山东省潍坊市高密市2025-2026学年八年级下学期期末数学试题（试卷+解析）

八年级数学

2026.07

注意事项：

1.本试题满分120分，考试时间为120分钟；

2.答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚；

3.请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置.

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分.每个小题四个选项中只有一项正确）

1.围棋起源于中国.下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.6B.-6C.12D.-12

3.如图，将周长为15cm的△力6C沿射线C8向左平移2cm,得到则四边形4QEC的周氏是

（）

DA

EBFC

A.17cmB.19cmC.21cmD.23cm

4.对于一次函数y=-2x+4,下列说法错误的是（）

A.图象经过第一、二、四象限B.V随X的增大而减小

C,图象与y轴的交点为（0,4）D.当x<2时，y<0

5.为了解某校八年级学生每周的阅读时间，数学兴趣小组随机调杳了部分同学，绘制了如图所示的统计图,

这组数据的中位数和众数分别是（）

24610时间（小时）

A,中位数是6,众数是8B.中位数是13,众数是20

C.中位数和众数都是8D.中位数是25,众数是20

6.如图，在矩形力中，对角线4C,4。相交于点。，点石，尸分别是力。，力。的中点.若

4B=5,BC=T2,则石尸的长是（)

13「VH9

A.—B.—

424D岑

7.漏刻是我国古代的一种计时工具.据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数

思想的创造性应用.小痉同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位。

（cm）与时间，（min）满足函数关系.水位分（cm）与时间f（min）的实验数据如下表:

数据记录第1次第2次第3次第4次•••

t(min)0246•••

h(cm)22.83.64.4•••

下列说法错误的是（）

A.在实验开始时，水位是2cmB.4与1成一次函数关系

C.第7次数据记录时，水位应为6.8cmD.当水位为l（）cm时，对应实验的时间是lOmin

8.小亮参加校园象棋挑战赛，共进行了12场比赛.积分统计小组根据小亮这12场比赛的得分绘制了如下

箱线图，下列说法正确的是（)

A,比赛最低分是44分B.比赛得分的中位数是50

C.44〜45分之间的数据相对集中D.比赛得分的第三四分位数是45

9.己知关于x的一次函数必=*+〃和刈=如+力的图象如图所示，下列结论错误的是（）

A.ab>0

B.a+b<m+n

C.2（a-m）=b—n

D.点P（X［，M）,。（々，"）是直线必=ax+6上不重合的两点，则（X一工2）（弘一外）>。

10.如图表示某文创产品30天的销售情况，图①是该产品日销售量V（件）与日期/（日）的函数图象，图

②是该产品单件的销售利润w（元）与日期/（日）的函数图象，已知“日销售利润二日销售量x单件销售

利润”.下列结论错误的是（

图①图②

A.第30天的销售量为150件B.第10天销售一件产品的利润是15元

C.第10天和第20天的R销售利润相等D.从第20天至第25天，日销售利润逐渐增大

二、填空题（共5小题，每小题3分,共15分，只要求填写最后结果）

II.如图，口X8CO的对角线力C、8。相交于点。，请你添加一个条件使044。。成为矩形，这个条件可

12.如图，在3x3正方形方格中，已有三个小正方形被涂上阴影，将一个空白的小正方形涂上阴影，使它

与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有种.

13.若关于x的一次函数y=ar+2a-3的图象经过第一、三、四象限，则。的取值范围是.

14.如图，将绕顶点C逆时针旋转36。得到△4*C,且点8刚好落在上.若乙4=26。，则

15.如图，在平面直角坐标系中，点4，4，4，4…在X轴上且。4=1，。4=2。4,

。4=2。4,=20A.,…，按此规律，过点4,4，4…作x轴的垂线分别与直线y=x交于

OA4A,

三、解答题（共8小题，共75分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

16.解答题

（1）计算：2历-后;

（2）当x=2-J而时，求代数式（x+3）（7-x）的值.

17.已知直线卜二一九一2与直线，=x一机相交于点彳（〃,一3）.

