河南省驻马店市2025~2026学年高一下册期末测试数学试卷【附解析】

数学本试卷共19道题，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数为“等部复数”，则实数的值为（）A. B. C.2 D.2.已知角为第二象限角，，则的值为（）A. B.C. D.3.已知，是不同的直线，，，是不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，，则4.下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象如图所示，则该函数是（）A. B. C. D.5.已知A，B，P是直线l上不同的三点，点O在直线l外，若，则（）A.2 B. C.3 D.6.如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，则点A到平面PBC的距离为（）．A. B. C.3 D.7.将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.在平行四边形中，，，，是以为圆心，为半径的圆上一动点，且，则的最大值为（）A. B. C. D.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量.类似的，可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，，规定如下运算法则：①；②；③；④.则下列结论正确的是（）A.若，，则 B.若，则C. D.10.设平面向量，，在方向上的投影向量为，则下列结论不正确的是（）A. B. C. D.11.如图，在正三棱锥中，底面边长为，侧棱长为，点，分别为侧棱，上的异于端点的动点．则下列说法正确的是（）A.存在点，，使得平面B.若，，则C.若平面，则D.周长的最小值是第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知非零向量，的夹角为，，，则____________.13.在中，，，若存在且唯一确定，则的取值范围为__________．14.《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载称顶部只有一条棱的五面体称为“刍甍”．现有一个刍甍如图所示，底面为正方形，底面，四边形，为两个全等的等腰梯形，．已知该刍甍的体积为，且侧面与底面所成二面角的正切值为．若该刍甍的所有顶点均在同一球面上，则该球的表面积为__________．四、解答题，本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.设，是两个向量，（1）若，不共线，且，求实数的值；（2）已知向量，满足，，，求.16.已知为锐角，为钝角，且，.（1）求的值；（2）求的值.17.已知函数，是的两个零点，且的最小值是．（1）求的值；（2）求在上的值域；（3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．18.如图，在四棱锥中，，，，△MAD为等边三角形，平面平面ABCD，点N在棱MD上，直线平面ACN．（1）证明：．（2）设二面角的平面角为，直线CN与平面ABCD所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围．19.如图，点是边长为2的等边内部（不包括边）任意一点，绕点逆时针旋转得到．（1）若，求；（2）若，求的周长；（3）求面积最大值．

数学本试卷共19道题，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数为“等部复数”，则实数的值为（）A. B. C.2 D.答案：D解析：思路：化简复数，再由“等部复数”的定义即可求出答案.解答过程：化简复数，因为“等部复数”的实部和虚部相等，复数为“等部复数”，所以，所以.故选：D.2.已知角为第二象限角，，则的值为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：先由平方关系求得，再由余弦差角公式求解即可.解答过程：因为角为第二象限角，所以，则.故选：D.3.已知，是不同的直线，，，是不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，，则答案：D解析：思路：由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，逐一核对四个选项得答案．解答过程：对于A，若，，则可以平行、相交、异面,故A错误；对于B，若，，和可以相交，也可以平行，故B错误；对于C，若，，则或，故C错误；对D，若，设与的交线为m，与的交线为n，在平面内取，在平面内取，与l不重合，由面面垂直的性质可得，所以，又，所以，由线面平行的性质定理得，所以有，故D正确.

