布的对称性列式求值，可判断B的真假；利用二项式定理求除以的余数，可判断C的真假；利用条件概率和互斥事件概率计算公式求值，可判断D的真假.解答过程：对A，满足条件的传递方式有①甲乙甲乙甲，②甲乙甲丙甲，③甲乙丙乙甲，④甲丙甲乙甲，⑤甲丙甲丙甲，⑥甲丙乙丙甲，共有6种不同的传递方式，故A正确；对B，因为，由，又，所以，所以.所以.故B正确；对C，因为，设，，则，所以除以的余数为7.故C错误；对D，因为，所以.故D正确.11.对于函数，下列说法正确的是（）A.在上单调递减，在上单调递增B.C.设有个不同的零点，则D.对任意正实数，，且，若，则答案：BCD解析：思路：对于A，求出函数的定义域，利用导数确定函数的单调区间，即可判断；对于B，由题意可得，,再利用函数的单调性即可判断；对于C，将问题转化为的图象与直线有三个交点，利用导数确定函数的单调区间，再作出图象，结合图象求解即可；对于D，由已知可得，令，，利用导数可得，即可得，从而判断即可.解答过程：对于A，因为且，又因为，令，得，所以当时，，当时，，所以在和上单调递减，在上单调递增，故A错误；对于B，因为，,又因为函数在上单调递增，且,所以，故B正确；对于C，因为当时，；当时，；当时，，，作出函数的图象，如图所示：令，得，又因为的图象是将的图象位于轴下方的部分翻折到轴上方，且的图象与直线有三个交点，所以，解得，故C正确；对于D，设，，即，所以，令，则，又因为，即，所以，解得，所以，所以，要证明，即证明，即证明，，，令，则，令，则，所以，即在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，即恒成立，所以，故D正确.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．12.在的展开式中，含的项的系数是___________．答案：解析：思路：从的6个因式中，其中5个选x，余下的一个选常数相乘，即可得到项，由此可求得答案．解答过程：由题意可知从题中的6个因式中，其中5个选x，余下的一个选常数相乘，即可得到项，比如都选x，此时系数为，都选x，此时系数为，依此类推，直到都选x，此时系数为，共6种情况，将这6项合并，即可得，故含的项的系数是.故答案为：.13.若曲线与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则__________．答案：或##或解析：思路：设公共点的横坐标为，由导数的几何意义可得或，再分别代入，求解即可.解答过程：设公共点的横坐标为，对求导，得；对求导，得，由题意可得，即，解得或，又，当时，则有，解得；当时，则有，解得.14.已知函数，，有恒成立，则的取值范围是__________．答案：解析：思路：分，，和，讨论和正负，即可得出答案.解答过程：因为，所以，当时，那么函数恒成立，所以要使，有恒成立，则在恒成立，又函数在上单调递减，根据与一定存在交点可知存在零点，所以存在，使得时，，时，，不合题意，舍去.当时，设为切线，设切点为，则，所以，那么，，①当时，存在两个零点，令，那么，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，故，当时，，此时无法满足题意，舍去；②当时，由①可知，，所以；③当时，恒成立，要使得恒成立，则只需恒成立，由①得：，所以，即，综上：的取值范围是：.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知（），该二项展开式中第5项和第6项的二项式系数最大．（1）求正整数的值；（2）求；（3）问展开式各项系数的绝对值，，，…，中哪个最大，并说明理由．答案：（1）；（2）；（3），，，…，中和均为最大，理由如下：因为，展开式的通项，，1，2，…，9．所以，，，，…，，故判断，，，…，系数中谁最大，即判断展开式的系数谁最大．展开式的通项，，1，2，…，9，由，得，因为，所以或6．故，，，…，中和均为最大．解析：思路：（1）由条件得到，得到答案；（2）赋值法进行求解；（3）推出判断展开式的系数谁最大，列出不等式组，求出答案（1）因为的展开式中，第5项和第6项的二项式系数最大，所以为奇数，且，所以．（2）因为，所以，令，得，令，得，所以，（3）略16.某现代农业产业园集中储存各类经济作物，仓储恒温保鲜设备每日出现故障的概率为0.2．若园区引入一套智能仓储检测系统：设备正常运转时，检测出正常的概率为0.9；设备发生故障时，系统检测出故障的概率为0.9，每日检测结果相互独立．（1）求某日检测结果与设备实际状态不符的概率；（2）连续4天检测，求恰有2天检测结果与实际不符的概率；（3）若使用该系统时，系统每日基础运维费100元；检测出故障需花费400元检修；检测正常但设备实际故障，会造成经济作物变质，单日损失2000元．已知不使用该系统时，每日故障损失期望为280元．判断是否引进该系统，并说明理由．答案：（1）0.1（2）0.0486；（3）应该引进该系统，理由如下：设使用智能仓储检测系统时每日总支出（即总损失）为元．设备故障且被判为故障的概率为，设备正常却被判为故障的概率为，设备故障却被判为正常的概率为，则．因为，所以应该引进该系统．解析：（1）设某日检测结果与设备实际状态不符为事件，由全概率公式可得；（2）设恰有2天检测结果与实际不符为事件，则，故恰有2天检测结果与实际不符的概率为0.0486；（3）略17.某中学为了解高二年级学生对“数学社团”的参与意愿与性别是否有关，现从学校高二年级学生中随机抽取了100名学生进行调查，得到如下列联表：性别愿意参与不愿意参与合计男生

女生

合计

（1）补全列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为“愿意参与数学社团与性别有关联”？（2）从样本中“愿意参与”的学生中按性别采用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人作为社团骨干，记人中女生的人数为，求的分布列和数学期望．附：，答案：（1）性别愿意参与不愿意参与合计男生女生合计参与数学社团的意愿与性别无关（2）解析：思路：（1）先根据题意补全列联表，再根据零假设进行独立性检验得出结论即可；（2）先根据分层抽样分别得到抽取男生和女生的人数，进而根据随机变量服从超几何分布即可求出其分布列及其数学期望．（1）依题意得列联表性别愿意参与不愿意参与合计男生女生合计零假设：愿意参与数学社团与性别无关，则，根据小概率值的独立性检验，我们推断成立，即认为愿意参与数学社团的意愿与性别无关；（2）由题意可知，选出人中，男生人数为人，女生人数为人，则的所有可能取值为，，，，，，，，所以的分布列为：所以．18.台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：令，数据经过初步处理得：，，，，，，.现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数.（1）请从