2026-2027学年北师大版八年级上期中数学试卷与答案解析

2026-2027学年北师大版八年级上期中数学试卷

一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）

I.（3分）下列数中是无理数的为（）

7T22

A.。B.-C.yD.2.0KM0I…（相邻两个1之间有一个。）

2.（3分）满足下列条件的△A8C,不是直角三角形的是（）

A./A：ZB：ZC=3：4：5B.a：b：c=5：12：13

C.ZC=ZA-/BD.b1-c1=cr

3.（3分）下列计算正确的是（

A.V8-V2=V2B.V（-2）2=-2

c.通+百=75D.V2xV3=\/5

4.（3分）若函数），=x+4-"，是关于x的正比例函数，则〃?的值是（）

A.±2B.1C.2D.-2

5.（3分）平面直角坐标系中,下列坐标的点在第一象限的是（）

A.（3,6）B.（-1,-3）C.（-3,2）D.（5,-3）

6.（3分）一次函数丁=31-4的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7.（3分）点（3,-2）关于x轴的对称点坐标是（）

A.（3,2）B.（-3,-2）C.（-3,2）D.（3,-2）

8.（3分）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动.如图，当张角为NA4F时，顶部边缘8

处离桌面的高度BC为7。〃?,此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24。〃,小组成员调整张角的大小继续探究，

最后发现当张角为时（。是5的对应点），顶部边缘。处到桌面的距离。£为20。〃，则底部边缘A处与E

之间的距离人上为（）

D

A.15cmB.18（7??C.21cmD.24c7〃

9.（3分）如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系xQy,使“帅”的坐标为（-1,-2）“马”的坐标为（2,-2）,

则“兵”的坐标为（）

10.（3分）如图，用两个面积为9。/的小正方形拼成一个大的正方形.则大正方形的边长最接近的整数是（）

A.4cmB.5crnC.6cmD.7cm

二、填空题（共5小题，每题3分，共15分）

11.（3分）使得二次根式在实数范围内有意义的x的取值范围是.

12.（3分）比较大小：与•|（填或

3-----------3

13.（3分）己知点A（加，3）与点3（-1,〃）关于原点对称，则加+〃的值为.

14.（3分）如图所示，£为长方形48CQ的边4c上的一点，将长方形A8C。沿直线。七折叠，使顶点C恰好落在

人8边上的点尸处.已知人。=87"，BE=3cmt则图中阴影部分的面积为.

15.（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A、8分别在），轴和x轴上，已知点4（0,4）,以AB为直角边在4B左

侧作等腰直角△ABC,NCAB=90°,当点B在x轴上运动时,连接。C,则AC+OC的最小值为

三、解答题（16题10分，17题8分，18题8分，19题8分，20题9分，21题8分，22题12分，23题12分，共

75分）

16.（10分）计算：

（1）--p—+（亚-1）（历+1）.（2）口+|而-2|+J（-3/-（一俑.

V3

17.（8分）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到--道题:

已知a=£后，求2d-8a+l的值，他是这样解答的;

12—、门

•0-2+75-(2+>/3)(2->/3)=2-V3»

.•.a-2=-V3,

，(a-2)2=3,。2_4。+4=3,

/.«2-4。=-1.

，2d-8a+l=2(a2-4a)+1=2X(-1)+1=-1.

请你根据小明的解题过程，解决如下问题:

1

(1)

>/3+>/2~

1111

(2)化简:“+,++.・.+，.

V2+1V3+V2G-遮V1694-Vi68,

(3)若a=金_2,求。2-4a+3的值.

yjk

的顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点上.

(I)写出A点的坐标,C点的坐标；

(2)直接写出/XABC的面积为；

(3)在网格中找一格点F,使△OE尸与△ABC全等,直接写出满足条件的所有尸点坐标

19.(8分)学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法,

小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数y=|A-1|-3的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，

请你补充完整.

