高中数学必修二知识梳理

高中数学必修2知识梳理

第一章空间几何体

ri柱、锥、台、球的结构特征

i.i.i柱、锥、台、球的结构特征

1.柱

⑴棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面

都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互

相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱

中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；

其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公

共顶点叫做棱柱的顶点。

底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……

棱柱的性质：

①侧棱都相等，侧面是平行四边形；

②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；

③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；

④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。

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(2)圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋

转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的

几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴;

垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于

轴的边都叫做圆柱侧面的母线。

圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面(轴截面)是全

等的矩形。

棱柱与圆柱统称为柱体；

2.锥

(1)棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，

由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共

顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；

各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相

邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。

底面是三角锥、四边锥、五边锥……的

棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥

正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中

心，这样的棱锥叫做正棱锥。

棱锥的性质：

①平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与

顶点到底面的距离之比；

②正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；

③正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内

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的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。

⑵圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成

的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的

面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。

圆锥的性质：

①平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与

顶点到底面的距离之比;

②轴截面是等腰三角形;

棱锥与圆锥统称为锥体。

3•台

⑴棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台;

原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶

正棱台的性质：

①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；

②正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是正多边形;

③棱台经常补成棱锥研究。

⑵圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台;

原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。

圆台的性质：

①圆台的上下底面，与底面平行的截面都是圆;

②圆台的轴截面是等腰梯形；

③圆台经常补成圆锥来研究。

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圆台和棱台统称为台体。

4.球

以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简

称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做

球的直径。

注：球的有关问题转化为圆的问题解决。

1.2空间几何体的三视图和直观图

1.三视图：

（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；

⑵侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；

（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度；

2.画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等

3.直观图：斜二测画法

4.斜二测画法的步骤：

①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX,0Y,建

立直角坐标系；

②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的CrX'CTY，，使

""=450（或1350）,它们确定的平面表示水平平面；

③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X，轴，

且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y，轴,

且长度变为原来的一半；

④擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）。

5.用斜二测画法画出长方体的步骤：

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(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图

1.3空间几何体的表面积与体积

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（一）空间几何体的表面积

1.棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和

2.圆柱的表面积：S=2袖+2勿」

3.圆锥的表面积：S="/+.之

4.圆台的表面积：S二勿"/十勿？十就/十位）

5.球的表面积：S=4或2

（二）空间几何体的体积

1.柱体的体积：r=S^xh

2.锥体的体积：展;S底

3.台体的体积：3=，（S卜+JS.S下+S下）x〃

4.球体的体积：V=-7iRy

3

\.B设有以下五个命题：

①对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；

②有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；

③长方体一定是正四棱柱；

④每个侧面都是全等的矩形的四棱柱是正四棱柱；

⑤底面是菱形且一个顶点处的三条棱两两互相垂直的棱柱是正棱柱.

其中真命题的序号是.

2.B一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

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左视图

3.B如图所示，已知E、b分别是棱长为。的正方体48QG的棱小小

CG的中点，求四棱锥G—8红厂的体积.

4.8如图.在直棱柱W8C—49。中，底面是边长为3的等边三角形，//=4,

历为44的中点，P是BC上一前,且由尸沿棱柱侧面经过棱CC到M的最短路

线长为后，设这条最短路线与。。'的交点为N,求：

(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；

(2)PC与NC的长；

(3)三棱锥C—MNP的体积.

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5.6一个空间几何体的三视图如图所示：画出该几何体的直观图，并说出所截

去的几何体的名称，并求多面体的体积.(单位：cm)

帕视阳

6.B将正三棱柱截去三个角(如图1所示4B,C分别是△G”7三边的中点)得

到几何体如图2,画出图2几何体的三视图.

7.8一根长为3兀cm,底面直径为2cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠

绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为

&5有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径

为，•的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水

的深度.

参考答案：

1.⑤2.80cn?3.-a34.(1)797；(2)PC=2,NC=-(3)—

655

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5.几何体的直观图如图所示:

截去的几何体是正三棱锥；多面体的体积为汹cm》

6.几何体的三视图如图所示:

8.屈

第二章点、直线、平面之间的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.1平面

1.平面含义：平面是无限延展的

2.平面的画法及表示

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(1)平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45。，且横

边画成邻边的2倍长(如上图)

(2)平面通常用希腊字母0、依丁等表示，如平面a、平面力等，也可以用表示

平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面

AC、平面ABCD等。

3.三个公理：

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

符号表示为

BwL

公理1作用：判断直线是否在平面内

(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面a,

使4£a,8£a.Cea.

