2026高二数学复习：概率（原卷版）

【知识点1随机事件与概率】

i.事件的分类

必然事

在条件S下，一定会发生的事件叫相对于条件S的必然事件

确定件

事件不可能

在条件S下，一定不会发生的事件叫相对于条件S的不可能事件

事件

随机

在条件S下，_________的事件叫做相对于条件S的随机事件

事件

2.事件的关系与运算

定义符号表示

如果事件A发生，则事件B一定发生，这时

包含关系称事件B一事件&或称事件A包含于事件______（或4G8）

B）

相等关系若BnA且4—

若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B

并事件

发生，称此事件为事件A与事件B的（或A08（或4+8）

（和事件）

和事件）

交事件若某事件发生当且仅当____且—，则称此

AG伙或A8）

（积事件）事件为事件A与事件B的交事件（或积事件）

若A为不可能事件，则称事件A与事件8

互斥事件AQB=0

互斥

对立事件若AA8为不可能事件，AUB为必然事件，A03=。，P（AUB）=

那么称寻件A与事件B互为对立事件P(4)+P(8)=l

3.概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：

(2)必然事件的概率为1.

(3)不可能事件的概率为0.

(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(AUB)=

(5)对立事件的概率：若事件A与事件8互为对立事件，则AU8为必然事件，P(AU8)=1,P(4)=_

【知识点2古典概型】

1.基本事件的特点

(1)任何两个基本事件都是都斥的:

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.

2.古典概型

(1)古典概型的特点

①有限性：试验中所有可能由现的基本事件区直有阻企；

②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等一

(2)古典概型的概率公式

0,A包含的基本事件的个数

PW~基本事件的总数.

【知识点3相互独立事件的概率】

1.相互独立事件的定义

设A,8是两个事件，若P(AB)=，则称事件A与事件B相互独立.

2.相互独立事件的性质

若事件人与B相互独立，那么A与万，3r与8,7■与下■也都相互独立.

【知识点4频率与概率】

1.在相同的条件s下重复〃次试验，观察某一事件人是否出现，称〃次试验中事件人出现的次数小为

事件A出现的频数，称事件A出现的比例加A)=为事件A出现的频率.

2.对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加，事件A发生的稳定在某个常数.匕把这个

记作P(人)，称为事件人发生的概率，简称为A的概率.

【题型1随机现象与随机事件】

1.（25-26高一下•全国•单元测试）下列事件中，随机事件的个数是（）

①过马路时，恰好遇到红灯;②短跑运动员1s跑完100m：③任意三条线段,组成三角形;④若xeR,则fNO.

A.1B.2C.3D.4

2.（2025面一上•全国•专题练习）下列现象是必然现象的是（）

A.走到十字路口遇到红灯B.冰水混合物的温度是「C

C.三角形的内角和为18（）。D.一个射击运动员每次射击都命中7环

3.（25-26高一下•全国•课堂例题）在1,2,3,…，10这10个数字中，任取3个数字，那么下列事件是不

可能事件的是（）

A.3个数字相邻B.3个数字全是偶数C.3个数字的和个于5D.3个数字两两互质

4.（25-26高二上•湖北十堰•阶段检测）（多选）给出下列四个命题，其中正确的命题有（）

A.“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件

B.“当x为某一实数时可使WvO”是不可能事件

C.“明天竹山要下雨”是必然事件

D.“从含有5个次品的100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件.

【题型2随机事件的频率和概率】

1.（25-26高一下•全国•课堂例题）下列关于事件的概率的说法不正确的是（）

A.从全是黑球的袋中取出红球的概率是0B.从全是黑球的袋中取出黑球的概率是1

C.太阳从西方升起的概率是0D.明天是晴天的概率是I

2.（25-26高二下•安徽淮北•开学考试）下列说法正确的个数是（）

①随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；

②在一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生；

③任意事件4发生的概率P（4）总满足。<尸（A）<1；

④若事件A发生的概率趋近于0,而网4）〉0,则A是不可能发生的事件.