（1）求，〃和〃的值;

x+y=-2

（2）求方程组《的解.

x-y=m

18.为优化乡村旅游体验，文旅局随机抽取游客对两条乡村旅游线路开展百分制满意度调查，线路力为“山

林田园采摘线”，线路8为“湖畔民俗休闲线

【收集与整理】

每条线路收集了20份有效评分，并对数据整理如下：

线路A的评分情况

线路B的评分情况

分数（分）75788286909497100

人数（人）3■7423231

其中线路力的86〜90分段评分的具体数值为：88,90,87,86,89,88,90,87.

【描述与分析】

两条旅游线路评分的统计量（平均数、众数、中位数、方差）及箱线图如下：

线路平均数众数中位数方差

A86.592b21.15

BCa8664.25

线路A和线路B评分箱线图对比

分数

1004........................................

95...............—……

90・--•一■•••

§50•••---

80...................■---

.।

75..........................................—............

70-1------------1------------------1-------------

线路A线路B

根据以上信息，I可答下列问题：

（1）统计表中。二,b=；

（2）求出统计表中。的值：

（3）请结合统计量及箱线图对线路4,〃的评分情况进行分析.

19.如图，4c是。N8CO的一条对角线，点后，R分别在C/和/C的延长线上，且/E=C/,请判断

四边形月刊力的形状，并说明理由.

20.如图，在平面直角坐标系中，已知点4（7,0）,8（-2,3）,C（-3,2）.

'4

fJ

54-i-2-|oliii4$5

（l）描出点,4,R,C,并画出△力AC；

（2）将△ABC向右平移4个单位得到△44G,再画出△44G关于点。成中心对称的△44G；

（3）若尸（加,〃）为△48C边上一点，经过（2）中的两次变换后对应点为。，则。的坐标为.

21.如图，直线/"y=2x+2与坐标轴交于力，4两点，与过点C（5,o）的直线交于点。，且

AD=AB.

（1）求点。的坐标和直线4的解析式；

（2）求△3QC的面积；

（3）在V轴上是否存在点P,使尸C+P。最小？若存在，请直接写出PC+尸。的最小值；若不存在，

请说明理由.

22.为筹备2026年校园科技节，学校计划采购智能音箱和编程积木套装.已知智能音箱的单价比编程积木

套装的单价多80元，用7200元购买智能音箱的数量和用6000元购买编程积木套装的数量相同.

（I）智能音箱和编程积木套装的单价分别是多少元？

（2）学校计划购买两种物品共15件，且购买编程积木套装的数量不超过智能音箱数量的2倍，则购买智

能音箱和编程积木套装各多少件时，费用最少？最少费用是多少元？

23.【问题背景】

在A/BC中，AB=AC,=a.点。是平面内任意一点（不与8,。重合），连接4。并将线段

4。绕点力逆时针旋转得到线段力E,连接C£.

图①图②图③

【初步探究】

（1）如图①，点D在边4c上，则线段与。和线段CE的数量关系是

【类比探究】

（2）如图②，点。在△/8C内，延长交4C于点/，交线段CE于点夕，求/BPC的大小（用含

。的代数式表示）；

【拓展延伸】

（3）如图③，在AMNP中,ZMPN=90°t/MNP=30。，MP=6,。是边N尸上的任意一点，连接

MD,将线段用。绕点〃逆时针旋转60。，得到线段连接尸石，请直接写出线段尸E的最小值.

八年级数学

2026.07

注意事项：

1.本试题满分120分，考试时间为120分钟；

2.答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚；

3.请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置.

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分.每个小题四个选项中只有一项正确）

1.围棋起源于中国.下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根据中心对称图形是图形旋转180。后能与原图形重合，轴对称图形有对称轴，沿对称轴折叠后图

形两部分可重合，即可选出正确选项.

【详解】A、此图形旋转180。后能与原图形重合，故此图形是中心对称图形，有对称轴，也是轴对称图形,

故此选项正确.

B、此图形旋转180。后能与原图形重合，故此图形是中心对称图形，没有对称轴，不是轴对称图形，故此

选项错误.

C、此图形旋转180。后不能与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，有对称轴，是轴对称图形，故

此选项错误.

