应用一元二次方程-九年级数学预习（北师大版）

第五讲应用一元二次方程

【学习目标】

1.通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际

问题的--般步骤；

2.通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.

【基础知识】

列一元二次方程解应用题

（1）解题步骤：①审题；②设未知数；③列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；

⑥作答.

（2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.

①平均增长率（降低率）问题：公式：b=a{\±x）\。表示基数，x表示平均增长率（降低率），〃表示变化

的次数，。表示变化〃次后的量；

②利润问题：利润二告价-成本；利润率=利润/成本X100%；

③传播、比赛问题：

④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用

面积之间的关系列方程.

注意：运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.

【考点剖析】

考点一：平均增长率（降低率）问题

例I.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气某校为

响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，第一个月进馆50（）人次，进馆人

次逐月增加，第三个月进馆720人次，若进馆人次的月平均增长率相同.

（1）求进馆人次的月平均增长率；

（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过1000人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，

校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由.

【答案】（1）进馆人次的月平均增长率是20%；（2）能，理由详见解析

【解析】（1）设进馆人次的月平均增长率是工

500（1+x）2=720

解得，玉=0.2,x2=-2.2（舍去），

答：进馆人次的月平均增长率是20%；

⑵能；

理由是:720（1+20%）=864<1000,

所以能够接纳.

考点二：利润问题

例2.某商场将进价每件3()元的衬衫以每件40元销售，平均每月可售出600件.为了增加盈利，商场采取

涨价措施.若在一定范围内，衬衫的单价每涨1元，商场平均每月会少售出10件.为了实现平均每月10000

元的销售利润，这种衬衫每件的价格应定为多少元？

【答案】这种衬衫每件的价格应定为50元或80元

【解析】解：设这种衬衫每件的价格应定为x元.

根据题意，得(x—30)(600一(x—40)x10]=10000.

解得xi=50,X2=80.

答：这种衬衫每件的价格应定为50元或80元.

考点三：传播、比赛问题

例3.新冠肺炎疫情在全球蔓延，造成了严重的人员伤亡和经济损失，其中一个原因是新冠肺炎病毒传播速

度非常快.一个人如果感染某种病毒，经过了两轮的传播后被感染的总人数将达到64人.

(1)求这种病毒每轮传播中一个人平均感染多少人？

(2)按照上面的传播速度，如果传播得不到控制，经过三轮传播后一共有多少人被感染？

【答案】(1)7人；(2)512人

【解析】

(1)设一个人平均感染x人，

•••经过了两轮的传播后被感染的总人数将达到64人，

/.l+x+(l+x)x=64,

整理得：x2+2x-63=0,

解得：=7,X2=-9(舍去)，

・••这种病毒每轮传播中一个人平均感染7人.

(2)64x7+64=512(人)，

答：经过三轮传播后一共有512人被感染.

考点四：面积问题

例4.如图，一幅长8加、宽6cM的矩形图案，其中有两条互相垂直的彩条，竖直彩条的宽度是水平彩条

宽4的2倍，若图案中两条彩条所占面积是整个矩形图案面积的求彩条的宽度.

O

【答案】水平彩条宽度为1cm,竖直彩条的宽度为2cm.

【解析】

解：设水平彩条宽度为W机，则竖直彩条的宽度为2xcm,

3

由题意得：8x+6x2x-2xxx=-x8x6,

8

整理得：x2-1Ox+9=0»

解得：％=1,或x=9（不合题意舍去），

**.x=l,2x=2,

答：水平彩条宽度为152,则竖直彩条的宽度为2。机.

【真题演练】

1.有X支球队参加篮球比赛，共上赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）

A.gx（x+l）=45B.1）=45C.-1）=45D.x（x+l）=45

【答案】B

【详解】

解：由题意得：x（x-1）=45；

故选民

2.在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡42张，设参加活动的同学有x人，根据题意，

可列方程（）

A.x（x-1）=42B.x（x+l）=42C.MD=42D.X（V+1）=42

22

【答案】A

【详解】

解：设参加活动的同学有x人，则每人送出（工一1）张贺卡，

依题意得：x（x-l）=42.