(1)列表:

A-2-101234

>o-1-2a-2b0

则a=,b=；

(2)描点并画出该函数的图象；

(3)①观察函数图象，当x时，y的值随x的值的增大而增大；

②观察函数图象，当-3W)W1时，x的取值范围是；

③观察函数图象，试判断函数y=b・1|-3是否存在最小值？若存在，直接写出最小值.

41-

上

三

;」

f

20.（9分）如图，四边形4BC7）为某工厂的平面图，经测量AB=BC=AO=50M,CD=50V3m,且/ABC=90°.

<1）求NDA"的度数；

（2）若直线48为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点。处安装一个摄像头观察

车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为50/〃，通过计算说明道路AB被监控到的最大范围为多少

21.（8分）对于平面直角坐标系xOy中的点A,给出如下定义：若存在点B（不与点A重合，且直线4B不与坐标

轴平行或重合），过点A作电线轴，过点“作直线〃轴，直线〃I,〃相交于点C.当线段AC,3c的长

度相等时，称点3为点A的等距点，称三角形A3C的面积为点4的等距面积.例如：如图，点A（2,1）,点、B

9

（5,4）,因为AC=8C=3,所以B为点A的等距点，此时点4的等距面枳为J

（1）点A的坐标是（0,-1）,在点四（-1,0）,以（2,1）,明（-1,-1）中，点A的等距点为

（2）点A的坐标是（3,1）,点A的等距点8在第四象限.

①若点B的坐标是（3,b）,求〃的值及此时点A的等距面积；

9

②若点4的等距面积不大于不直接写出此时点B的横坐标,的取值范围.

8

22.(12分)四边形A4CO是正方形，且A4=3C=CD=OA=6,ZA=ZABC=^BCD=ZCDA=90Q，点£足直

线AD上的一点，连接CE,以CE为一边作正方形C£FG（C、E、F、G四个点按照逆时针方向排序），连接8E,

D

B

备用图

(1)如图1,当点£在线段4。上时，探究线段G。与线段的数量关系和位置关系，并说明理由:

(2)如图2,当点石在线段八。的延长线上，且八七=9时，连接C",直接写出C”的长度;

(3)若人石=3,则点尸到G"的距离为

23.（12分）在平面直角坐标系中，。是坐标原点，一次函数y=履+〃的图象与y轴交于点A（0,4）,与x轴交于

点B,与正比例函数y=x的图象相交于点。，点C的横坐标为3.

图1图2

（2）如图2,过点C作直线CO〃x轴，M为射线CO上一动点，若为以8c为腰的等腰三角形，直接写出

点M的坐标；

（3）在（2）的条件下，平面内是否存在点P（〃，3）,使aABP的面积等于△AOA面积的一半？若存在，直接

写出点P的坐标；若不存在，说明理由；

（4）如图3,N为线段。8上一点，连接CN,将△BCN沿直线CN翻折得到△人?%（点B的对应点为点尸），CF

交汇轴于点E.当△FNE是直角三角形时，请直接写出点N的横坐标.

2026-2027学年北师大版八年级上期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）

1.（3分）下列数中是无理数的为（）

7T22

A.0B.-C.—D.2.010101-（相邻两个1之间有一个0）

57

解：A、0是有理数，故此选项不符合题意；B、g是无理数，故此选项符合题意；

C、蔡是有理数，故此选项不符合题意；

D、2.010101-（相邻两个1之间有一个0）是有理数，故此选项不符合题意；故选：B.

2.（3分）满足下列条件的△A8C,不是直角三角形的是（)

A./A：ZB：ZC=3：4：5B.a：b：c=5：12：13

C./C=NA-ZBD.b1-c1=a1

解：选：A.

3.（3分）下列计算正确的是（）

A.V8-V2=V2B.V(-2)2=-2

C.V6^V3=V3D.V2xV3=V5

解：V8-V2=2V2->/2=V2,故选项4正确，符合题意；后取=2,故选项B错误，不符合题意;

V64-V3=>/2,故选项C错误,不符合题意；A/2xV3=V6,故选项。错误，不符合题意；故选：A.