D、此图形旋转180。后不能与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，没有对称轴，不是轴对称图

形，故此选项错误.

2.（一26丫等于（）

A.6B.-6C.12D.-12

【答案】C

【解析】

【分析】利用积的乘方运算法则将原式拆分，再结合二次根式的性质化简即可得到结果.

【详解】解：12百y二（-2）2x（省）2=4x3=12.

3.如图，将周长为15cm的△43C沿射线C3向左平移2cm,得到△〃环.则四边形力。£。的周氏是

B.19cmC.21cmD.23cm

【答案】B

【解析】

【分析】根据平移的特点得4。=3=3£=2cm,AB=ED,将四边形的周长分解为

/C+BC+AE+EO+A。的形式，其中4。+4。+皮>=48+4。+力。为448。的周长.

【详解】解：•••△OE/是A/BC向左平移2cm得到的,

AD=CF=BE=2cm,AB=ED，

・•・四边形/QEC的周长为:

>

AC+BC+BE+ED+AD=(AB+BC+AC)+(<AD+BE)=]5+2+2=]9(cm).

4.对于一次函数y=-2x+4,下列说法错误的是（）

A.图象经过第一、二、四象限B.P随k的增大而减小

C.图象与歹轴的交点为（0,4）D.当x<2时，y<0

【答案】D

【解析】

【分析】根据一次函数的性质，结合〃和〃的取值，逐项分析函数图象位置，增减性，交点坐标和函数值范

围，即可判断错误选项.

【详解】解：已知一次函数y=-2x+4,其中〃=一2<0,6=4>0,

A.丁k<0,Z）>0,

..•图象经过第一、二、四象限，不符合题意；

B.•••&=—2<0,

「•J随x的增大而减小，不符合题意;

C.令x=0,得y=4,

图象与y轴的交点为（o,4）,不符合题意:

D.令y=0,得一21+4=0,

解得x=2,

,/A<0,

二•J'随x的增大而减小,

..・当x<2时，y>0,符合题意.

数学兴趣小组随机调杳了部分同学，绘制了如图所示的统计图,

B,中位数是13,众数是20

C.中位数和众数都是8D.中位数是25,众数是20

【答案】C

【解析】

【分析】众数是在一组数据中出现次数最多的数据，中位数是将一组数据按大小依次排列，把处在最中间

位置的一个数据或者最中间两个数据的平均数叫这组数据的中位数，据此进行解答.

【详解】解：由图可得数据总数为3+8+13+20+6=50,

・♦・中位数为第25和26个数据的平均数，

•条形统计图是按从小到大的顺序排列的，前3组的和为3+8+13=24,前4组的和为

3+8+13+20=44，

・•・第25和26个数据落在第4组,即中位数是8（小时）；

•••条形统计图中出现频数最大的条形对应第四组，

故众数是8（小时）.

6.如图，在矩形4BCO中，对角线4C,8。相交于点。，点后，产分别是力。，力。的中点.若

AB=5,8c=12,则E产的长是（）

「#19口VH9

(✓・-----------U.

42

【答案】A

【解析】

【分析】根据矩形的性质，勾股定理得到BD=4C=LB、BC2=\3,结合矩形的性质得到

00=380,再利用三角形中位线定理，得EF=；OD=；BD,解答即可.

【详解】解：:在矩形48CQ中，对角线NC、8。相交于点。，

.\ZADC=90°,OD=-BD=-AC,

22

•：,4B=5,BC=\2,

•*-BD=AC=《AB、BC2=13,

・・•点E、二分别是N。、力。的中点,

：.EF=-OD=-BD,

24

••EF=—・

7.漏刻是我国古代的一种计时工具.据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数

思想的创造性应用.小亮同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位〃

(cm)与时间/(min)满足函数关系.水位〃(cm)与时间/(min)的实验数据如下表：

数据记录第1次第2次第3次第4次•••

t(min)0246•••

h(cm)22.83.64.4•••

下列说法错误的是（）

A.在实验开始时，水位是2cmB.〃与，成一次函数关系

C.第7次数据记录时，水位应为6.8cmD.当水位为10cm时，对应实验的时间是lOmin

【答案】D

【解析】

【分析】结合表格的数据分析，并求出4与，的函数关系式即可判断各选项.