A.0B.1C.2D.3

3.（25-26高一上•江西南昌•期末）把标号为1,2,3的三张卡片分发给甲，乙，丙三个人，事件A表示“甲

分得I号卡片“，事件“表示"乙分得I号卡片“，事件C表示“丙分得1号卡片”，则下列说法错误的是（）

A.AcA是不可能事件B.A,B是互斥事件

C.AU8JC是必然事件D.B,C是对立事件

4.（25-26高一下.全国•课后作业）（多选）（多选题）在10名学生中，男生有x名，现从10名学生中任选6

人去参加某项活动：①至少有一名女生；②5名男生，I名女生；③3名男生，3名女生.若要使①为必然

事件，②为不可能事件，③为随机事件，则x可以是（）

A.5B.6C.3D.4

【题型3事件的关系】

I.（2026・上海・高考真题）事件A和事件3相互独立，“A和3至少一个发生”的对立事件是（）.

A.AcBB.A｛^BC.D.

2.（25-26高二上•云南•开学考试）某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2026・湖南株洲•模拟预测）从有2个红球和2个自球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个自球”相

等的事件是（）

A.全是红球B.至多有1个红球

C.全是白球D.1个红球，1个白球

4.（25-26高二上•福建泉州•期中）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件："点数不小于2”，2=

“点数大于2”,2=“点数大于4、下列结论错误的是（）

A.DycDyB.O2^£>,=D2c.=2D.D[=D2

【题型4事件的运算】

1.（2026・江西•二模）设是三个事件，则事件“M、N至少有一个发生且P不发生”可表示为（）

A.（McN）cPB.C.（MUN）DFD.（McN）2P

2.（2026高一.全国•专题练习）打靶三次，事件4表示“击中i次”，i=0,1,2,3,贝广至少有一次击中“这一事

件用事件的交、并运算应表示为.

3.（2026高一•全国・专题练习）盒子里有6个红球，4个白球，观从中任取3个球，设事件A二｛3个球中有

1个红球2个白球｝，事件3=｛3个球中有2个红球1个白球｝，事件C=｛3个球中至少有1个红球｝，事件。=

｛3个球中既有红球又有白球｝.问：

⑴事件。与A4是什么样的关系？

（2）事件。与A的交事件是什么事件？

（3）设事件£={3个红球},事件F={3个球中至少有1个白球},那么事件C与民E是什么关系？C与尸的

交事件是什么？

【题型5互斥事件、对立事件的辨析】

1.（25-26高一下•天津•期末）分别抛掷质地均匀的两枚硬币.设事件加="第一枚硬币正面朝上“，N="第

二枚硬币反面朝上”.则事件”与N关系描述正确的为（）

A.互斥B.相互独立C.互为对立D.相等

2.（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下事件：。="所有样本空间”，G="点数为r'，其中i=i,2,

3,4,5,6,R=”点数不大于2"，&="点数大于2”，2="点数大于4"，则（）

A.&与。2互斥B.%J2=Q,D）O2=0

C.LD.C2,G为对立事件

3.（多选）柜子里有2双不同的鞋，从中随机地取出2只，记事件A="取出的鞋不成双“，事件3=”取出的

鞋都是左脚的“，事件C=”取出的鞋都是一只脚的“，事件。=”取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一

双鞋”，则下列结论成立的是（）

A.D^AB.A=CDC.B与。互斥D.C与。对立

4.（25-26高二•全国•暑假作业）（多选）从装有2个红球和2个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥

且对立的两个事件的是（）

A.至少有一个红球；至少有一个白球B.恰有一个红球；都是白球

C.至少一个红球：都是白球D.至多一个红球：都是红球

【题型6互斥事件、对立事件的概率】

I3

1.（2026•四川绵阳•三模）已知随机事件A和8,其中P（A）=P（B）=二P(Au3)=2.则&4均=

24

2.（25-26高二下•上海•期中）设事件AB是互斥事件，P（A）=0.3,P（B）=0.5,则下列说法错误的是（）

A.P(A)=0.7B.P(B)=P(5)

c.P（418）=0.15D.P（A3）=0.8

3.（25-26高一下•宁夏银川•阶段检测）抛掷两枚质地均匀的便可，设事件A="第一枚硬币正面朝上“，事

件8="第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（）

A.A与3互为对立事件B.P（A）=P（B）

C.A与3相等D.A与8互斥

4.（25-26高一下・北京・期末）已知随机事件43满足。（4小月）=。（无门可=；,尸（/478）=1,则下列结论：

a11

①P（A）=P（3）；②尸（A）=*③P（A）=：；④P（Ac8）=].其中所有正确结论的序号是.