故选：D.4.下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象如图所示，则该函数是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用题给函数在上先正值后负值的变化情况排除选项A；利用题给图象可知函数是奇函数排除选项C；利用当时题给函数值为负值排除D；而选项B均符合以上要求.解答过程：当时，，.排除A；由偶函数定义可得为偶函数，由题给图象可知函数是奇函数，排除C；当时，.排除D；为奇函数，且当时，，当时，.B均符合题给特征.故选：B.5.已知A，B，P是直线l上不同的三点，点O在直线l外，若，则（）A.2 B. C.3 D.答案：A解析：思路：根据已知等式，结合向量减法法则化简，而三点共线，可得，解得的值，设，可得，所以，从而求出的值．解答过程：，，整理得，，当时，显然不成立，故，所以，，，是直线上不同的三点，，解得，，设，，，，解得，即．故选：A．6.如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，则点A到平面PBC的距离为（）．A. B. C.3 D.答案：A解析：思路：根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理可得平面PAB，则有，再利用等体积法即可得出答案.解答过程：解：因为平面ABC，平面ABC，所以，又因为，即，因为，所以平面PAB，又平面PAB，所以，因为，，所以，的面积，设点A到平面PBC的距离为h，则三棱锥的体积，即，解得，即点A到平面PBC的距离为.故选：A.7.将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据三角函数的图象变换可得，由在上没有零点，可得，根据周期公式解得，假设函数在上有零点，求出零点，由求得的取值范围，继而可得函数在上没有零点时的取值范围.解答过程：将函数的图象向右平移个单位长度，得的图象，由题得，周期，因为在上没有零点，所以，得，即，得，假设函数在上有零点，令，得，解得,则，得，又，当时，得，当时，得，所以函数在上没有零点时，的取值范围是.故选：A.8.在平行四边形中，，，，是以为圆心，为半径的圆上一动点，且，则的最大值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先利用余弦定理求出，易得，以C为坐标原点建立平面直角坐标系，设，根据平面向量线性运算的坐标表示结合三角函数即可得解.解答过程：由题意，在中，由余弦定理得，所以，则，故，如图，以C为坐标原点建立平面直角坐标系，则，，，设，故，，，又，即，所以，所以，所以，其中，当且仅当时，取最大值，且它的最大值为.故选：C.方法提示：关键点点睛：建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式是解题的关键.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量.类似的，可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，，规定如下运算法则：①；②；③；④.则下列结论正确的是（）A.若，，则 B.若，则C. D.答案：ABD解析：思路：对于A，用定义求解即可；对于B，用，结合求解即可；对于C，用定义求出左右两边是否相等即可；对于D，左边用和定义求出，右边也求出，看是否相等即可；解答过程：对于A，；故A正确；对于B，若，则，，.故B正确：对于C，，而，不等．故C错误；对于D，设，则将，代入可得：故D正确.故选：ABD.10.设平面向量，，在方向上的投影向量为，则下列结论不正确的是（）A. B. C. D.答案：ABD解析：思路：设夹角为，先写出投影向量，分别计算各点积：A中、，仅特殊角度相等，不恒成立；B中与恒相等，故不等式不成立；C利用得恒成立；D右侧为非负数，左侧在时为负，二者不等．解答过程：设的夹角为，，，由在方向上的投影向量为，得，对于A，，，当且时，，A不正确；对于B，，由选项A的解析知，因此，B不正确；对于C，由选项A的解析知，所以（因为），C正确；对于D，由选项A的解析知，，当时，，D不正确．11.如图，在正三棱锥中，底面边长为，侧棱长为，点，分别为侧棱，上的异于端点的动点．则下列说法正确的是（）A.存在点，，使得平面B.若，，则C.若平面，则D.周长的最小值是答案：BCD解析：思路：利用反证法即可判断A项；利用已知得与的关系，再用等体积法得与的关系，即可判断B项；利用直线与平面平行的性质定理即可判断C项；作正三棱锥的侧面展开图，连接，周长的最小值即为的长度，求长度，即可判断D项.解答过程：A项，假设存在点，使得平面，则，，在正三棱锥中，有，又因为，所以≌，所以，即点与点重合，这与已知相矛盾，故假设不成立，即不存在点，使得平面，故A错误；B项，设点到平面的距离为，则，，已知，，则，，则，，即，于是，故B正确；C项，已知平面，平面平面，若平面，则，故C正确；D项，作正三棱锥的侧面展开图如图所示，连接，分别交于点，则周长的最小值即为的长度，因为，所以，又因为，所以≌，所以，，所以，所以，所以，，所以，解得，则，又，所以，解得，则，即周长的最小值为，故D正确.