2025-2026年重庆市北师大版高中数学选修2-1第7章立体几何同步练习题

2025-2026年重庆市北师大版高中数学选修2-1第7章立体几何同步练习题一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面α：x-y+z=1的距离为（）A.1B.√3C.√6D.2√3解析：点A到平面α的距离公式为d=|Ax₀-y₀+z₀+d|/√(A²+B²+C²)，代入A(1,2,3)和α方程得d=|1-2+3-1|/√(1+1+1)=√3，选B。2.已知直线l：x=2与平面α：x-y+2z=1的位置关系是（）A.平行B.相交于点（2，0，0）C.重合D.垂直解析：直线l的方向向量为0，平面α的法向量为（1，-1，2），二者点积为0，故垂直，选D。3.若直线l₁：x=1与直线l₂：y=2在空间中平行，则直线l₁与平面α：x+y+z=1的位置关系是（）A.平行B.相交于点（1，2，-3）C.重合D.垂直解析：l₁方向向量为0，l₂方向向量为0，二者平行，平面α法向量为（1，1，1），与l₁方向向量垂直，故l₁⊥α，选D。4.已知平面α：x-y+z=0与平面β：2x+y-z=1相交，则两平面的交线方程为（）A.x-y+z=0B.2x+y-z=1C.x-y=0D.x+z=0解析：交线方向向量为（1，-1，0）×（2，1，-1）=（1，-3，3），取平面α上点（0，0，0），交线方程为x-3y+3z=0，化简得x-y=0，选C。5.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点A到平面BCC₁B₁的距离为（）A.1B.√2C.√3D.√5解析：平面BCC₁B₁的法向量为（0，1，1），点A到平面的距离为|0×0+1×0+1×1|/√(0²+1²+1²)=1/√2=√2/2，选B。6.已知直线l：x=1与平面α：x-y+2z=1平行，则直线l与平面α的距离为（）A.1B.√5C.√6D.√10解析：平面α的法向量为（1，-1，2），直线l方向向量为0，距离为|1×1-1×0+2×0-1|/√(1²+(-1)²+2²)=1/√6，选C。7.若直线l₁：x=1与直线l₂：y=2在空间中垂直，则直线l₁与平面α：x+y+z=1的位置关系是（）A.平行B.相交于点（1，2，-3）C.重合D.垂直解析：l₁方向向量为0，l₂方向向量为0，二者平行，平面α法向量为（1，1，1），与l₁方向向量垂直，故l₁⊥α，选D。8.已知平面α：x-y+z=0与平面β：2x+y-z=1相交，则两平面的夹角余弦值为（）A.1/√6B.1/√3C.1/√2D.1解析：法向量分别为（1，-1，1）和（2，1，-1），夹角余弦值为（1×2+(-1)×1+1×(-1)）/√(1²+(-1)²+1²)√(2²+1²+(-1)²)=0/√6=0，选A。9.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点A到平面BCC₁B₁的距离为（）A.1B.√2C.√3D.√5解析：平面BCC₁B₁的法向量为（0，1，1），点A到平面的距离为|0×0+1×0+1×1|/√(0²+1²+1²)=1/√2=√2/2，选B。10.已知直线l：x=1与平面α：x-y+2z=1平行，则直线l与平面α的距离为（）A.1B.√5C.√6D.√10解析：平面α的法向量为（1，-1，2），直线l方向向量为0，距离为|1×1-1×0+2×0-1|/√(1²+(-1)²+2²)=1/√6，选C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若直线l：x=1与平面α：x-y+2z=1平行，则直线l与平面α的距离为______。参考答案：√6/6解析：平面α的法向量为（1，-1，2），直线l方向向量为0，距离为|1×1-1×0+2×0-1|/√(1²+(-1)²+2²)=1/√6。2.已知平面α：x-y+z=0与平面β：2x+y-z=1相交，则两平面的交线方程为______。参考答案：x-y=0解析：交线方向向量为（1，-1，0）×（2，1，-1）=（1，-3，3），取平面α上点（0，0，0），交线方程为x-3y+3z=0，化简得x-y=0。3.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点A到平面BCC₁B₁的距离为______。参考答案：√2/2解析：平面BCC₁B₁的法向量为（0，1，1），点A到平面的距离为|0×0+1×0+1×1|/√(0²+1²+1²)=1/√2=√2/2。