【题型7相互独立事件及概率】

1.125-26高二上.上海.期末）相互独立事件A,8满足P（AQ8）=],P（Z）=2P（A）,则尸（8）=.

2.（2026•上海•模拟预测）已知事件A与事件8相互独立，如果P（A）=0.3,P（B）=0.6，*人涧=.

3.（25-26高二下.重庆.期中）有4个分别标有数字1,2,3,4的相同小球，从中不放回地随机取两次，每

次取I个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件”第二次取出的球的数字是3”，丙表示事

件”两次取出的球的数字之和是4”，丁表示事件”两次取出的球的数字之和是5"，则下列选项正确的是（）

A.甲与乙互斥B.丙与丁对立C.甲与丙相互独立D.乙与丁相互独立

4.（2023•吉林.一模）口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球,

事件人=”取出的两球同色"，事件””第一次取出的是向球"，事件。=”第二次取出的是白球“，事件。=”取

出的两球不同色”，则（）

A.P（B）=-B.B与C互斥

C.A与8相互独立D.A与。互为对立

【题型8简单的古典概型】

1.（25-26高二下•上海杨浦•期末）抛掷1枚质地均匀的正方体形状的骰子，得到的点数是偶数的概率为

2.（26-27高二・全国•暑假作业）采用简单随机抽样的方法，从含有25个个体的总体中抽取I个容量为10

的样本，则某个个体被抽到的概率为（）

A.3B.2c-D.-L

551025

3.（25-26高一下•湖南•阶段检测）从1,2,34,5中随机选取三个不同的数，则这三个数之积为假数且它们之

和大于等于1（）的概率为（）

A.-B.—C.-D.-

51059

4.（25-26高一下•云南・期末）（多选）多项选择题给出的四个选顷中，有多项是符合题目要求的，全部选对

得5分，部分选对得2分，有选错的得。分.小乐同学在面对一道多项选择题时，仅能明确的排除一个错

误选项A,于是她选择在B、C、D三个选项中随机填涂答案提交，若该题在B、C、D中只有两个选项正

确，贝lj（）

A.若小乐填涂三个选项，则该题得2分的概率为:

B.若小乐随机填涂•个选项，则该题得。分的概率为:

C.若小乐随机填涂两个选项，则该题得5分的概率为:

D.若小乐随机埴涂两个选项,则该题得0分的概率为:

【题型9游戏中的概率】

1.（23-24高二上•上海•阶段检测）如果将一枚质地均匀的硬币连续抛掷99次，那么第98次出现反面朝上的

概率是（）

A.±B.里C.±D.1

9999982

2.（23-24高一下•河南许昌•期末）小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是（）

A.抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜

B.同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜

C.从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜

D.小明、小华两人各写一个数字6或8,如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜

3.（25-26高二上•浙江湖州•阶段检测）某比赛为两运动员制定下列发球规则：

规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，反面向上，乙发球；

规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球；

规则三：从装有3个红球与I个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球.上述规则

对甲、乙公平的有（）

A.规则一，规则二B.规则一，规则三C.规则二，规则三D,规则一，规

则二，规则三

4.（2026高三.仝国.专题练习）有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份（如图所示），转动转盘，当转盘

停止后，指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，

乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜.则正确的猜数方案是

（）

A.猜“是奇数”或“是偶数”能保证游戏的公平性

B.猜”是4的整数倍的数”中获胜的希望较大

C.猜“是大于4的数”乙获胜的希望较大

D.猜“是大于5的数”或“小于6的数”也能保证游戏的公平性

【题型10频率与概率】

1.（2026•北京朝阳•模拟预测）地铁某换乘站设有编号为1,2,3,4,5的五个安全出口.若同时开放其中的

两个安仝出口，疏散1。（乂）名乘客所需的时间如下；

安全出口编

1,22,33,44,51,5

号

疏散乘客时

12022016014>3200

间（S）

则疏散乘客效率最高的一个安全出口的编号是（）

A.1B.2C.3D.4

2.（25-26高二上•贵州•阶段检测）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了500次试验,

发现正面朝上出现了300次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）

A.0.6,0.6B.0.6,0.5C.0.5,0.5D.0.5,0.6

3.（25-26高一下•全国•课堂例题）下列说法正确的是（）

①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；

②做〃次随机试验，事件A发生了加次，则事件A发生的概率尸（田=：；

③含百分比的数是频率，但不是概率；

④频率是不能脱离〃次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值：

⑤概率是频率的稳定值.