4.（3分）若函数），=（w-2）x+4一/是关于x的正比例函数，则，〃的值是（）

A.±2B.1C.2D.-2

解：•・•函数y=（相-2）x+4・〃P是关于x的正比例函数，

・・・4-〃P=o,〃L2W0,解得,m=-2,故选:D.

5.（3分）平面直角坐标系中，下列坐标的点在第二象限的是（）

A.(3,6)B.(-1,-3)C.(・3,2)D.(5,-3)

解.：A.（3,6）在第一象限，故此选项不符合题意；B.（-1,-3）在第三象限，故此选项不符合题意;

C.（-3,2）在第二象限，故此选项符合题意;

D.（5,-3）在第四象限，故此选项不符合题意.故选：C.

6.（3分）一次函数），=3x-4的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

解：k=3>0,图象过一三象限；b=-4<0,图象过第四象限,

・•・一次函数,=n・4的图象不经过第二象限.故选：R.

7.（3分）点（3,-2）关于4轴的对称点坐标是（）

A.(3,2)B.(-3,-2)C.(-3,2)D.(3,-2)

解：点（3,-2）关于x轴的对称点坐标足（3,2）,故选：A.

8.（3分）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动.如图，当张角为N8AP时，顶部边缘3

处离桌面的高度BC为7cm,此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24a〃，小组成员调整张角的大小继续探究，

最后发现当张角为NDA尸时（。是8的府应点），顶部边缘。处到桌面的距离。E为2（）0"，则底部边缘A处与七

之间的距离4七为（）

解：依题意，AC=24,BC=7an,在RtaABC中，AB=y/AC2+BC2=25cm,

•••43=40=25,DE=20,在RtZkAOE中，AE=V/1D2-DE2=V252-202=15cm,故选：A.

9.（3分）如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系屹y,使“帅”的坐标为（-1,-2）“马”的坐标为（2,-2）,

则“兵”的坐标为（）

C.(-3,0)D.(-2,3)

解：如图所示：可得“炮”是原点，则“兵”位于点：（-3,1）.故选：4.

10.（3分）如图，用两个面积为95?2的小正方形拼成一个大的正方形.则大正方形的边长最接近的整数是（）

C.6cmD.1cm

解：由题意可得大正方形的面积为18C〃?2,则其边长为0片（“，・；16VI8V25,••・4<V1^V5,

•••4.52=20.25,・・・4VgV4.5,则大正方形的边长最接近的整数是4C/〃，故选：4.

二、填空题（共5小题，每题3分，共15分）

II.（3分）使得二次根式kl在实数范围内有意义的x的取值范围是G2.

解：•・•二次根式在实数范围内有意义，・・・x-220,解得x22.故答案为：x22.

12.（3分）比较大小：处二<2（填，，v”或

3---------3

7s12

解：VV4<V5<V9,/.2<V5<3；A1<V5-1<2,故答案为：V.

33

13.（3分）已知点4（m，3）与点A（-1,〃）关于原点对称，则〃的值为-2.

解：•・•点ACm,3）与点B（-1,〃）关于原点对称，

•〃=-3,

工加-〃=1+（-3）=-2,

故答案为：・2.

14.（3分）如图所示，£为长方形48co的边8c上的一点，将长方形ABC。沿直线QE折叠，使顶点。恰好落在

AB边上的点尸处.已知AO=8c〃?，BE=3cm,则图中阴影部分的面积为305『.

解：:四边形ARCO是矩形，

：.AD=BC=S(cm),AB=CD,

：.CE=BC-BE=5(cm),

•・•将长方形ABCD沿直线QE折叠.

