河南省郑州市九校联考2025~2026学年高二下册期末考试数学试卷【附解析】

数学考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.2.随机变量，则（）A.16 B.8 C.4 D.23.已知二项式的展开式中仅有第3项的二项式系数最大，则的值为（）A.10 B.8 C.6 D.44.已知直线与曲线相切，则可能是（）A. B.C. D.5.某校高二年级研究“课后体育锻炼”与“数学成绩”是否有关联，随机抽取200名学生，得到如下列联表，经计算．分组数学成绩分数学成绩<120分合计每天锻炼小时6040100每天锻炼<1小时3070100合计901102000.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828附：，．下列关于独立性检验中卡方统计量的说法，正确的是（）A.在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“体育锻炼”与“数学成绩”无关B.在列联表中各单元格频数比例不变的前提下，样本容量越大，值越大C.若样本容量增大为原来的2倍，且列联表中各单元格频数比例保持不变，则值增大为原来的4倍D.值的大小与样本容量无关，只与各单元格频数的比例有关6.已知，，则被9除所得的余数为（）A.8 B.0 C.1 D.27.某社会实践小组有名成员，现要将这人分配到周边的个村庄（甲村、乙村、丙村）进行帮扶，要求：①每个村庄至少分配人；②甲村分配的人数不少于乙村，乙村分配的人数不少于丙村．则满足条件的分配方案共有（）A.种 B.种 C.种 D.种8.已知函数，，若有3个根，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.若一组样本数据所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数B.设、为两个随机事件，，若，则事件与事件相互独立C.若关于的线性回归方程为，则样本点的残差为D.线性回归分析可用决定系数判断模型拟合效果，越趋近于，则拟合效果越好10.下列等式中，，，，正确的是（）A. B.C. D.11.某工厂生产的12件产品中有可能混入了至多3个次品，且次品数量不确定．记事件共有件次品，．已知，，．现对12件产品进行逐一检测，事件前10件产品检测出都是正品，下列结论正确的是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.某手机维修店发现，顾客送修的手机中，有40%是电池问题，有60%是非电池问题．使用一款检测仪对手机进行检测：对于电池有问题的手机，检测仪显示“异常”的概率为0.95；对于电池无问题的手机，检测仪显示“异常”的概率为0.02．现从送修手机中随机抽取一部进行检测，则检测仪显示“异常”的概率为__________．13.展开式中项的系数为__________．14.若，，恒成立，则的取值范围是__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某学校高二年级举办“青春向党”演讲比赛，进入决赛的共有6名选手：A、B、C、D、E、F．现要安排他们在决赛中的出场顺序（即排成一排）．要求：（1）若A必须第一个出场，求不同的出场顺序总数；（2）若A不能第一个出场，且B不能最后一个出场，求不同的出场顺序总数；（3）若A必须在B和C之前出场，且E必须在D之前出场，求不同的出场顺序总数．16.（1）已知，证明：时，．（2）设，为两个不同的正数，我们称为，的对数平均值，不妨设，试证明：．17.牛顿创立了传热学的第一个定律，即牛顿冷却定律．该定律表明，物体的冷却速度（在一定范围内）与它和周围环境的温差成正比，温差越小，它的冷却速度就越慢．某物理兴趣小组研究一杯热水的冷却过程：初始水温为，环境温度恒定为．每隔2分钟记录一次水温，统计了时间（分钟）与水温及温差的数据如下：编号123456789101112131415024681012141618202224262810086.575.36658.251.64641.337.333.93128.526.424.723.38066.555.34638.231.62621.317.313.9118.56.44.73.3根据牛顿冷却定律，温差与时间满足关系式，．