6.三角恒等变换

1/16.三角恒等变换1.（2024·全国甲卷8题）已知cosαcosα－sinα＝3，则tan（αA.23＋1 B.23－1C.32 D.1－解析：B根据题意有cosα－sinαcosα＝33，即1－tanα＝33，所以tanα＝1－33，所以tan（α＋π4）＝tanα2.（2024·新高考Ⅰ卷4题）已知cos（α＋β）＝m，tanαtanβ＝2，则cos（α－β）＝（）A.－3m B.－mC.m3 D.3解析：A因为cos（α＋β）＝m，所以cosαcosβ－sinαsinβ＝m，而tanαtanβ＝2，即sinαsinβcosαcosβ＝2，所以sinαsinβ＝2cosαcosβ，故cosαcosβ－2cosαcosβ＝m，即cosαcosβ＝－m，从而cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝3cosαcosβ3.（2023·新高考Ⅱ卷7题）已知α为锐角，cosα＝1+54，则sinα2A.3－58 C.3－54 解析：D∵α为锐角，∴α2为锐角，∴sinα2＞0.又cosα＝1－2sin2α2，∴sinα2＝1－cosα2＝1－1+4.（2025·全国Ⅱ卷8题）已知0＜α＜π，cosα2＝55，则sin（α－πA.210 BC.3210解析：Dcosα＝2cos2α2－1＝2×15－1＝－35，因为0＜α＜π，所以sinα＝45，所以sin（α－π4）＝22（sinα－cosα）＝5.（2022·新高考Ⅱ卷6题）若sin（α＋β）＋cos（α＋β）＝22cosα＋π4sinβ，则A.tan（α－β）＝1 B.tan（α＋β）＝1C.tan（α－β）＝－1 D.tan（α＋β）＝－1解析：C由题意得sinαcosβ＋sinβcosα＋cosαcosβ－sinαsinβ＝22×22（cosα－sinα）sinβ，整理，得sinα·cosβ－sinβcosα＋cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，即sin（α－β）＋cos（α－β）＝0，所以tan（α－β）＝－1，故选6.（2021·新高考Ⅰ卷6题）若tanθ＝－2，则sinθ（1+sin2A.－65 B.－C.25 D.解析：C法一（通解）因为tanθ＝－2，所以角θ的终边在第二、四象限，所以sinθ＝25，cosθ＝－15或sinθ＝－25，cosθ＝15，所以sinθ（1+sin2θ）sinθ＋cosθ＝sinθ法二（优解）因为tanθ＝－2，所以sinθ（1+sin2θ）sinθ＋cosθ＝sinθ（sinθ＋cosθ）2sinθ＋cosθ7.（2023·新高考Ⅰ卷8题）已知sin（α－β）＝13，cosαsinβ＝16，则cos（2α＋2β）＝（A.79 B.C.－19 D.－解析：B因为sin（α－β）＝13，所以sinαcosβ－cosαsinβ＝13.因为cosαsinβ＝16，所以sinαcosβ＝16＋13＝12，所以sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝12＋16＝23，所以cos（2α＋2β）＝cos2（α＋β）＝1－2sin2（α＋β）＝18.（多选）（2021·新高考Ⅰ卷10题）已知O为坐标原点，点P1（cosα，sinα），P2（cosβ，－sinβ），P3（cos（α＋β），sin（α＋β）），A（1，0），则（）A.｜｜＝｜｜B.｜｜＝｜｜C.OA·＝·D.OA·＝·解析：选AC由题可知，｜｜＝cos2α＋sin2α＝1，｜｜＝cos2β＋(-sinβ）2取α＝π4，则P122，22，取β＝5π4，则P2－22，22，则因为OA·＝cos（α＋β），·＝cosαcosβ－sinαsinβ＝cos（α＋β），所以OA·＝·，故C正确；因为OA·＝cosα，·＝cosβcos（α＋β）－sinβsin（α＋β）＝cos（α＋2β），取α＝π4，β＝π4，则OA·＝22，·＝cos3π4＝－22，所以OA·≠·，故D错误.故选A、C.9.（2023·全国乙卷14题）若θ∈（0，π2），tanθ＝12，则sinθ－cosθ＝答案：－5解析：由tan2θ＝sin2θcos2θ＝1－cos2θcos2θ＝14，得cos2θ＝45.因为θ∈（0，π2），所以cosθ＝25510.（2024·新高考Ⅱ卷13题）已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα＋tanβ＝4，tanαtanβ＝2＋1，则sin（α＋β）＝.答案：－2解析：法一由题意得tan（α＋β）＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝41-(2+1）＝－22，因为α∈（2kπ，2kπ＋π2），β∈（2mπ＋π，2mπ＋3π2），k，m∈Z，则α＋β∈（（2m＋2k）π＋π，（2m＋2k）π＋2π），k，m∈Z，又因为tan（α＋β）＝－22＜0，则α＋β∈（（2m＋2k）π＋3π2，（2m＋2k）π＋2π），k，m∈Z，则sin（α＋β）＜0，则sin（α＋β）cos（α＋法二由法一得tan（α＋β）＜0，sin（α＋β）＜0，故α＋β为第四象限角.不妨在角α＋β的终边上选取一点P（1，－22），则r＝｜OP｜＝1+8＝3，所以sin（α＋β）＝－22法三易得tan（α＋β）＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝41－2－1＝－22.又tanα＋tanβ＝sinαcosα＋