复数的乘、除运算 课后练习-2026-2027学年人教A版高中数学必修第二册

7.2.2复数的乘、除运算

明确目标发展素养

1.掌握复数代数形式的乘、除运算法则，能够1.通过对复数的乘、除运算的学习，提升数学

进行复数的乘、除运算.运算、逻辑推理素恭.

2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加2.通过对i的乘方周期性的理解，提升逻辑推

法的分配律.理素养.

S自主学习一课前预习任务单

知识点一复数的乘法及运算律

(一)教材梳理填空

1.复数的乘法法则：

设zi=a+历，Z2=c+di(mb,c,d£R)是任意两个复数，那么它们的积(〃+bi)(c+di)

=ac-\rbc\+ad\+bdi2=

2.复数乘法的运算律：

对于任意Zl，Z2，Z3WC,有

交换律Z1Z2=___________

结合律（Z1Z2）Z3=___________

乘法对加法的分配律Zl（Z2+Z3）=___________

［微思考］已知Z=x+)，i(x,jeR),则02=3正确吗？

（二）基本知能小试

1.（2025•全国I裳）（l+5i）i的虚部为（）

A.-1B.0C.1D.6

2.（2024•全团甲号）设z=VIi,则z・T=（）

A.-2B.A/2

C.一6D.2

（一）教材梳理填空

设zi=〃+历，Z2=c+di（a,b,c,dWR且c+diWO）,

.Zi。+8iac+bdbc-ad.

则石=在话=c?+廨+。2+/i・

［微思考］复数的除法，其实质是分母“实数化”，即把分子和分母同乘一个什么样的

数？

（二）基本知能小试

1.复数一i+将于（）

A.一2iB.|iC.0D.2i

2.在复平面内，复数2=含（1为虚数单位）的共枕复数对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3.已知复数z满足（l+3i）z=10,则％=.

题型一复数的乘法运算

【学透用活】

对复数乘法的三点说明

（1）类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行

运算，但结果要将实部、虚部分开H换成-1）.

（2）运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用.

（3）常用结论：

①⑺土加产二层土加万一炉出力£R）；

22

®(a-^bi)(a—bi)=a^-b(af力WR)；

③(l±i)2=±2i.

[典例1]⑴(2023•全国甲卷)设a£R,(a+i)・(l-ai)=2,贝U〃=()

A.—2B.-1

C.1D.2

⑵若复数（1一i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）

A.(-8,1)B.(一8,-1)

C.(1,4-oo)D.(-1,+8)

【对点练清】

1.(2+2i)(l-2i)=

A.-2+4iB.-2-4i

C.6+2iD.6-2i

2.(2024•天*高考)已知i是虚数单位，复数(小+。・(小-2i)=.

题型二复数的除法运算

【学透用活】

对复数除法的三点说明

(1)实数化：分子、分母同乘分母的共输复数，化简后即得结果，这个过程实际上就是

把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似.

(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开.

(3)常用结论：

[典例2](1)(2023•新谋标I卷)已知乙=表4，贝！lz-T=()

A.-iB.iC.0D.1

(2)设」=]+；1贝)

A.2B币

C.yflD.1

【对点练清】

1.(2025•全flDU卷)已知z=l+i,则±=()

Z1

A.-iB.i

C.-1D.1

2.如图，在复平面内，复数Z1，Z2对应的向量分别是员，~OBt则复

§对应的点位于()

Z2

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

什管(1+讨」(l-i)7_(3_4iX2+2i)3

叮昇：1—i十i+i4+3i•

题型三复数范围内方程根的问题

【学透用活】

［典例3］已知1+i是方程始+加+。=。的一个根仍，。为实数).

(1)求心c的值；

(2)试判断l—i是不是方程的根.

【对点练清】

在复数范围内解下列方程.

(1)必+5=0；

(2M+41+6=0.

课时跟踪检测

层级(一)“四基”落实练

1.(2024•新谋梅I卷)若W=l+i,贝!|z=()

A.-1-iB.-l+i

C.1-iD.l+i

2.(2024•全国甲卷)若z=5+i,则i(W+z)=()

A.lOiB.2i

C.10D.2

3.(2025•北京高考)已知复数z满足i・z+2=2i,则团=()

A.^2B.272

C.4D.8

4.若a为实数，且(2+ai)(a—2i)=-4i,贝(1a=()

A.-1B.0

C.1D.2

5.若复数z满足(2+i)z=|3-4i|,则z在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

6.已知复数m+2i)(l+i)的实部为0,其中i为虚数单位，则实数a的值是_______.

7.复数2=卡《为虚数单位)，则团=.

8.若zi=a+2i,z2=3-4i,且日为纯虚数，则实数。的值为______.

Z2

9.已知z为z的共辗复数，若z-3iz=l+3i,求z.

层级(二)能力提升练

L(多选)已知i为虚数单位，则下列结论正确的是()

A.复数［=詈的虚部为T

B,复数z=智的共桃复数W=-5-2i

C.复数z=j-3在复平面内对应的点位于第二象跟

D.复数z满足;WR,贝IzGR

2.若关于x的方程x2+(2—i)x+(2w—4)i=0有实数根，则纯虚数m=.

3.若1+/是关于x的实系数方程x2+/>x4-c=0的一个复数根,则b=,c=.

4.已知复数z=-3+2i(i为虚数单位)是关于x的方程2x2+px+g=0(〃，。为实数)的一个

根，求p+q的值.

5.己知复数z=l+i.

⑴设”=z2+3z—4,求s；

（2）若关岩=1-i，求实数。，力的值.

层级（三）素养培优练

1.欧拉公式e"'=cos〃+isin仇把自然对数的底数e,虚数单位i,三角函数cos。和sin夕

联系在一起,被誉为“数学的天桥”，若复数Z满足（评一z）・i=l+i,则忆尸（）

A胞B.V2C.2&D.3

2.（多选）设如Z2,Z3为复数，ziWO.下列命题中正确的是（）

A.若应|=忆3|，则Z2=±Z3

B.若Z|Z2=Z1Z3，则Z2=Z3

C.若Z2=Z3，则|Z1Z2|=|Z1R

D.若Z1Z2=|Z1F，则Z1=Z2

3.复数z=a+?¥j+晒且|z|=4,z对应的点在第一象限.若复数0,z,W对应的点是正

三角形的三个顶点，求实数。，力的值.

参考答案

知识点一复数的乘法及运算律

(一)教材梳理填空

1.(ac-bd)+(ad+bc)i.

2.ZzZi、Z|(Z213)、2IZ?+Z!Z3

(二)基本知能小试

1.选C

2.选D

(二)基本知能小试

1.

答案：A

2.

答案：D

3.

答案：1一方

题型一复数的乘法运算

【学透用活】

对复数乘法的三点说明

(1)类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行

运算，但结果要将实部、虚部分开印换成-1).

(2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用.

(3)常用结论：

(l)(a±bi)2=a2±2tihi—b2(a,5£R)；

②(。+历)(。一历)=屋+62(“，Z>GR)；

®(l±i)2=±2i.

［典例1］

［答案］(DC(2)B

【对点练清】

1.选D

2.答案：7一乖i

题型二复数的除法运算

【学透用活】

对复数除法的三点说明

(1)实数化：分子、分母同乘分母的共枕复数，化简后即得结果，这个过程实际上就是

把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似.

(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开.

(3)常用结论：

［典例2］

［答案］(DA(2)C

【对点练清】