故选：A.

3.某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到81万只设该厂七

八月份的口罩产量的月平均减少率为乂可列方程为（）

A.100（l+x）2=81B.100（1-X）2=81

C.81（l-x）2=100D.100+100（1-X）+100（1-X）2=81

【答案】B

【详解】

设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为尤

七月份的产量为：lOO-lOOx=100(1-X),

八月份的产量为:100(l-x)-100(l-x)x=100(l-x)(l-x)=100(l-x)2,

・•・列式为：1(X)(1—I)?=81,

故选：B.

4.如图所示的是某公司今年1—3月份的收入统计图，设I月至3月的每月收入平均增长率为X,根据图中

信息，得到工所满足的方程是()

22

A.(1+x)=4-1B.(1+x)=4C.(1+2X)2=7D.(l+x)(l+2x)=4

【答案】B

【详解】

解：依题意有1X(1+X)2=4,即(1+4=4.

故选:B.

5.广西北部湾某中学为了使学生能够更好地进行体育活动，决定修建一个长方体形状的游泳池，其底面周

长为100m,设游泳池的底面长方形的长为xm,要使游泳池的底面面积为400nR则可列方程为()

A.x(I00-A)=400B.2x(100-Zr)=400

C.x(100-2v)=400D.x(50.)=400

【答案】D

【详解】

解：设游泳池的底面长方形的长为xm,则宽为(50-x)m

由题意可得:x(50-x)=400.

故选D.

6.在•幅长50cm,宽40cm的矩形风景画的四周镶•条外框，制成•幅矩形挂图(如图所示)，如果要使

整个挂图的面枳是3000cnF,改边框的宽为xcm,那么x满足的方程是()

A.(50-2A)(40-lx)=3000B.(50+2A-)(40+2JI)=3000

C.(50-x)(40-x)=3000D.(50+x)(40+x)=3000

【答案】B

【详解】

解：设边框的宽为xcm,

所以整个挂画的长为(50+2t)cm,宽为(40+2x)cm,

根据题意，得：(50+2x)(40+2x)=3000,

故选：B.

7.据美国约翰斯•霍普金斯大学发布的全球新冠肺炎数据统计系统，截至美国东部时间3月28日晚6时，

全美共报告新冠肺炎确诊人数超过3025万，死亡超过54.9万，已知有一人患了新冠肺炎，经过两轮传染后，

共有144人患了新冠肺炎，每轮传染中平均每人传染了人.

【答案】11

【详解】

解：设每轮传染中平均每人传染了工人，由题意得：

A+1+(A+1)A=144,

解得：X1=11,X2=-13(不符合题意，舍去)，

・•・每轮传染中平均每人传染了11人；

故答案为11.

8.《生物多样性公约》第十五次缔约方大会(COP15)将于2021年10月11口至24口在云南省昆明市举

办.昆明某景观园林公司为迎接大会召开，计划在一个长35米、宽2()米的矩形场地上要开辟一横两纵三

条等宽的小道(如图)，其余部分种植草坪，草坪面积为627平方米.设小道的宽为x米，则可列方程为

【答案】(35-2x)(20-v)=627

【详解】

解：把阴影部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为(35-20米，宽为(20-戈)米,

；・可列方程为(35-2x)(20-x)=627,

故答案为(35-2x)(20-v)=627.

9.一小球以15m/s的速度竖直向上抛出,它在空中的高度人(mj与时间心)满足关系式：0=15/—5凡当/

时，小球高度为10m.小球所能达到的最大高度为m.

45

【答案】1或2——

4

【解析】

【答案】x(x+12)=448

【详解】

设每行有工个座位，则总行数为(x+12)行，

根据题意,得:x(x+12)=448,

故答案是：x(x+12)=448.