公理2作用：确定一个平面的依据。

(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点

的公共直线。

符号表示为：尸EaCl乃=>aCl夕=£,且尸£上

公理3作用：判定两个平面是否相交的依据

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系

1.空间的两条直线有如下三种关系：

共面直线相交直线；同一平面内，有且只有一个公共点;

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平行直线：同一平面内，没有公共点;

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

2.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a、b、c是三条直线

allb\,

a//c

ellb

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补

4.注意点：①，与b'所成的角的大小只由力的相互位置来确定，与。的选择

无关，为了简便，点。一般取在两直线中的一条上；

②两条异面直线所成的角0G(0,1)；

③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作

a±b；

④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2.13—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

1.直线与平面有三种位置关系：

(1)直线在平面内一有无数个公共点

(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点

(3)直线在平面平行——没有公共点

指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用。Sa来表示

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22直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1直线与平面平行的判定

1.直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则

该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：

a(Za

bu0aHa

a//b

2.2.2平面与平面平行的判定

1.两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这

两个平面平行。

符号表示：

au。

9/Ri"/

a(yb=P\^p//a___________

allaZ/

bIIa

2.判断两平面平行的方法有三种：

(1)用定义；(2)判定定理；(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.3—2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质

1.定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与

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该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。

符号表示：

a//a

au0•=>aHb

aC0=b

作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2.定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

符号表示:

allp

aDy=a}=allb

BCy=b

作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

2.3直线、平面垂直的判定及其性质

231直线与平面垂直的判定

1.定义：如果直线L与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面

a互相垂直，记作L±a,直线L叫做平面。的垂线，平面a叫做直线L的垂面。

如图，直线与平面垂直时，它们唯一公共点P叫做垂足。

2.判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面

垂直。

注意：a）定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b）定理体现了“直线与平面

垂直，，与，，直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

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2.3.2平面与平面垂直的判定

1.二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

2.二面角的记法：二面角。一/一£或「一43-£

3.两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面

垂直。

233—234直线与平面、平面与平面垂直的性质

1.定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

2.性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂

直。

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1.B对于平面a和异面直线/%〃，下列命题中真命题是.

①存在平面a,使团_La,n

②存在平面a,使ua,〃ua

③存在平面a,满足〃

④存在平面a,满足""/a,nila

ZB如图，在四棱柱/8CQ-48cA中，BBJ底面ABCD,ADIIBC,4/10=90。，

AC1BD.

(I)求证：当67/平面3)0;

(H)求证：ACLBfl-

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（in）若力。=2例，判断直线4。与平面IC。是否垂直？并说明理由.

3.C在正方体48C。-“少中，若点p（异于点3）是棱上一点，则满足BP

与4c'所成的角为45。的点P的个数为（）

A.OB.3C.4D.6

参考答案：

1.@

2.⑴证明：因为4）〃BC,BCa平面4DQ4,4。二平面4。。/,所以4C〃平面

ADDA

因为做〃必，BB1a平面4DD4,尚u平面ADR4,所以巡〃平面ADD4.

又因为BCCBB】二B,所以平面ACC///平面河阳.又因为4Cu平面女工4,

所以4。//平面

（H）证明：因为叫"L底面/8CQ,/。匚底面力8。。，所以BA_LNC.

又因为4c_L8。，BB、CBD=B,

所以彳C_L平面BBQ.又因为"Du面BBQ,所以力CJL8Q.

（HI）直线"Q与平面4cA不垂直，理由如下，

假设平面力C。，

由4Q|U平面/CR,得BQL力R.

由棱柱48C。—481GA中，8片1底面"C。，/B4D=90,

可得43，说,44149,

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又因为"n4A=4,所以44！平面必A。，所以

又因为44口々。=用，所以平面44。，所以4。口4，

这与四边形44A。为矩形，且4)=244矛盾，故直线4。与平面力c。不垂直.

3.B

第三章直线与方程

3.1直线的倾斜角和斜率

3.1.1倾斜角和斜率

1.直线的倾斜角的概念：当直线/与X轴相交时，取X轴作为基准，X轴正向与直

线/向上方向之间所成的角a叫做直线/的倾斜角.特别地，当直线/与X轴平行或

重合时，规定a=0°.

2.倾斜角a的取值范围：0”aW180.当直线1与x轴垂直时，«=90.

3.直线的斜率:一条直线的倾斜角a(a0903的正切值叫做这条直线的斜率，斜率

常用小写字母k表示,也就是％=tana

(1)当直线1与x轴平行或重合时，a=0\〃=tanO=0；

(2)当直线1与x轴垂直时，a=90°,(不存在.

由此可知，一条直线/的倾斜角a一定存在，但是斜率k不一定存在.