：,DC=DF,CE=EF=5(cm),NC=NDFE=90°,

：.BF=VFF2-BE2=V25-9=4(c/n),

222

.\AD+AF=DFf

・・・64+(A3-4)2=AB2,

：.AB=\O(cm),

•"尸=6(cw),

・•・阴影部分的面积=1x6X8+1x3X4=30<c7；r),

故答案为：30c〃P.

15.(3分)在平面直角坐标系xOy中，点A、8分别在)，轴和x轴上，已知点A(0,4),以A8为直角边在A8左

侧作等腰直角△A3C,NC48=90°,当点3在x轴上运动时，连接0C,则AC+OC的最小值为_4通

解：由人点坐标得，。人=4,

过点4作x轴的平行线，分别过点C、8作），轴的平行线，交于G、H,CG交x轴于点M,如图，

•「△ABC是等腰直角三角形，NB4C=90°,

：,AB=AC,

/GAC+NHAB=9U0,

又•••NG4C+NGCA=90°,

ZHAB=ZGCA,

在△A〃3和△CGA中，

NHAB=Z.GCA

乙BHA=^AGC,

AB=CA

:叁丛CGA(AAS),

：,BH=AG,

•・•四边形0A”8是矩形得，BH=0A=4(8在x轴负半轴同理可说明),

・"G=4,

・・.G(-4,4)

点。在直线x=-4上运动，作点。关于直线x=-4的对称点。，

・・.OC=O'C=4,。0'=4+4=8,

.\AC+OC=AC+O'C.

当A,C,O'三点在一条直线上时，4C+0C的值最小值,

最小值为AO=>/A02+OO'2=V42+82=4V5.

故答案为：4A/5.

三、解答题（16题10分，17题8分，18题8分，19题8分，20题9分，21题8分，22题12分，23题12分，共

75分）

16.（10分）计算：

⑴号生+(e-1)(e+1).

(2)m+“-2|+J(-3)2-〔一肉.

解：(1)原式=3-2+2-1

=2：

(2)原式=-2+V5-2+3+V5

=2遥一1.

17.(8分)在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题:

已知。=舟5,求2/-8a+l的值，他是这样解答的；

,a=而I-(2+、③(2一月厂2-6，

/.a-2=-V3,

・•・(。-2)2=3,。2・4。+4=3,

a2-4a=-1.

，2/-8〃+1=2(/-4a)+]=2X(-1)+1=-1.

请你根据小明的解题过程，解决如下问题:

1「L

(1)~7=~~7==>/3—>/2；

x/3+V2——

1111

(2)化简：-p—+-p~-p+-p-p+•••+-----~^=；

V2+1\^+V2V4-V37169+7168

(3)若Q=丐12,求a?-4a+3的值.

1V3-V2r~r~

解：(1)—―=—=.—厂厂—=-y3—y2,

A/S+VZ(X/3+V2)('\/3—V2)

故答案为：V3-V2：

(2)原V2-1____________________.____、用-点_________________J169-」168______

八八二(S^2+1)(72-1)(、G+泛)(丁一左)(74+75x74^73)(/l694-vT68)(v|r169-vT68)

=V2—1+V3—V2+V4—V3+...+V169—A/168

=V169-1

=13-1

=12；

⑶,=高=解4/+2)=飓+2

*»a-2=>/54-2-2=V5,

(a-2)2=5,即J-4a+4=5,

Aa2-44=1,

A«2-4a+3=3+l=4.

yjk

的顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点上.

(1)写出A点的坐标(-4,0),C点的坐标(-2,4、；

(2)直接写出△A8C的面积为9:

(3)在网格中找一格点F,使△£>£/与△ABC全等，直接写出满足条件的所有尸点坐标(8,・1)或(2,5)

或(1,4).

解：(1)4点的坐标是(-4,0),C点的坐标是(-2,4),

故答案为：(-4,0),(-2,4)；

(2)ZX/WC的面积=4X5—掾x5X1一掾X3X3一掾x4X2=9,

乙乙乙

故答案为：9；

19.(8分)学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法,

小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数y=|x・1|-3的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，

请你补充完整.