11.研究所在研究某种流感病毒发现，若一人携带此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人

患病(假设每轮每人传染的人数相同)，求：

(1)每轮传染中平均每个人传染了几个人？

(2)如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？

【答案】(I)每轮传染中平均每个人传染了12个人.(2)按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有2197

人患病.

【详解】

解：(1)设每轮传染中平均每个人传染了x个人，

依题意，得：\+x+xCx+\)=169,

解得：xi=12,X2=-14(不合题意，舍去).

答：每轮传染中平均每个人传染了12个人.

(2)169x(1+12)=2197(人).

答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有2197人患病.

12.某商店销售一款工艺品，每件的成本是3()元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售

单价是4U元时，每天的销售量是XU件，而销售单价每提高I元，每天就少售出2件，但要求销售单价不

得超过55元.

(1)若销售单价为每件45元，求每天的销售利润.

(2)要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？

【答案】(1)1050元；(2)50元

【详解】

解：(1)(45-30)x[80-(45-40)x2]=1050(元).

答：每天的俏售利润为1050元.

(2)设每件工艺品售价为汇元，则每天的销售量是[80—2(x—40)]件，

依题意，得“—30)[80-2(x-40)]=12(X),

整理，得/一〃0x+3例协=0,

解得当=50,马=6。(不合题意，舍去).

答：每件工艺品售价应为50元.

13.7至9月份‘'铁岭莲花湿地公园'’迎来了荷花的盛放期，来此观赏荷花的游客络绎不绝，由此带动了湿地

周边的餐饮服务业的发展：“听荷方宾馆拥有客房loo间，经营中发现，每天入住的客房数y（间）与其价

格工（元）（18OWXW3OO）满足一次函数关系，部分对应值如表：

（1）请求出y与x的函数关系式；

（2）已知每间入住的客房，宾馆每口需支出各种费用100元，每H空置的客房需支出各种费用60元，当房

价多少元时，宾馆当日可获利8450元.

X（元）180260280300

y（间）1(X)605040

【答案】（1）y=--x+190；（2）当房价210元时，宾馆当日可获利8450元.

2

【详解】

解：（1）根据题意，可设y=kx+b,

将（180,100）和（260,60）代入，得

100=18（"+/?

’60=260%+〃

\k=--

解得：2

力二190

・•・V与x的函数关系式为y=~x+190：

（2）根据题意可得：（工一100）（-gx+190）-60100——gx+1901二8450

整理，得d-420x+44100=0

解得：玉=%=210

答：当房价210元时，宾馆当口可获利8450元.

14.如图，RfAABC中，ZACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿

AC运动：同时点Q从点C出发，以每秒2cm的速度沿CB运引，当Q到达点B时，点P同时停止运动.

（1）运动几秒时"CQ的面积为5cm2?

（2）运动几秒时APCQ中PQ=6cm?

（3）APCQ的面积能否等于lOcnF?若能，求出运动时间，若不能，说明理由.

【答案】(1)1；(2)y;(3)不能，理由见解析.

【详解】

解•：(1)设运动I秒后4PCQ的面积等于5cm2,

根据题意得：

CP=6-t,QC=2t,

则APCQ的面积是：—CQ<P=-X(6-t)x2t=5,

解得h=l,t2=5,

•・•当匕=5时,QC=2x5=10>8

・・・t2=5不符合题意，舍去

所以运动1秒后，aPCQ的面积等于5cm2：

(2)根据题意可得：

(6-/)2+(2/)2=62,

解得4=£/2=0(舍去)，

所以运动与秒时ZiPCQ中PQ=6cm；

(3)根据题意可得：

—x(6-t)x2t=10,

2

整理得：/一6/+1()=0，

△二(-6)2-4x1x10=YvO,

・••方程无实数根，

即APCQ的面积不能等于10cm2.