【详解】解：选项A：当/=0时，h=2cm,符合表格数据，故A正确，不符合题意；

选项B：由表格中数据知，时间每增加2分钟，〃增加0.8cm,故〃与，成一次函数关系，故B正确，不符

合题意；

选项C：设方与/的函数关系式为〃=七+〃，当，=0时，A=2；当，=2时，A=2.8

'2.8=2k+b

：,<

kb=2

伏=0.4

解得Ir

b=2

：.h=0At+2

第7次数据记录时，f=2x（7-l）=12,对应6=0.4xl2+2=6.8（cm）,故C正确，不符合题意:

选项D：当0=10cm时，0.4/+2=10,解得，=20min,故D错误，符合题意.

8.小亮参加校园象棋挑战赛，共进行了12场比赛.积分统计小组根据小亮这12场比赛的得分绘制了如下

箱线图，下列说法正确的是（）

分值/分

A.比赛最低分是44分B.比赛得分的中位数是50

C.44〜45分之间的数据相对集中D.比赛得分的第三四分位数是45

【答案】C

【解析】

【分析】根据箱线图逐项分析即可得出结果.

【详解】解：由箱线图可得，比赛最低分低于44分，故A选项错误：

比赛得分的中位数位是45,故B选项错误；

44〜45分之间的数据相对集中，故C选项正确：

比赛得分的第三四分位数是50,故D选项错误.

9.已知关于x的一次函数必〃和必=奴+力的图象如图所示，下列结论错误的是（）

A.ab>0

B.〃+〃

C.2（Q-m）=6-〃

D.点尸（再,必），。（々，为）是直线线=亦+6上不重合的两点，则（占一々）（必一％）>0

【答案】D

【解析】

【详解】y=〃?x+〃的图象从左到右上升，则〃7>o：与y轴交点在正半轴，则〃>0.

力=G+b的图象从左到右下降，则。<0；与，轴交点在负半轴，则力<0.

对于A,Z?<0,：.ab>0,选项A正确，不符合题意；

对于B,当x=1时，M=〃?+〃，y2=a+b,此时凹的图象在外的上方，即必>为，

：.a+b<m+n,选项B正确，不符合题意；

对于C,已知两条直线的交点横坐标是工=-2,

当x=-2时,必=必，即一2"?+n=—2a+b,

2a-2m=b-n,

:.2（a-m）=b-nf选项C正确，不符合题意；

对于D,a<0,

/.y2随x的增大而减小,

若士＞々，则必＜力，此时阳一X2＞0，凹一为＜0，则（引一々）（必一无）＜°，

若士＜工2，则%＞%，此时王一々＜0，乂一为＞0，则（王一马）（必一歹2）＜°，

，&-々）（必一必）＜0,选项D错误，符合题意.

10.如图表示某文创产品30天的销伐情况，图①是该产品口销出量N（件）与口期，（口）的函数图象，图

②是该产品单件的销售利润卬（元）与日期，（日）的函数图象，已知“日销售利润=日销售量X单件销售

利润下列结论错误的是（

图①图②

A.第3（）天的销售量为150件B.第10天销售一件产品的利润是15元

C.第10天和第20天的日销售利润相等D.从第20天至第25天，日销售利润逐渐增大

【答案】■

【解析】

【分析】由函数图象即可判断A正确；求出当0Wf＜20时，w=—Z+25,即可判断B正确；求出当

04/425时，^=4/+100,即可判断C错误；山函数图象即可判断D正确.