4.直线的斜率公式：

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给定两点P｝（X”必）,6（x2,为）,X1工工2用两点的坐标来表示直线P\P1的斜率：

X「X]

斜率公式：

3.1.2两条直线的平行与垂直

1.两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，

如果它们的斜率相等，那么它们平行,即I7120kl=h。

注意：上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个

前提，结论并不成立.即如果匕=〃2,那么一定有4〃，2。

2.两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，

如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即

4±ok】=---<=>〃]•%,=-1o

左2

3.2.1直线的点斜式方程

1.直线的点斜式方程：直线/经过点月（七,为），且斜率为人

2.直线的斜截式方程：已知直线/的斜率为左，且与y轴的交点为（0,b）

y=kx+b

3.2.2直线的两点式方程

1.直线的两点式方程：已知两点々（Xi，%），鸟（Z，乃）其中（西工工2，乂工匕）

y-y\x-x..、

“■上-=——4为工当，必工为）

V2f/一看

2.直线的截距式方程：已知直线/与x轴的交点为A（〃,0）,与y轴的交点为

B（0,/>）,其中々于于0

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3.2.3直线的一般式方程

1.直线的一般式方程：关于的二元一次方程,4x+By+C=0（A,B不同时

为0）

2.各种直线方程之间的互化。

3.3直线的交点坐标与距离公式

3.3.1两直线的交点坐标

1.给出例题：两直线交点坐标

LI：3x+4y-2=0

LI：2x+y+2=0

3x+4y-2=0

解：解方程组

2x+2y+2=0

得x=-2,y=2

所以LI与L2的交点坐标为M（-2,2）

3.3.2两点间距离

两点间的距离公式：用=,（.一、2）%（必一切f

3.3.3点到直线的距离公式

1.点到直线距离公式：

点p（x。,歹。）到直线/：西+取+c=o的距离为：d=।华+为0+.

十

2.两平行线间的距离公式：

已知两条平行线直线4和4的一般式方程为4：A\x+B\y-^C\=0,12:

A2x+B2y+C2=0,则（与4的距离就是在人上任取一点尸（%,打），点P到。的

距离就是直线人与之间的距离

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1.A求过点＞4(1,-4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线方程.

ZA求过点4(2,1)且与直线2x+y-10=0垂直的直线/的方程.

3.B当々为何值时，直线y=b+3过直线2x-j，+l=0与y=x+5的交点？

4.5已知点4的坐标为(-4,4),直线/的方程为3x+y—2=O,求直线/关于点

4的对称直线/'的方程.

5.B求直线4：x-y-2=O关于直线/2：3x-y+3=0对称的直线/的方程.

6.6过P(—l,1)的直线/与x轴和y轴分别交于48两点，若P恰为线段力8

的中点，求直线的斜率和倾斜角.

参考答案：

3

1.2x+3y+10=02.x-2y=03.-4.3x+y+18=0

5.7x+y+22=06.1,45°

第四章圆与方程

4.1.1圆的标准方程

1.圆的标准方程：(%—0)2+34)2=户,圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程

4.1.2圆的一般方程

1.圆的一舟殳方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0

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2.圆的一般方程的特点:

(1)①/和力的系数相同，不等于0;②没有xy这样的二次项。

(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,因之只要求出这三个系数，圆

的方程就确定了。

⑶与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆

的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

4.2.1圆与圆的位置关系

1.用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.

设直线/：ax+by+c=0,圆C:/十瓜+与，+尸=。，圆的半径为广，圆心

(-1,-§到直线的距离为“，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：

⑴当,时，直线/与圆C相离；

(2)当d=/时,直线/与圆C相切；

⑶当八「时，直线/与圆C相交；

4.2.2圆与圆的位置关系

两圆的位置关系.

设两圆的连心线长为/,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：

⑴当/十七时，圆与圆g相离；

⑵当+々时,圆G与圆G外切；

(3)当I/-々1</5+々时，圆G与圆相交；

(4)当时,圆G与圆内切；

(5)当/文-々1时,圆G与圆。2内含；

4.3.1空间直角坐标系

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1.点M对应着唯一确定的有序实数组(x,y,z),x、＞、z分别是P、Q、R在X、

y%z轴上的坐标

2.有序实数组(x,y,z),对应着空间直角坐标系中的一点

3.空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组(xj,z)来表示，该数组叫做点M

在此空间直角坐标系中的坐标，记M(x,y,z),x叫做点M的横坐标，y叫做点

M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标。

4.3.2空间两点间的距离公式

］空间中任意一点々(X［，M，Z］)到点八(》2，为/2)之间的距离公式

1^1=一