【过关检测】

1.某市2013年空气质量重度污染及以上共130天，加大治理后，污染天数连续两年下降，2015年中度污

染及以上共103天，设2013年到2015年污染天数的年均下降率为幻则符合题意的方程是(

A.130(1-2x)=103B.130(1-/)=103C.130(1-x)2=103D.130(1+x)2=103

【答案】C

【详解】

解：由题意可得：

130（1-x）2=103,

故选C.

2.如图利用一面靠墙（墙的长度为35米），另三边用50m氏的篱笆围成一个面积为200m之的长方形场地,

则长方形场地的一边人8的长为（）米.

一也

B\-----------------1c

A.5B.20C.5或20D.10或20

【答案】B

【详解】

解：设A6长为x米，贝ijBC=50-2x,

：.x（50-lv）=200,

解得：x=5或人=20,

当户5时，8050-2x5=40,35,故不符合，

：.AB的长为20,

故选B.

3.我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中有这样一道题:直天积八百六十四步，只云阔与长共六

十步，问阔及长各几步.翻译成数学问题是:矩形面积为864平方步，宽与长共60步，问长与宽各多少步.利

用所学知识，可求出长与宽分别是（）

A.40步，20步B.34步，26步C.50步，10步D.36步，24步

【答案】D

【详解】

解：设长为工步，则宽为（60-x）步，

依题意，得：x（60-v）=864,

解得：xi=36,心=24,

答：长与宽分别是36步，24步，

故选：D.

4.一个两位数的两个数字的和为9,把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，它与

原两位数的积为1458,设原两位数的个位数字为■则可列方程（）

A.[（9-x）+x][10x+（9-x）]=1458B,[（9-x）+x][x+（9-x）]=1458

C.[10(9-x)+x][10x+(9-x)]=1458D.[10(9-x)+J][X+(9-X)]=1458

【答案】C

【详解】

解：由题意得：原两位数的十位数字为9-x,则有，

[10(9-x)+x][10x+(9-x)]=1458；

故选C.

5.有一个模拟传染病传播的电子游戏模型：在一个方框中，先放入足够多的白球(模拟健康人)，然后在

框中同时放入若干个红球(模拟最初感染源)，程序设定，每经过一分钟，每个红球均恰好能使方框中凡个

白球同时变成红球(尺为程序设定的常数)，若最初放入的白球数为400个，红球数为4个，从放入红球

开始，经过2分钟后，红球总数变为64个，则凡应满足的方程是()

A.4(1+仆)=64B.4(1+%)=400C.4(14-^)2=64D.4(1+A；/)2=400

【答案】C

【详解】

根据题意得：4%+4+《(4%+4)=64,

即：4(1+0)2=64,

故选：C.

6.某餐厅主营盒饭业务，每份盒饭的成本为12元.若每份盒饭的售价为16元，每天可卖出360份.市场

调查反映：如调整价格，每涨价I元，每天要少卖出4()份.若咳餐厅想让每天盒饭业务的利润达到168()

元，设每份盒饭涨价x元，则符合题意的方程是()

A.(16+12)(360-40x)=1680B.(x-12)(360-40x)=1680

C.(x-12)[360-40(x-16)]=1680D.(!6+x-12)[360-40(x-16)]=1680

【答案】A

若每份盒饭的售价为16元，每天可卖出360份.市场调杳反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出

4()份“即可得出答案.

【详解】

解•：每份盒饭涨价x元后，利润为(16+…12)元，

销售量为(360-40幻盒，

・••可得方程为(16+x—12/360—40x)=1680,

故选A.

7.在设计人体雕像时，使雕像的上部与下部的高度比等于下部与全部的高度比可以增加视觉美感.如果雕

像高度为3m,设雕像下部高为xm,则x满足()

A.x2=3(3-x)B.(3-C.x2=3(3+x)D.(3+x)2=3x

【答案】A

【详解】

解：设弹像下部高为xm,则却像上部高为(3-x)m,

x3-x

,即£二3(37).