【详解】解：由图①得第30天的销售量为150件，故A说法正确;

设当0金工20时，w=kt+b(k^0)t

、/、]20k+Z?=5

将（0,25）,（20,5）代入解析式得「*,

匕二25

k=-\

解得L…

6=25

，当0V/W20时，卬=一1+25,

当1=1（）时，W=—10+25=15,即第10天销售一件产品的利润是15元，故B说法正确;

设当0＜，＜25时，〃（加工0）,

将（0,100）,（25,200）代入解析式得〈sc，

n=100

m=4

解得

/?=100

工当041V25时,^=4r+l00,

当》二10时，y=4x10+100=140,

当1=20时，y=4x20+100=180,

由图②得，第20天销售一件产品的利润为5元，

故第10天的日销售利润为140x15=2100（元），

第20天的日销售利润为180x5=900（元），故C说法错误：

由图②得从第20天至第25天销售一件产品的利润不变，均为5元，由图①可得，从第20天至第25天日

销售量逐渐增大，故从第20天至第25天，日销售利润逐渐增大，故D说法正确.

二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分，只要求填写最后结果）

11.如图，。48CQ的对角线4C、3。相交于点。，请你添加一个条件使。力8C。成为矩形，这个条件可

【答案】AC=BD（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据矩形和平行四边形的关系即可解答.

【详解】解：对角线相等的平行四边形是矩形，即4C=BO；

有一个角是直角的平行四边形是矩形，即N4BC=90。，…….

12.如图，在3x3正方形方格中，己有三个小正方形被涂上阴影，将一个空白的小正方形涂上阴影，使它

与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有种.

【答案】3

【解析】

【分析】把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这人图形就叫做

中心对称图形，依据中心对称图形的定义进行判断即可.

【详解】解：如图所示，涂黑一个小正方形，使四个涂黑的小正方形构成的图案是中心对称图形，则不同

的涂法有3种.

13.若关于打的一次函数>="+2。-3的图象经过第一、三、四象限，则。的取值范围是,

3

【答案】0<。<一

2

【解析】

【分析】对于一次函数y=京+/，(%为常数，攵工0),当人>(),6<()时，y=丘+6的图象经过第

一、三、四象限，据此列出不等式组求解即可.

【详解】解：.•・关于x的一次函数y=ax+2c/-3的图象经过第一、三、四象限，

a>0

「2"3<0'

解不等式2。-3<0,

可得：a<—,

2

3

0<a<一.

2

14.如图，将△48C绕顶点C逆时针旋转36。得到△H8'C,且点8刚好落在上.若/4=26。，则

【答案】460

【解析】

【分析】由旋转的性质可得/BC3'=N4C4=36。，BC=B'C,/ABC=NB二由等边对等角并结合

三角形内角和定理可得/48C=/8'=72。，求出N/C8=820,即可得出结果.

【详解】解：由旋转的性质可得N8C8'=N4cH=36。，BC=B,C,4ABe=/B',

..”,二幽卫里m。，

2

・•・/ABC=ZB'=72°,

•・・”二26。，

/ACB=\80°-N4—/ABC=82°,

・•・NBCA'=NACB-ZACA1=46°.

15.如图，在平面直角坐标系中，点4，4，4，4…在x轴上且。4=1，。4=2。&,

。4=2。4，04=204,…，按此规律，过点4，4，4，4…作”轴的垂线分别与直线歹=工交于

点与，层，层，B「…,则与作的坐标是.

【解析】

【分析】根据已知先求出。。的长，再代入直线中，分别求出用，

4，OA3,4y=x4A处,43，

4段,然后分别计算出4（2°,2°）,层（212）,与（22,22）,当（22,2）,推出纥（2”工21）.

【详解】解：・・・。4=1,04=20%,

・・.。4=2,

■:OAy=2OA2,

OA3=4,

・.・。4=2。4,

・・・。4=8,

把工=1代入直线y=x中可得：y=l,

・・.4与=1,则片（1,1）,即A（2°,2°）,

把工=2代入直线y=x中可得：y=2,

AA2B2=2,则灰（2,2）,即层（2：2）,

把工=4代入直线歹=工中可得：y=4,

・・・4鸟=4,则与（4,4）,即四（22,22）,

把工=8代入直线）'=工中可得：y=8,

・・・/84=8,则8/8,8）,即劣（2:23）,

・••纥（2”[2小），

・D/920252025\

••°2026，乙?）­

三、解答题（共8小题，共75分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

16.解答题

（1）计算：28一历；

（2）当x=2-而时,求代数式（x+3）（7-x）的值.