（1）根据给出的数据，求温差与时间的回归方程（系数精确到0.01）；（2）根据模型，预测水温降至所需的时间（精确到0.01分钟）．参考数据：，，，，；设，，，，，，，，，；参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．18.已知函数，，在处与轴相切．（1）求；（2）求在上的最大值和最小值；（3）设，若在上恒成立，求实数的取值范围．19.某款卡牌游戏共有8张限定卡牌，所有的卡牌背面图案均相同：其中有2张卡牌、4张卡牌、2张卡牌，所有卡牌背面向上，由玩家进行抽取．（1）若玩家一次性抽取3张卡牌，记随机变量为抽到的张数，为抽到的张数，为抽到的张数，此时，记，求；（2）若一轮只能抽取一张卡牌，且每轮抽取后将卡牌放回牌堆中继续进行下一轮抽取．玩家甲的游戏初始积分为0分，若玩家抽到卡牌游戏积分+1分，抽到不加分也不扣分，抽到卡牌游戏积分-1分．当玩家积分为2分时，玩家挑战胜利，游戏结束；若积分为-1分时，玩家挑战失败，游戏结束．（Ⅰ）求在玩家甲进行3轮抽卡之后游戏恰好结束的条件下，甲挑战成功的概率；（Ⅱ）记轮抽卡过后游戏结束且甲在轮抽卡中一共只抽到了2次卡牌的概率，求及取最大值时，的取值．

数学考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据导数的运算即可求解．解答过程：．2.随机变量，则（）A.16 B.8 C.4 D.2答案：A解析：解答过程：因为随机变量，所以，所以.3.已知二项式的展开式中仅有第3项的二项式系数最大，则的值为（）A.10 B.8 C.6 D.4答案：D解析：思路：根据二项式系数的对称性，仅第3项二项式系数最大说明为偶数，中间项为第3项，列方程即可求解.解答过程：已知二项式展开式中，仅有第项的二项式系数最大.第项对应的二项式系数为唯一最大值.由二项式系数性质可知二项式系数唯一最大值出现在为偶数时，位置为.所以有，解得，因此.4.已知直线与曲线相切，则可能是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：利用导数的几何意义及导数的运算法则一一判定选项即可.解答过程：对于A，易知，则上不存在某点处的切线斜率为，故A错误；对于B，易知，则上不存在某点处的切线斜率为，故B错误；对于C，易知，则上不存在某点处的切线斜率为，故C错误；对于D，易知，令，得，故D正确.5.某校高二年级研究“课后体育锻炼”与“数学成绩”是否有关联，随机抽取200名学生，得到如下列联表，经计算．分组数学成绩分数学成绩<120分合计每天锻炼小时6040100每天锻炼<1小时3070100合计901102000.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828附：，．下列关于独立性检验中卡方统计量的说法，正确的是（）A.在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“体育锻炼”与“数学成绩”无关B.在列联表中各单元格频数比例不变的前提下，样本容量越大，值越大C.若样本容量增大为原来的2倍，且列联表中各单元格频数比例保持不变，则值增大为原来的4倍D.值的大小与样本容量无关，只与各单元格频数的比例有关答案：B解析：解答过程：对于A，，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“体育锻炼”与“数学成绩”有关，A错误；设原列联表各单元格频数为，若各单元格频数比例不变，样本容量变为原来的倍，则新的各单元格频数为，总样本量，则，即各单元格频数比例不变时，与样本容量成正比，对于B，在列联表中各单元格频数比例不变的前提下，样本容量越大，值越大，B正确；对于C，若样本容量增大为原来的2倍，且列联表中各单元格频数比例保持不变，则值增大为原来的2倍，C错误；对于D，各单元格频数比例不变时，与样本容量成正比，D错误.6.已知，，则被9除所得的余数为（）A.8 B.0 C.1 D.2答案：A解析：解答过程：由二项式定理可知，所以，，所以，所以被9除所得的余数为8.7.某社会实践小组有名成员，现要将这人分配到周边的个村庄（甲村、乙村、丙村）进行帮扶，要求：①每个村庄至少分配人；②甲村分配的人数不少于乙村，乙村分配的人数不少于丙村．