(1)列表：

X-2-101234

y0-I-2a-2b0

则a=-3>b=-1；

(2)描点并画出该函数的图象；

(3)①观察困数图象，当x〃1时,y的值随x的值的增大而增大;

②观察函数图象，当・30W1时，x的取值范围是-34W5；

③观察函数图象，试判断函数），=lr-153是否存在最小值？若存在，直接写出最小值.

解：（1）函数y=|x-153,

•・,当x=l时，y=\\-1|-3=-3,

.*.«=-3,

•・•当x=3时，y=|3-1|-3=-1,

:・b=-1,

故答案为：-3,-1；

（2）函数y=|x-1|-3的图象如图所示：

（3）①观察图象可得，当工21时，），的值随x的值增大而增大，

故答案为：21；

②当y=l时，|x-1|-3=1,

解得：x=-3或5,

・•・结合图象观察可得，当・3W）W1时，・3WxW5,

故答案为：-3<xW5；

③观察图象可得，函数存在最小值，最小值为-3.

20.（9分）如图，四边形44co为某工厂的平面图，经测量A4=8C=AD=50机，CD=50V3?n,且NA8C=90°.

（1）求ND4B的度数；

（2）若直线4B为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点。处安装一个摄像头观察

车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为50〃?，通过计算说明道路AB被监控到的最大范围为多少

道路

t：AB=BC=AD=50m,NA8C=90°,

・•・△ABC足等腰直.角二角形，

：.AC=yjAB2+BC2=50A/2,/CAB=45°,

在△ACO中，4》+4。2=502+(5072)2=7500=CD2,

・•・△ACO是直角三角形，

，NC4O=90°,

・・・ND4B=90°+45°=135°；

(2)过点D作DE±AB于E,作点A关于DE的对称点F,连接DF,

由轴对称的性质，得：DF=DA=50m,AE=EF,

由(1)知，ZBAD=\35°,

/.ZDAE=45°,

•••△AOE是等腰直角三角形，

:.AE=DE=%AD=25yfl(in),

.\AF=2AE=50>/2(w),

・••被监控到的道路长度为50V2/n.

21.(8分)对于平面直角坐标系直川中的点A,给出如下定义：若存在点B(不与点A重合，且直线4B不与坐标

轴平行或重合)，过点A作直线〃?”X轴，过点B作直线〃〃y轴，直线〃?，〃相交于点C.当线段AC,BC的长

度相等时，称点8为点A的等距点，称三角形ABC的面积为点/1的等距面积.例如：如图，点A(2,1),点8

9

(5.4),因为所以R为点4的等距点，此时点4的等距面积为二.

(1)点A的坐标是(0,-1),在点以(・1,0),&(2,1),B3(・1,・1)中，点4的等距点为与，历

(2)点4的坐标是(3,1),点八的等距点8在第四象限.

①若点B的坐标是以，b),求〃的值及此时点A的等距面积；

9

②若点人的等距面积不大于不直接写出此时点B的横坐标I的取值范围.

O

解：(1)过点4作平行x轴的直线与过点以和82作平行)，轴的直线交于点B3,Q，如图1所示：

y

5

4

3

2

>1

B,

•・•点A(0,I),点Bi(-1,0),B2(2,1),83(-1,-1),

：,AQ=B2Q=2,

即B2是点A的等距点，

同理A83=8I83=1,

即日是点A的等距点，B3不是点A的等距点，

故答案为：Bi,B2；

(2)①如图2,根据题意，可知AC_L8C

9

VA(3,1),B(一，b),

2

当4C=BC,

9

-

2-)h,

92

-

2>

U

11339

=X-

----一

22228

9

・••点•的等距面积为不

8

9

②•••点A的等距面积不大于不

8

19

--

28

3

：,AC=BC<^,

如图3,根据①作全等的等腰直角aABC和等腰直角△AB'C,

：.t-3<.或3・

39

解得：-<t<-.