【答案】（1）G

（2）15

【解析】

【分析1（1）先利用二次根式的性质进行化简，再计算减法即可得出结果；

（2）将x=2-后代入所求式子，并结合平方差公式计算即可得出结果.

【小问1详解】

解：2届-历

=40-36

=；

【小问2详解】

解：x=2-VFo>

/.（x+3）（7-x）

=（2-Vw+3）［7-（2-V10）］

=（5-Vio）（5+7io）

=25-10

=15.

17.已知直线y=-x-2与直线y=x-m相交于点4（%-3）.

（1）求"1和〃的值；

fx+y=-2

（2）求方程组《的解.

［x-y=m

【答案】（1）加=4,n=\

x=1

⑵1歹二-32

【解析】

【分析】（1）将力（〃,一3）代入y=-x-2中，求得〃=1,再将彳（1,一3）代入歹=x-〃i中，即可求得

m=4.

（2）代入小=4,即求两条直线的交点，进而求解即可.

【小问1详解】

解：•••点一3）是直线歹=一工一2上一点，

...当y=-3时，-3二-〃一2,

77=1>

•・•点力(1,—3)在直线y=x-〃7上,

1-m=-3

•••m=4.

【小问2详解】

解：V7H=4,

y=-x-2

・••方程组为

y=x-4

即求直线丁二一工一2与直线少=/一加的交点力（1,一3）,

x=1

J=-3

18.为优化乡村旅游体验，文旅局随机抽取游客对两条乡村旅游线路开展百分制满意度调查，线路彳为“山

林田园采摘线”，线路8为“湖畔民俗休闲线

【收集与整理】

每条线路收集了20份有效评分，并对数据整理如下：

线路A的评分情况

/氤/罗80分

（

86〜90分8[〜85分）

\30%/

线路B的评分情况

分数（分）75788286909497100

人数（人）32423231

其中线路力的86〜90分段评分的具体数值为：88,90,87,86,89,88,90,87.

【描述与分析】

两条旅游线路评分的统计量（平均数、众数、中位数、方差）及箱线图如下:

线路平均数众数中位数方差

A86.592b21.15

BCa8664.25

线路A和线路B评分箱线图对比

分数

1004......................................

95..............丁……--

85■••••••

80..................■---

.।

75.....................................—..............

70-1------------1-----------------1-------------

线路A线路B

根据以上信息，回答下列问题：

（1）统计表中。=,b=

（2）求出统计表中。的值;

（3）请结合统计量及箱线图对线路力，8的评分情况进行分析.

【答案】（1）82,87

（2）86.5

（3）解.：从平均数来看，说明线路4平均满意程度与线路4相同；

从众数来看，线路4中92分＞82分，说明线路4大众满意度优于线路8：

从中位数来看，87分＞86分，在箱线图中也能说明线路/的中等水平好于线路8：（只要写巴一条合理信

息即可）

从箱线图可以看出：力线路中位数高，箱体短，数据集中，说明力线路整体口碑好，游客评价高；8线路

中位数低，箱体长，数据分散，整体评分不高，评价差异较大

【解析】

【分析】（1）根据众数、中位数的定义求出结果即可；

（2）根据平均数的定义求出结果即可；

（3）根据两条线路的平均数、众数、中位数，箱线图得出评分“青况的结果.

【小问1详解】

解：线路8收集的评分中出现次数最多的是。二82,

20x（10%4-30%）=8,

线路/的评分按照从小到大的顺序排列,第10个数和第11个数都是87,

Z?=-x（87+87）=87；

【小问2详解】

575x3+78x2+82x4+86x2+90x3+94x2+97x3+100x1“

解：c=-----------------------------------------------=86.r5

【小问3详解】

略

19.如图，4c是口/4C7）的一条对角线，点石，厂分别在C4和4C的延长线上，且4E=CF,请判断

四边形瓦?尸。的形状，并说明理由.

【答案】四边形£6五。为平行四边形，理由如下:

连接30,交力。于点O,

•••匹边形48。。为平行四边形，

AO=CO,BO=DO；

又•.AE=CF,

AO4-AE=CO+CF,

•••EO-FO»

•••匹边形为平行四边形.