则满足条件的分配方案共有（）A.种 B.种 C.种 D.种答案：C解析：思路：按、两类情况分组讨论即可.解答过程：设甲、乙、丙三个村庄分配的人数分别为，根据题意可知且，因此可能的组合为、，①当甲村分配人，乙村分配人，丙村分配人时，有种分配方案；②当甲村分配人，乙村分配人，丙村分配人时，有种分配方案；因此，满足条件的分配方案共有种，故C正确.8.已知函数，，若有3个根，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：可以将问题分为和两部分来考虑，再将变量分离，对新得到的函数进行单调性分析，最后综合考虑求解.解答过程：当时，，令，得，设，对求导，可得，令，得，在上单调递增，在上单调递减，在处取到最大值，当，，则，当，增长速度远慢于的增长速度，则；当时，，令，得，设，对求导，可得，则在上单调递增，当，增长速度远快于的增长速度，则，当，增长速度远快于的增长速度，则；因此我们大致可以得到以下图像：因此我们把问题有3个根，转变成了与的图象共有三个交点，观察图象知，当时上述条件成立.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.若一组样本数据所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数B.设、为两个随机事件，，若，则事件与事件相互独立C.若关于的线性回归方程为，则样本点的残差为D.线性回归分析可用决定系数判断模型拟合效果，越趋近于，则拟合效果越好答案：BD解析：解答过程：对于A选项，若一组样本数据所有样本点都在直线上，且该直线的斜率为，故这组样本数据的线性相关系数，故A错误；对于B选项，设、为两个随机事件，，若，则，由独立事件的定义可知，事件、相互独立，故B正确；对于C选项，若关于的线性回归方程为，当时，，故样本点的残差为，故C错误；对于D选项，线性回归分析可用决定系数判断模型拟合效果，越趋近于，则拟合效果越好，故D正确.10.下列等式中，，，，正确的是（）A. B.C. D.答案：BCD解析：解答过程：对于A选项，由组合数的性质可得，故A错误；对于B选项，，故B正确；对于C选项，，故C正确；对于D选项，，故D正确.11.某工厂生产的12件产品中有可能混入了至多3个次品，且次品数量不确定．记事件共有件次品，．已知，，．现对12件产品进行逐一检测，事件前10件产品检测出都是正品，下列结论正确的是（）A. B. C. D.答案：ACD解析：解答过程：因为，，即，解得，A正确；事件共有件次品，即件正品，故，B错误；，，，，，C正确；，D正确.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.某手机维修店发现，顾客送修的手机中，有40%是电池问题，有60%是非电池问题．使用一款检测仪对手机进行检测：对于电池有问题的手机，检测仪显示“异常”的概率为0.95；对于电池无问题的手机，检测仪显示“异常”的概率为0.02．现从送修手机中随机抽取一部进行检测，则检测仪显示“异常”的概率为__________．答案：0.392解析：思路：利用全概率公式求解.解答过程：设事件“检测仪显示“异常”，“送修的手机是电池问题”则，所以.13.展开式中项的系数为__________．答案：解析：思路：通过分析多项式展开项的构成规律，分类讨论从5个因式中选取、、的个数，使得乘积的指数为1，分别计算各类情况的系数后求和。解答过程：为5个因式相乘，要得到项，设选取的因式个数为，选取的因式个数为，选取的因式个数为，其中均为非负整数，满足：

k+m+n=52k−m=1

由得，结合、，可得的取值为1、2.分两种情况计算：当时，，：对应系数为；当时，，：对应系数为.将两类系数求和得项的总系数为.14.若，，恒成立，则的取值范围是__________．答案：解析：思路：由题可知，两个因式和的符号相反（或至少有一个为零），由此分类讨论的范围得出，再根据导数求解范围即可．