22

22.(12分)四边形480是正方形,且A8=br=CO=C4=6.ZA=ZABC=ZBCD=ZCDA=90Q.点E是直

线AD上的一点，连接CE,以CE为一边作正方形CEFG(C、E、尸、G四个点按照逆时针方向排序)，连接8E,

(1)如图1,当点石在线段AQ上时，探究线段GQ与线段BE的数量关系和位置关系，并说明理由;

(2)如图2,当点E在线段AQ的延长线上，且AE=9时，连接C",直接写出。，的长度；

(3)若AE=3,则点尸到GH的距离为竺或巴普.

一5一5一

解：(I)GD=BE,GDIBE,理由如下：

•••四边形ABC。、CEFG是正方形，

：,CB=CD,CE=CG,ZBCD=Z.ECG=ZADC=90°,AD//BC,

则/BCD-ZDCE=/ECG-ZDCE,NEBC=ZHED,

ZBCE=/DCG,

:.△BCEgADCG(SAS),

:.GD=BE,NEBC=NGDC,

VZGDC+ZA7DE=180°-NAOC=90°，

；・/UDE+/UED=90°,

・•・/”=90°,

即GD±BE；

(2)同(I)可知，ABCE会XDCG,DG=BE,DGLBE,

则S"CE=S"CG,

如图，过点C作CP_L4区CQLDG,连接CH,

,S^BCE=z'E■CP，S»DCG=.CQ，

：,CP=CQ,

则CH平济NBHG,

:・/CHP=NCHQ=45°,

则ACPH为等腰直角三角形，

；,CP=PH,

在正方形A8CO中，AB=BC=CD=DA=6,NA=NAOC=90°,

则NCDE=90。,

VAE=9,

则DE=3,

：,BE=y/AB2+AE2=3713,

11

•・・SA8CE=18ECP=”C・CD,

.「八BCCD6x612同

•・CP=-^=57T5=^-'

：,CH=7cp2+PH2=y[2CP=招后：

JLO

(3)•・•四边形A8c。是正方形，四边形FGCE是正方形，

:・CD=CB,CG=CE,NGCE=/DCB=90°,

・•・/GCD=/ECB,

/.△GCD^AECfi(SAS),

当点内在线段A。卜时.如图.过点尸作打VIG〃于点M过点。作UMIG〃于点机

cB

•・・AE=3,A8=6,

：,AD=CD=AB=6,DE=AD-AE=3,

：.BE=y/AE2+AB2=3V5,CE=7CD?+DE2=3V5,

：,CC=CE=3V5,

：,BE=DG=3V5,

VZFGC=90°,

：,ZFGD+ZDGC=9Q0,/FGD+/GFN=9G,

/.ZGFN=ZDGC.

•：FG=GC,NFNG=/CMG=90°,

:•△FGNgAGCM(AAS),

:,FN=GM,

t：CM1=CG1-GM2,CM2=CD2-MD2,

，45-GM?=36-(3V5-GM)2,

•小_n后

••GM——~,

J点F到GH的距离FN=华：

J

当点E在点A右侧时，如图，过点尸作FN_LGH于点N,过点C作CMJ_GH于点M,

•••4E=3,AB=6,

：.AD=CD=AB=6,DE=AD+AE=9,BE=>JAE2+AB2=3V5,

:・CE=y/CD2+DE2=3>/13,

：.CG=CE=3V13,

";△GCDWAECB,

:・BE=DG=3瓜

VZFGC=90°,

AZFGD+ZDGC=90°,NFGgNGFN=9()°,

:,NGFN=NDGC,NFNG=4CMG=90°,FG=CG,

:AFGN学AGCM(AAS),

:,FN=GM,

VCM2=CG2-GM2,CM2=CD1-MD1,

A(3\/13)2-GM2=62-(3V5-GM)2,

・・・GM=鲁遥，

・•・点F到GH的距离