【解析】

【分析】由平行四边形的性质可得4。=。。，BO=DO,结合题意得出石。二/。，再由对角线互相平

分的四边形为平行四边形即可得证.

【详解】略.

20.如图,在平面直角坐标系中,已知点4(7,0),8(-2,3),C(-3,2).

(1)描出点4,B,C,并画出△Z8C；

(2)将△44C向右平移4个单位得到用G,再画出片G关于点。成中心对称的:

(3)若产(加,〃)为△48。边上一点，经过(2)中的两次变换后对应点为。，则。的坐标为

【答案】(1)点力，B,C,△/BC即为所求,

(2)△44G，△4/G即为所求,

【解析】

【分析】（1）先描点，再连线即可得出△ABC；

（2）根据平移的性质即可作出八41用G，根据中心对称图形的性质即可作出△4打。2；

（3）根据坐标平移的法则，以及成中心对称图形的性质求解即可.

【小问1详解】

略；

【小问2详解】

略；

【小问3详解】

解：・；P（m,n）为"BC边上一点,经过（2）中的两次变换后对应点为。，

二点。的坐标为（一（，〃十4）,一〃），即（一〃/一4,一〃）.

21.如图，直线小y=2x+2与坐标轴交于力，8两点，与过点C（5,0）的直线4交于点。，且

AD=AB.

(1)求点。的坐标和直线4的解析式；

(2)求△3QC的面积；

(3)在V轴上是否存在点P,使尸C+P。最小？若存在，请直接写出PC+尸。的最小值；若不存在，

请说明理由.

【答案】(1)点O的坐标为(1,4),y=-x+5

(2)12(3)存在，最小值是2小

【解析】

【分析】(1)利用AAS证明g△B。％,得到OE=O8=1,求得。(1,4),然后利用待定系数法求

直线的解析式；

(2)根据三角形面积公式求解即可：

(3)作点。关于V轴的对称点。'，连接CQ'交N轴于点尸，求得尸C+尸。的最小值为CQ’的长，由勾

股定理求CQ'的长即可.

【小问1详解】

解：•・•直线小y=2x+2与坐标轴交于力，8两点，

令工=0,y=2,

・•・4(0,2),

令y=0,x=-l,

A5(-1,0),

如图，过点。作y轴的垂线,

/l｝：y=2x-^2

E次

F。、、

VAD=AB，

又•••NEAD=NOAB,/DEA--ZBOA,

JA。"g△BN(AAS),

DE=OB=1,

・••点。的横坐标为1,

将工=1代入y=2x+2中得y=-4,

二D(l,4),

设直线4的解析式为歹=云+8，经过C(5,0)和。(1,4),

f5k+b=0(k=-\

・•・、,.，解得，:，

k+b=4(b=5

・•・直线4的解析式为》=一工+5

【小问2详解】

C(5,0),5(-1,0),

:.A8OC的面积=]x6x4=12；

【小问3详解】

解：作源。关于V轴的对称点。连接c/y交y轴于点产，

//i：y=2r+2

21\/D

/X(5,0).

/B。\广

此时PD=PD',

・•・PC+PD=PC+PD'=CD',即0C+PD的最小值为C。'的长,

・•・PC+PQ的最小值是2J五.

22.为筹备2026年校园科技节，学校计划采购智能音箱和编程积木套装.已知智能音箱的单价比编程积木

套装的单价多80元，用7200元购买智能音箱的数量和用6000元购买编程积木套装的数量相同.

（1）智能音箱和编程枳木套装的单价分别是多少元？

（2）学校计划购买两种物品共15件，且购买编程积木套装的数量不超过智能音箱数量的2倍，则购买智

能音箱和编程积木套装各多少件时，费用最少？最少费用是多少元？

【答案】（1）智能音箱的单价为480元，编程积木套装的单价是400元.

（2）购买智能音箱的数量为5件，编程积木套装的数量为10件时花费最少，最少费用是640。元.

【解析】

【分析】（1）先设编程积木套装的单价是x元，再根据题中条件列出分式方程，求解并检验，即可得到两

种物品的单价.

（2）先设购买编程