根据题意得:3~~

故选:A.

8.如图，东西方向上有人，。两地相距1()千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以

12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，那么最快经过()小时，甲、乙两人相距6二米？

【答案】A

【详解】

解：设最快经过x小时，甲、乙两人相距6km,根据题意可得:

BC=(10-16x)km,DC=12xkm,

因为BC2+DC2=BD2,

则(10・16x)2+(12x)2=62,

解得：X1=X2=O.4.

答：最快经过0.4小时,甲、乙两人相距6km.

故选A.

9.某电视机制造商2021年一月份生产电视机2000台，2021年三月份生产电视机2420台，设二、三月份

每月的平均增长率为根据题意，可列方程为.

【答案】2000(1+x)2=2420

【详解】

解：设二，三月份每月平均增长率为X,

根据题意得：2000(1+x)2=2420.

故答案为：2000(1+x)2=2420

10.将一块长方形桌布铺在长为1.5米，宽为1米的长方形桌面上，各边下垂的长度相同，并且桌布的面积

是桌面面积的2倍，求桌布下垂的长度.设桌布下垂的长度为x米，可列方程为.

【答案】(1.5+2x)(l+2x)=3

【详解】

解：设桌布下垂的长度为x米，由题意得：(1.5+2x)(1+2x)=1.5x1x2

即(1.5+2x)(1+2x)=3；

故答案为(1.5+2x)(l+2x)=3.

11.如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m,另三边用竹篱笆围成，

篱笆总长35m,围成长方形的养鸡场四周不能有空隙.

(1)要围成养鸡场的面积为150m2,则养鸡场的长和宽各为多少？

(2)围成养鸡场的面积能否达到200m2?请说明理由.

/////////„

sl--------------------1c

【答案】(1)养鸡场的宽是10m,长为15m；(2)围成养鸡场的面积不能达到2()0nR见解析

【详解】

解：(1)设养鸡场的宽为xm,根据题意得：

x(35-2x)=150,

解得:xi=IO,m=7.5,

当工1=10时,35-2x=15<18,

当刈=7.5时35-2r=20>18,(舍去)，

则养鸡场的宽是10m,长为15m.

(2)设养鸡场的宽为xm,根据题意得：

x(35-2v)=200,

整理得：2F-35/200=0,

△=(-35)2・4x2x200=1225-1600=-375<0,

因为方程没有实数根，

所以围成养鸡场的面积不能达到200m2.

12.甲商品的进价为每件2()元，商场将其售价从原来的每件62.5元进行两次降价.已知该商品现价为每件

40元.

(1)若该商场两次降价的降价率相同，求这个降价率；

(2)经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件，己知甲商品售价40元时，每月可销售500件.若

商场希望该商品每月能盈利10450元，且尽可能扩大销售量，则该商品的售价应定为多少？

【答案】(I)这个降价率为20%：(2)该商品的售价定为31元.

【详解】

解：(1)设这个降价率为必由题意可得：

62.5(1-x)2=40,

解得：％=0.2,%=1.2(不符合题意，舍去)，

答：这个降价率为20%.

(2)设该商品的售价定为y元，由题意得：

(y-20)5OO+^^-xlol=10450,

解得:y=39,%=31,

•・•尽可能扩大销售量,

y=31,

答：该商品的售价定为31元.

13.根据龙湾风景区的旅游信息,某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元.你能确定

参加这次旅游的人数吗？

如果人数超过30人，每

增加1人,人均旅游费

用降低10元，但人均旅

游费用不图轩500元

【答案】参加旅游的人数40人.

【详解】

设有工人参加这次旅游

•・•30x800=24000<28000

・••参加人数x>30

(x-30、

依题意得：x800-------xlO=28000

<1；

解得：玉二40