湖南省娄底市涟源市部分学校2026-2027学年高二上学期入学考试数学试卷（含答案）

湖南省娄底市涟源市部分学校2026-2027学年高二上学期入学考试数学试题一、单选题1．已知为两条不同直线，为三个不同平面，下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中正确命题序号为（

）A．②③ B．②③④ C．①④ D．①②③2．已知是空间的一组基底，则能与构成另一组基底的是（

）A．， B．， C．， D．，3．某位同学参加歌唱比赛，有8位评委．歌唱结束后，各评委打分的平均数为5，方差为3．又加入一个特邀嘉宾的打分为5，此时这9个分数的平均数为，方差为，则（）A．， B．， C．， D．，4．如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（

）A．B．C．四边形的周长为D．四边形的面积为5．在中，是线段的中点，是线段的中点，则（

）A． B．C． D．6．已知某圆台的上、下底面半径分别为，且，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（

）A． B． C． D．7．如图，的外接圆的圆心为,,,,则等于()A． B．3 C．2 D．8．若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（

）A． B． C．[3，5] D．二、多选题9．设复数满足，为复数的共轭复数，则下列说法正确的是（

）A． B．的虚部为C．是个纯虚数 D．复数对应的点位于复平面的第二象限10．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（

）A．存在点，使得平面，B．过点三点的平面截正方体所得截面的面积最大为5C．当在线段上运动时，三棱锥的体积为定值，且定值为D．的最小值为三、填空题11．如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________12．为所在平面外一点，为在平面上的射影.若､､与平面所成的角相等，则是的___________心.四、解答题13．某校高一年级进行数学计算能力大赛，数学备课组从全年级的1000名学生的成绩中抽取容量为n的样本，构成频率分布直方图，且成绩在区间的人数为5．(1)求样本容量n以及频率分布直方图中的x；(2)估计全年级学生竞赛成绩的平均数；(3)从样本中得分在[80,100]的学生中随机抽取两人，问所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90,100]的概率是多少？14．记的内角的对边分别为，已知.(1)若，求；(2)若是的中点，且，求；(3)若，求的面积.15．每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为p，q．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．(1)若，求乙恰好有一轮胜出的概率；(2)若甲，乙各有一轮胜出的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为．①求p，q的值；②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率．16．如图，在四棱台中，底面是正方形，平面，，，.(1)求证：平面；(2)求直线到平面的距离；(3)若点P是正方形内的动点（不含边界），且满足，设直线与平面所成角为，求的取值范围.参考答案1．C2．A3．B4．D5．D6．C7．D8．B9．AC10．ACD11．12．外13．（1）成绩在区间的频率为，，由频率分布直方图可得第4组的频率为，故.（2）先估计所抽取的25名学生成绩的平均数为（分），估计全年级学生竞赛成绩的平均数为；（3）得分成绩在有（人），这组的3名学生分别为，，，得分在区间[90，100]有（人），这组的2名学生分别为，，随机抽取两人，所以可能的结果为共10种，所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90，100]的结果为共7种，故所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90,100]的概率是.14．（1）在中，由正弦定理，即，解得，所以或.（2）因为，即，化简得①.法一：在中，由正弦定理，，在中，由正弦定理，，又，所以，在中，由余弦定理可得，所以，则②.联立①②得，即，解得或（舍）或（舍）.所以.法二：延长至点，使得，连接，由题意，则，即，整理得③.联立①③，，解得或（舍）.所以.（3）在内作，所以，设，在中，由正弦定理知，即，知，所以，所以.15．（1）设事件“第一轮比赛中甲胜出”，事件“第二轮比赛中甲胜出”，设事件“第一轮比赛中乙胜出”，事件“第二轮比赛中乙胜出”，由题意得，，，相互独立，且，，，．记事件“乙恰好有一轮胜出”，则，又互斥，所以，当时，.因此，当时，乙恰好有一轮胜出的概率为.（2）①事件“甲，乙各有一轮胜出”，事件“甲，乙两轮都胜出”，则，，则，解得，．②事件“甲两轮都胜出”，事件“乙两轮都胜出”，事件“甲，乙两人至少有一人两轮都胜出”，，，16．(1)连接AC交BD于，连接，则，因为，由四棱台的性质可得，且，故四边形为平行四边形，故，平面面，故面.（2）面，直线到平面的距离等价于点到平面的距离，，，，，，取DC中点，连，，可得，而平面