《正态分布》同步练习-2026-2027学年高二数学上册北师大版选择性必修第一册

5正态分布

I.关于正态分布/v（〃，相），下列说法正确的是（）

A.随机变量落在区间长度为3。的区间之外是一个小概率事件

B.随机变量落在区间长度为6。的区间之外是一个小概率事件

C.随机变量落在［-3。，3加之外是一个小概率事件

D.随机变量落在［〃-3o,〃+3M之外是一个小概率事件

2.已知遁机变量X服从正态分布N（a,4）,且。（X>l）=0.5,则实数。的值为（）

A.1B.V3

C.2D.4

3.已知拉机变量X的正态密度函数为夕（x）=-^=e­（xtR）,则其均值和标准差分别是（）

V8TT

A.0和8B.0和4

C.0和2D.0和I

4.某人乘车从A地到B地，所需时间X（单位：min）服从正态分布N（30,100）,则此人在40min至50min到

达目的地的概率为（）

A.0.1359B.0.2716

C.0.9544D.0.6826

5.（多选）己知甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（。:），N（〃2,遽），其正态曲

线如图所示，则（）

A.乙类水果质量的均值比甲类水果质量的均值小

B.甲类水果的质量比乙类水果的质量分布更集中

C.甲类水果质品的均值比乙类水果质最的均值小

D.乙类水果的质量比甲类水果的质量分布更集中

6.(多选)随机变量X服从正态分布N(90,52),则下列结论正确的是()

A.EX=90

B.QX=5

C.P(X>100)=P(X<80)

D.P(X290)="

2

7.已知正态分布落在区间(0.2,+8)内的概率为0.5,那么相应的正态曲线/(x)在x=时达到最高

点.

8.设随机变量X〜N(4,标)，且P(4VXV8)=0.3,则P(X<0)=.

9.已知随机变量X〜N(2,标)，若P(X>5)=0.1,WOP(2<X<5)=,若某批零件的长度误差(单

位：亳米)服从正态分布N(l,2?),从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,5)内的概率为.

10.已知某地农民工年均收入X服从正态分布，英正态曲线如图所示.

(1)写出此地农民工年均收入的密度函数解析式；

(2)求此地农民工年均收入在8000〜85(X)元之间的人数所占的百分比.

11.某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径X(单位：mm)服从正态分布X〜N(100,1).现加工10

个螺栓的尺寸(单位：mm)如下：101.7,100.3,99.6,102.4,98.2,103.2,101.1,98.8,100.4,100.0,

X〜N(〃，/)，有P(〃-2o<XV〃+2。)=0.954,P(/J-3a<X<〃+3。)乜).997.根据行业标准，概率低

于0.003视为小概率事件，工人随机将其中的8个交与质检员检验，则质检员认为设备需检修的概率为()

A.-B.-C.-D.-

455545

12.设随机变量。服从正态分布N(〃，标)，且二次方程/+以+<=0无实数根的概率为5则〃=()

A.1B.2

C.4D.不能确定

13.(多选)若随机变量。〜N(0,1),(p(加)=P，其中m>0,则下列等式成立的是()

A.(p(一机)=1—(/)(〃?)

B.(p(2m)=2(p(m)

C.P(I<;I<m)=2(pOn)-1

D.P(I(;I>m)=2—0(m)

14.对一个物理量做〃次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差的〜N(0,

9，为使误差£“在(一0.5,0.5)的概率不小于0.9544,至少要测量次(若X〜N(〃，*),则P

(|X—〃I<2(7)=0.9544).

15.已知随机变量X〜N(〃，标)，且其正态曲线在(-8,80)上上升，在(80,+8)上下降，且P(72V

XW88)=0.6826.

(1)求参数〃，〃的值；

(2)求尸(64VXW72).

16.已知随机变量X服从正态分布X〜N(10,标)，P(X>12)=加，P(8WXW10)=〃，求工十三的最小值.

mn

5正态分布

IDVP(4一3。0X?+3o)々0.9974,：.P(X>/+3o或X<〃一3。)=1一尸(〃-3oSX斗+3。)-1—0.9974=

0.0026,・•・随机变量落在口-3。，〃+3可之外是一个小概率事件.

