黑龙江省哈尔滨市第九中学校2025~2026学年高二下册期末考试数学试卷【附解析】

数学（考试时间：120分钟，满分：150分）一、单选题（本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.函数的值域为（）A. B.C. D.3.已知函数，则的解析式为（）A. B.C. D.4.已知，，，则，，的大小关系为（

）A. B.C. D.5.设，，则使得成立的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.6.若且，函数满足对任意的实数都有成立，则a的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知幂函数在上单调递减，若正数a，b满足，则的最小值为（）A.16 B.12 C.8 D.48.已知是定义在上的偶函数，且，当时，，若，则实数（）A. B.1 C.2 D.3二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分）9.下列各式运算正确的有（）A. B. C. D.10.下列说法正确的是（）A.若函数的定义域为，则函数的定义域为B.若关于的不等式恒成立，则的取值范围为C.关于的不等式的解集为，，若，则D.若函数的值域为，则实数的取值范围是11.已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.则（）A.的解析式为B.若（且），则实数的取值范围为C.函数的零点为1，D.方程有四个不同的实数根，求的取值范围为三、填空题（本题共有3个小题，每小题5分，共15分）12.已知，则f（f（﹣1））的值为_____．13.若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．14.已知函数，若不等式恒成立，则的取值范围是_______．四、解答题（本题共有5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知，函数．（1）当时，解不等式；（2）当时，求函数的值域．16.如图1，在平面四边形中，是以为斜边的等腰直角三角形，，是边长为2的等边三角形．现将沿翻折至的位置，使得，如图2．（1）设为的中点，证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．17.已知函数是定义在上的奇函数.（1）求a，b的值；（2）判断在上的单调性并证明；（3）解关于x的不等式.18.已知函数．（1）求的单调区间；（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；（3）若是函数的极值点，求证：．19.有一位老师叫他的学生到麦田里，摘一颗全麦田里最大的麦穗，期间只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头．结果他的学生两手空空走出麦田，因为他不知道前面是否有更好的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到．假设该学生在麦田中一共会遇到颗麦穗（假设颗麦穗的大小均不相同），最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，为了使他能在这些麦穗中摘到那颗最大的麦穗，现有如下策略：不摘前颗麦穗，自第颗开始，只要发现比他前面见过的麦穗都大的，就摘这颗麦穗，否则就摘最后一颗．设，该学生摘到那颗最大的麦穗的概率为．（取）（1）若，，求；（2）若，，则在摘到最大麦穗的条件下，最大麦穗出现在第颗的概率；（3）若取无穷大，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值．

数学（考试时间：120分钟，满分：150分）一、单选题（本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先通过解不等式求出集合，再利用交集的定义求得解答过程：由得，解得.∴，所以.2.函数的值域为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：求二次函数的对称轴，根据单调性确定闭区间上的最值.解答过程：函数的对称轴为，在单调递减，在单调递增，所以，，当，，故原函数的值域为.3.已知函数，则的解析式为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：利用换元法求解函数的解析式逐一判断即可.解答过程：令，则，由，得.所以.4.已知，，，则，，的大小关系为（

）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：因为，因为函数在上单调递增，所以，即.又，所以.5.设，，则使得成立的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：构造，利用单调性分析得，再结合各项的描述，根据对应函数的单调性、对数及不等式性质判断各项是否为充分不必要条件即可.解答过程：由，则，令，而和在R上都是单调递增，所以在