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知非零向量，的夹角为，，，则____________.答案：6解析：思路：根据垂直的向量表示结合数量积的定义，即可求得答案.解答过程：因为，故，即，故答案为：613.在中，，，若存在且唯一确定，则的取值范围为__________．答案：或解析：思路：由正弦定理将角化边，再由余弦定理求出，再利用正弦定理得到关于的式子，最后由限制条件“存在且唯一确定”求解的取值范围.解答过程：已知，由正弦定理有，由余弦定理有，因为，所以，则.由正弦定理可得，因为存在且唯一确定，则的值应唯一确定，则或，当时，，有，当时，有，综上，的取值范围为或.14.《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载称顶部只有一条棱的五面体称为“刍甍”．现有一个刍甍如图所示，底面为正方形，底面，四边形，为两个全等的等腰梯形，．已知该刍甍的体积为，且侧面与底面所成二面角的正切值为．若该刍甍的所有顶点均在同一球面上，则该球的表面积为__________．答案：解析：思路：取的中点，证得平面，得到平面平面，过点作，证得平面，且为二面角的平面角，设，求得的长，再由刍甍的体积为求得，设该刍甍的外接球的球心为，得到球心在直线上，设，结合球的性质，求得，进而得到球的表面积.解答过程：取的中点，连接，因为四边形为正方形，所以又因为四边形和为两个全等的等腰梯形，可得，所以，又因为，且平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，过点作，垂足为，因为平面平面，且平面，所以平面，所以为平面与所成二面角的平面角，因为侧面与底面所成二面角的正切值为，可得，所以过点作，设，则，可得，在直角中，可得，可得，则的面积为，所以几何体的体积为，因为该刍甍的体积为，可得，解得，取的中点，连接，设该刍甍的外接球的球心为，根据几何体的对称性，可得球心在直线上，设，且外接球的半径为，在直角中，可得，即，在直角中，可得，即，联立方程组，解得，所以该刍甍的外接球的表面积为.四、解答题，本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.设，是两个向量，（1）若，不共线，且，求实数的值；（2）已知向量，满足，，，求.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据共线向量定理列出等式求解即可;（2）由数量积为0可得，再由向量的模的计算公式求解即可.（1）是两个不共线的向量，，，，，解得.（2），，.16.已知为锐角，为钝角，且，.（1）求的值；（2）求的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用二倍角公式，齐次式的方法即可求值；（2）分别求出，的值即可．（1）；（2）因为为锐角，，可得，，由，可得，所以，则，又因为，所以，而，可得，所以．17.已知函数，是的两个零点，且的最小值是．（1）求的值；（2）求在上的值域；（3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）化简函数为，结合题意，得到的最小正周期为，结合最小正周期的公式，即可求解；（2）由，得到，结合正弦函数的性质，即可求解；（3）设，得到，根据题意，转化为不等式在上恒成立，结合基本不等式，即可求解.（1）由，因为是的两个零点，且的最小值是，即是的两个根，即的两个根，可得函数的最小正周期为，又因为，可得最小正周期，解得．（2）由（1）知，因为，可得，当，即时，取得最小值，；当，即时，取得最大值，，所以在上的值域为．（3）因为，设，，由（2）可知，不等式在上恒成立，即不等式在上恒成立，即不等式在上恒成立，即，因为，当且仅当时，等号成立．所以的取值范围是．18.如图，在四棱锥中，，，，△MAD为等边三角形，平面平面ABCD，点N在棱MD上，直线平面ACN．（1）证明：．（2）设二面角的平面角为，直线CN与平面ABCD所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围．答案：（1）证明见解析（2）．解析：思路：（1）根据相似以及线面平行的性质即可求解，（2）由面面垂直可得线面垂直，进而根据二面角以及线面角的定义，即可找到其平面角，利用三角形的边角关系，即可求解.（1）证明：连接BD交AC于O，连接ON．因为，，所以根据相似的性质可得．因为直线平面ACN，平面MBD，平面平面，所以，则，所以．（2）取AD的中点E，AC的中点F，连接ME，EF，MF．因为△MAD为等边三角形，所以不妨设，则，．因为平面平面ABCD，平面平面，平面,所以平面ABCD，平面ABCD,所以，．又因为E，F分别为AD，AC的中点，所以，而，所以，又，平面MEF,则平面MEF，平面MEF得，所以∠MFE是二面角