2.A因为随机变量X服从正态分布N(①4),所以。(X>a)=0.5.由P(X>1)=0.5,可知o=L

3.C将所给函数解析式与正态密度函数的解析式对照可得"=0,a=2.

4.A由题意，得"=30,o=10,因为P(4一oSY0/+o)=0.6826,所以此人在20min至40min到达目的地的概

率约为0.6826.又尸(〃-2。二0+2。)M.9544,所以此人在10min至50min到达目的地的概率约为0.9544.由正

态曲线关于直线x=30对称，知此人在40min至50min到达目的地的概率约为9(0.9544-0.6826)=0.1359.

5.BC由图象可知，甲类水果质量的均值川=0.4,乙类水果质量的均值"2=0.8,且3<6，则B、C正确，A、

D不正确，故选B、C.

6.ACD由随机变量X服从正态分布N(90,5?),得正态曲线的对称轴为直线4="=90,如图所示，则EX=

90,故A正确；标准差为5,方差为25,故B错误；由正态曲线的对称性得P(X>100)=P(X<80),P

(X>90)=1.故C、D5F确.

7.0.2解析：由正态曲线关于直线对称且在处达到峰值和其落在区间(0.2,+«))内的概率为0.5,得

〃=02

8.0.2解析：正态密度曲线关于直线T=4对称，在4右边的概率为0.5,在。左边的概率等于在8右边的概率，即

0.5—03=0.2.

9.0.40.1359解析：由随机变量X〜N(2,G2),得对称轴方程为x=2,・.・p(X>5)=0.1,：.P(2<X<5)

=0.5-P(X>5)=0.4.设长度误差区随机变量。由正态分布N(l,22),得尸(-1V4V3)*.6826,尸(一3

<^<5)=0.9544,:.P(3V&V5)=「-)：(-

-954….6826=01359.

2

10.解：设此地农民工年均收入X〜N(〃，W),结合题图可知，4=8000,a=500.

、

1(r-8ooo)2

(I)此地农民工年均收入的密度函数解析式为(P(X)=r-e2X5002-,x£R.

(2)VP(7500<X<8500)=P(8030~500<X<8000+500)-0.6826,

:.P(8000<X<8500)=，(7500<X<8500)=0.3413=34.13%.

故此地农民工年均收入在8000〜8500元之间的人数所占的百分比为34.13%.

11.B10个螺栓的尺寸，只有103.2不在区间（97,103）内，，工人随机将其中的8个交与质检员检验，质检员

认为设备需检修的概率为旨=：.

C1O5

12.C因为方程f+4x+《=0无实数根的概率为J由A=I6一萌＜0,得自＞4,即P«＞4）=：=1一尸

（日），故尸（§4）=1,所以〃=4.

13.AC•・•随机变量&服从标准正态分布N(0,1),・•・正态曲线如图所示.・・・(p(〃?)=P(^<m).m>0,A(p

(—w)=P(^>m)=1—(p(tn),，A正确；(p(2in)=P(金2机)，2(p(m)=2P(^<in)>・'・(p(2m)声2(p

(〃i),故B错误；尸(I&I<ni)=P(—，〃<《<〃])=1—2(p(-m)=I-2[1—(p(m)]=2(p：〃?)—1,.\C

正确；P(IgI>m)=P(。>〃7或4V—〃?)=1—(p(m)+(p(—in)=1—(p(〃[)+1—(pCm)=2—2(p

(m),，D错误.故选A、C.

14.32解析：根据正态曲线的对称性知：要使误差品在(一0.5,0.5)的概率不小于0.9544,则("一2。，〃+

2o)u(-0.5,0.5)且"=0,o=所以0.5N2J|=论32.

15.解：(1)由于正态曲线在(一8,80)上上升，在(80,+oo)上下降，所以正态曲线关于直线x=80对称,

即参数〃=80.又P(72<X<88)=0.6826.

结合P