R上也是单调递增，因此等价于，即原不等式成立的充要条件是，A：因为在R

上单调递增，所以，即是充要条件，不符合，B：显然为充要条件，不符合，C：由对数的性质，且，因此是的充分条件，若，例如，则无意义，不能推出，因此它是充分不必要条件，符合，D：由，若，则，若，则，所以它不能推出，不符合.6.若且，函数满足对任意的实数都有成立，则a的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据题意得到函数在上单调递增，然后根据分段函数单调性的判断方法求实数的取值范围即可.解答过程：因为对任意的实数都有，所以函数在上是单调递增函数.则根据分段函数单调性的判断方法，得，解得.实数a的取值范围.故选：D7.已知幂函数在上单调递减，若正数a，b满足，则的最小值为（）A.16 B.12 C.8 D.4答案：D解析：思路：先根据幂函数的定义与单调性求出参数的值，再利用“乘1法”结合基本不等式求的最小值.解答过程：因为为幂函数，所以，解得或．因为在上单调递减，所以，则，所以，则，且，，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为4．8.已知是定义在上的偶函数，且，当时，，若，则实数（）A. B.1 C.2 D.3答案：D解析：思路：利用已知函数的奇偶性、周期性求出对应函数值，再结合已知关系式列方程求参数值.解答过程：由题设，又，且，，所以，即，所以，可得（负值舍去）.二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分）9.下列各式运算正确的有（）A. B. C. D.答案：BCD解析：思路：根据对数、指数运算法则以及分数指数幂的概念逐个选项验证即可.解答过程：对于选项A，，故A错误；对于选项B，，故B正确；对于选项C，将所有根式化为分数指数幂，，故C正确；对于选项D，用换底公式计算：，D正确.10.下列说法正确的是（）A.若函数的定义域为，则函数的定义域为B.若关于的不等式恒成立，则的取值范围为C.关于的不等式的解集为，，若，则D.若函数的值域为，则实数的取值范围是答案：BCD解析：思路：利用抽象函数的定义域求法判断A，应用分类讨论研究一元二次不等式恒成立求参数范围判断B，应用分类讨论求解含参一元二次不等式的解集，根据包含关系求参数值判断C，由对数复合函数的值域，结合二次函数的性质分析参数范围判断D.解答过程：A：函数的定义域为，即，根据复合函数定义域的求法，因此函数的定义域应为，故A错误，B：对于关于的不等式恒成立，当时，不等式恒成立，当时，需满足，解得，综上所述，的取值范围为，故B正确，C：不等式可化为，当时，易知，则成立，当时，解集为或，不满足，当时，解集为，也不满足，综上可知，要使成立，必有，故C正确，D：若函数的值域为，则必须能够取遍所有正数，当时，的值域为，能够取遍所有正数，满足题意，当时，开口向下，有最大值，不能取到所有正数，不满足题意，当时，开口向上，要使函数值能取遍所有正数，需满足判别式，解得，综上所述，实数的取值范围是，故D正确.11.已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.则（）A.的解析式为B.若（且），则实数的取值范围为C.函数的零点为1，D.方程有四个不同的实数根，求的取值范围为答案：BCD解析：思路：根据题意可得即可求解A，根据函数的单调性以及奇偶性即可根据求解B，求方程的根即可求解C，将问题转化为在上有两个不相等的实数根，即可利用一元二次方程根的分布求解D.解答过程：根据题意可得，根据的图象与无限接近，所以，故，因此，故A错误，由于函数，故为偶函数，当时，为单调递增函数，由得，解得或，故B正确，对于C，令，则，故，故，解得，C正确，对于D，要使有四个不同的实数根，令，则在上有两个不相等的实数根，故，解得，故D正确，故选：BCD三、填空题（本题共有3个小题，每小题5分，共15分）12.已知，则f（f（﹣1））的值为_____．答案：5解析：思路：先求的值，再求f（f（﹣1））的值.解答过程：根据题意，，则f（﹣1）＝3×（﹣1）2＝3，则f（f（﹣1））＝f（3）＝2×3﹣1＝5.故答案为5方法提示：本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.13.若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．答案：解析：思路：由有两个不相等的实数根求得的取值范围.解答过程：，由于函数有三个单调区间，所以有两个不相等的实数根，所以.故答案为：14.已知函数，若不等式恒成立，则的取值范围是_______．答案：解析：思路：依题意构造函数，设，判断为奇函数，即得，进而判断在上单调递增，令，将不等式转化为，利用单调性推得，设，则得，分段讨论函数的最小值即得参数范围.解答过程：，令设，记则，即（*），因为函数，，都是递增函数，故在上单调递增，令，由（*）可得，则有，又在上单调递增，可得即，也即，设，原不等式恒成立等价于，分三段讨论：当时：为增函数，此时；当时：，为常函数；当时：，为减函数，此时.故在区间上恒取到最小值即，解得，即的取值范围是.四、解答题（本题共有5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知，函数．（1）当时，解不等式；（2）当时，求函数的值域．答案：（1）（2）解析：思路：（1）把代入，再利用函数在上单调递增求解；（2）把代入，求出的表达式为，再利用基本不等式与函数的性质求解值域.（1）

当时，，由于函数在上单调递增，故解得，所以，原不等式解集为.（2）当时，，即，由，得，故函数定义域为，由于，所以(当且仅当即时取等号），又函数在上单调递增，所以，，故值域为.16.如图1，在平面四边形中，是以为斜边的等腰直角三角形，，是边长为2的等边三角形．现将沿翻折至的位置，使得，如图2．（1）设为的中点，证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．答案：（1）因为为的中点，是边长为2的等边三角形，所以，且.如图，连接，在等腰中，，又，满足，所以，即.又，且平面，平面，所以平面.（2）解析：思路：（1）根据等边三角形的性质以及勾股定理证明，再利用线面垂直的判定定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面的夹角的余弦值.（1）略（2）由(1)知平面，以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则因为平面位于平面内，易知平面的一个法向量为又.设平面的法向量为，则，得，令，得，即平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角为.因为，，所以.故平面与平面夹角的余弦值为.17.已知函数是定义在上的奇函数.（1）求a，b的值；（2）判断在上的单调性并证明；（3）解关于x的不等式.答案：（1），；（2）函数在上单调递增.任取，且，则，由，得且，则，即，所以在上单调递增.（3）.解析：思路：（1）根据给定的函数，利用奇函数的定义及性质求解.（2）判断单调性，再利用增函数的定义推理证明.（3）利用奇函数性质及日记账性求解不等式.（1）由函数是定义在上的奇函数，得，则，即是定义在上的奇函数，于是，此时，，满足题意，所以，.（2）略（3）由函数为奇函数，且在上单调递增，得在上单调递增，不等式，则，解得，所以原不等式的解集为.18.已知函数．（1）求的单调区间；（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；（3）若是函数的极值点，求证：．答案：（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）；（3）证明：由，可得，令，可得在上恒成立，所以函数在上单调递增，即函数在上单调递增，因为是的极值点，所以存在使得，即，又由，所以，则，所以.解析：思路：（1）对函数求导后分析导数在定义域内的正负，从而得出函数的单调递增区间和单调递减区间；（2）分离参数后构造函数，将问题转化为在上恒成立，通过求导得出函数最小值即可求得的取值范围；（3）对求导，证明导函数在定义域内单调递增，从而极值点唯一，由极值点处导数为零，得到变量间的关系式，将此关系代入要证的不等式，化简后利用极值点的范围（通过端点值符号判断）即可证明结论成立．（1）由函数，可得其定义域为，求导得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．（2）由，其中可得，即，由对任意恒成立，即在恒成立，令，可得，令，解得，当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即实数的取值范围为.（3）略19.有一位老师叫他的学生到麦田里，摘一颗全麦田里最大的麦穗，期间只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头．结果他的学生两手空空走出麦田，因为他不知道前面是否有更好的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到．假设该学生在麦田中一共会遇到颗麦穗（假设颗麦穗的大小均不相同），最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，为了使他能在这些麦穗中摘到那颗最大的麦穗，现有