A.①®©B.①②C.②③D.②③⑤

4.（25・26高二上•内蒙古赤峰•期口）从存放号码分别为12,10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每

次取一张卡片并记下号码，统计结果如表：

卡片号码12345678910

取到的次数101188610189119

则取到号码为奇数的频率是

1.（25-26高三上•上海•期中）小何同学喜欢踢足球，已知他踢点球进门的概率是:，一次点球训练中，他

连续2次都没有踢进门，则他第3次踢进门的概率为（）

A.g1B.2彳C.1D.介于2.和1之间的某个实数

•JJJ

2.（25-26高二上•湖北孝感•期中）下列说法正确的是（）

A.某种福利彩票的中奖概率为焉，那么买1000张这种彩票一定能中奖

B.频率是概率的稳定值，概望是频率的近似值

C.连续10次掷•枚骰子，结果都是出现I点，可以认为这枚骰子质地均匀

D.通过设计模拟实验的方法研究某地下雨概率.由计算机产生1~5的随机数，当出现随机数1,3,5时，

表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：423,123,425,344,124,453,524,332,152,342,

Q

534,443,521,541,125,432,324,151,314,245,则这三天中恰有两天下雨的概率近似为方

3.（25-26高一下•全国•课后作业）投掷-•枚普通的正方体骰子，四位同学各自发表了以下见解：

①出现“点数为奇数”的概率等于出现“点数为偶数”的概率；

②只要连掷6次，一定会“出现1点”；

③投掷前默念几次“出现6点”：投掷结果"出现6点''的可能性就会加大；

④连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19.

其中正确的见解有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.（25-26高一上•江西南昌•期末）给出关于满足的非空集合4,8的四个命题，其中错误的命题是（）

A.若任取xwA,则xwB是必然事件

B.若任取则xwB是不可能事件

C.若任取则A是随机事件

D.若任取x任8,则A是必然事件

5.（25-26高三・全国•一轮复习）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2）,

2个绿色球（标号为3和4）,从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件凡="第一次摸到红球"，"两

次都摸到红球“，两次都摸到爆球”，“两球颜色相同"，N="两球颜色不同”，则下列说法不正确的

是（）

A.R&RB.RHG=0

C.RJG=MD.M=N

6.（2026•湖北•三模）已知随机事件4、B、。满足P（八）=：,P（B）=P（C）=1,P（AB）=P（AC）=0,

尸（BC）=1,则4、B、C至少有一个发生的概率为（）

6

A.1B.-C.-D.-

2346

7.（25-26高一下•全国•课后作业）下面有三种游戏规则：袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球.

游戏1游戏2游戏3

3个黑球和1个白球1个黑球和1个白球2个黑球和2个白球

取1个球，再取1个球取1个球取1个球，再取1个球

取出的两个球同色取出的球是黑球取出的两个球同色

一甲胜一甲胜一甲胜

取出的两个球不同色取出的球是白球取出的两个球不同色

一乙胜一乙胜一乙胜

问其中公平的游戏是（）

A.游戏IB.游戏1和游戏3C.游戏2D.游戏3

8.（25-26高二下•浙江温州•期中）（多选）设4,8是一个随机试验中的两个事件，且

-237

P（A）=-^（B）=-,P（AuB）=-则（）

348f

A.P（AB）=—B.事件A,8为独立事件

24

5__13

C.P（B\A）=-D.P（AB\jAB）=—

9.（25-26高二下•浙江•阶段检测）设随机事件4,的对立事件分别为晨豆,且P（A）=g,P（B）=；,

p（AnB）=l则下列结论正确的有（）

6

A.P（A）=|B.P（不叫=|C.P（Au8）=卷D.P（AnB）=1

10.（25-26高二上•贵州遵义・期末）（多选）把一枚硬币在同等条件下抛掷2025次后，统计正面向上的次数,

则下列说法正确的有（）

A.正面向上的次数是1012或1013

B.正