解答过程：因为，所以，令，则，原不等式可以改写为：对恒成立，意味着两个因式和的符号相反（或至少有一个为零），分别找出这两个因式为零的临界点：，，①当时：此时，为了使，必须有，即，对于所有的，都必须满足，所以，即；②当时：此时，为了使，必须有，即，对于所有的，都必须满足，所以，即，综合上述两个条件，唯一能使不等式对所有恒成立的情况是：，两边取自然对数，得到：，将代入，得到：，已知，所以问题转化为求函数在上的值域，则令，当时，，，在单调递减，当时，，，在单调递增，在处取得最小值：，当时，可知，当时，，可知，的值域为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某学校高二年级举办“青春向党”演讲比赛，进入决赛的共有6名选手：A、B、C、D、E、F．现要安排他们在决赛中的出场顺序（即排成一排）．要求：（1）若A必须第一个出场，求不同的出场顺序总数；（2）若A不能第一个出场，且B不能最后一个出场，求不同的出场顺序总数；（3）若A必须在B和C之前出场，且E必须在D之前出场，求不同的出场顺序总数．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用分步乘法计数原理求解即可；（2）利用间接法，先求出6人全排列数，再求出A第一个出场，B最后一个出场的方法，然后相减即可求解；（3）利用定序法即可求解.（1）先安排选手A只有1种安排法，再安排B、C、D、E、F在剩余的5个位置有种不同的方法，由分步乘法计数原理共有种不同的出场顺序总数；（2）6人的全排列有种不同的安排方法数；A第一个出场有种不同的安排方法数，B最后一个出场有种不同的安排方法数，A第一个出场且B最后一个出场有种不同的安排方法数，故A不能第一个出场，且B不能最后一个出场，不同的出场顺序有种不同的安排方法数；（3）6人的全排列有种不同的安排方法数；又A、B、C之间的安排方法数有种，又B、C之间的安排方法数有种，又D、E之间的安排方法数有种；所以A必须在B和C之前出场，且E必须在D之前出场，不同的出场顺序有种不同的安排方法数．16.（1）已知，证明：时，．（2）设，为两个不同的正数，我们称为，的对数平均值，不妨设，试证明：．答案：（1）由题意可得:，，,所以函数在上单调递增，故.即时，．（2）当时，且，由（1）知，，即，故.解析：思路：（1）利用导数分析函数的单调性，即可得证；（2）由（1）中的结论可知，再结合不等式的性质即可证出所证不等式成立.解答过程：（1）略；（2）略.17.牛顿创立了传热学的第一个定律，即牛顿冷却定律．该定律表明，物体的冷却速度（在一定范围内）与它和周围环境的温差成正比，温差越小，它的冷却速度就越慢．某物理兴趣小组研究一杯热水的冷却过程：初始水温为，环境温度恒定为．每隔2分钟记录一次水温，统计了时间（分钟）与水温及温差的数据如下：编号123456789101112131415024681012141618202224262810086.575.36658.251.64641.337.333.93128.526.424.723.38066.555.34638.231.62621.317.313.9118.56.44.73.3根据牛顿冷却定律，温差与时间满足关系式，．（1）根据给出的数据，求温差与时间的回归方程（系数精确到0.01）；（2）根据模型，预测水温降至所需的时间（精确到0.01分钟）．参考数据：，，，，；设，，，，，，，，，；参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．答案：（1）（2）26.36解析：思路：(1)设，将方程转化成线性回归方程，再代入公式求系数；(2)代入回归方程求解.（1）设，因为，所以，，，，，，则,故，，，故回归方程为.（2）因为，当水温时，代入回归方程得，即，因为，，所以.18.已知函数，，在处与轴相切．（1）求；（2）求在上的最大值和最小值；（3）设，若在上恒成立，求实数的取值范围．答案：（1）（2）最大值，最小值（3）解析：思路：（1）利用导数的几何意义即可求解；（2）通过导数得到函数的单调性，再利用函数的单调性即可求解；（3）将不等式转化为，令，利用导数求出的最小值即可求解.（1）已知函数，，则，由于在处与轴相切，所以且，即，解得.（2）由（1）可知，，则函数，，则，当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减；因此在处取得极大值，也是最大值，即在上的最大值为，由于，，因为，所以在上的最小值为.（3）设，则，，则在上恒成立，等价于在上恒成立，令，则，令，则，由于，，，所以在恒成立，所以在上单调递增，，