4.已知直线l：x=1与平面α：x-y+2z=1平行，则直线l与平面α的距离为______。参考答案：√6/6解析：平面α的法向量为（1，-1，2），直线l方向向量为0，距离为|1×1-1×0+2×0-1|/√(1²+(-1)²+2²)=1/√6。5.若直线l₁：x=1与直线l₂：y=2在空间中平行，则直线l₁与平面α：x+y+z=1的位置关系是______。参考答案：垂直解析：l₁方向向量为0，l₂方向向量为0，二者平行，平面α法向量为（1，1，1），与l₁方向向量垂直，故l₁⊥α。6.已知平面α：x-y+z=0与平面β：2x+y-z=1相交，则两平面的夹角正弦值为______。参考答案：√3/3解析：法向量分别为（1，-1，1）和（2，1，-1），夹角正弦值为|1×2+(-1)×1+1×(-1)|/√(1²+(-1)²+1²)√(2²+1²+(-1)²)=√3/3。7.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点A到平面BCC₁B₁的距离为______。参考答案：√2/2解析：平面BCC₁B₁的法向量为（0，1，1），点A到平面的距离为|0×0+1×0+1×1|/√(0²+1²+1²)=1/√2=√2/2。8.已知直线l：x=1与平面α：x-y+2z=1平行，则直线l与平面α的距离为______。参考答案：√6/6解析：平面α的法向量为（1，-1，2），直线l方向向量为0，距离为|1×1-1×0+2×0-1|/√(1²+(-1)²+2²)=1/√6。9.若直线l₁：x=1与直线l₂：y=2在空间中垂直，则直线l₁与平面α：x+y+z=1的位置关系是______。参考答案：垂直解析：l₁方向向量为0，l₂方向向量为0，二者平行，平面α法向量为（1，1，1），与l₁方向向量垂直，故l₁⊥α。10.已知平面α：x-y+z=0与平面β：2x+y-z=1相交，则两平面的夹角余弦值为______。参考答案：1/√6解析：法向量分别为（1，-1，1）和（2，1，-1），夹角余弦值为（1×2+(-1)×1+1×(-1)）/√(1²+(-1)²+1²)√(2²+1²+(-1)²)=0/√6=0，选A。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若直线l：x=1与平面α：x-y+2z=1平行，则直线l与平面α的距离为√6/6。（×）解析：平面α的法向量为（1，-1，2），直线l方向向量为0，距离为|1×1-1×0+2×0-1|/√(1²+(-1)²+2²)=1/√6，错误。2.已知平面α：x-y+z=0与平面β：2x+y-z=1相交，则两平面的交线方程为x-y=0。（√）解析：交线方向向量为（1，-1，0）×（2，1，-1）=（1，-3，3），取平面α上点（0，0，0），交线方程为x-3y+3z=0，化简得x-y=0，正确。3.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点A到平面BCC₁B₁的距离为√2/2。（√）解析：平面BCC₁B₁的法向量为（0，1，1），点A到平面的距离为|0×0+1×0+1×1|/√(0²+1²+1²)=1/√2=√2/2，正确。4.已知直线l：x=1与平面α：x-y+2z=1平行，则直线l与平面α的距离为√6/6。（×）解析：平面α的法向量为（1，-1，2），直线l方向向量为0，距离为|1×1-1×0+2×0-1|/√(1²+(-1)²+2²)=1/√6，错误。5.若直线l₁：x=1与直线l₂：y=2在空间中平行，则直线l₁与平面α：x+y+z=1的位置关系是垂直。（√）解析：l₁方向向量为0，l₂方向向量为0，二者平行，平面α法向量为（1，1，1），与l₁方向向量垂直，故l₁⊥α，正确。6.已知平面α：x-y+z=0与平面β：2x+y-z=1相交，则两平面的夹角正弦值为√3/3。（√）解析：法向量分别为（1，-1，1）和（2，1，-1），夹角正弦值为|1×2+(-1)×1+1×(-1)|/√(1²+(-1)²+1²)√(2²+1²+(-1)²)=√3/3，正确。7.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点A到平面BCC₁B₁的距离为√2/2。（√）解析：平面BCC₁B₁的法向量为（0，1，1），点A到平面的距离为|0×0+1×0+1×1|/√(0²+1²+1²)=1/√2=√2/2，正确。8.已知直线l：x=1与平面α：x-y+2z=1平行，则直线l与平面α的距离为√6/6。（×）解析：平面α的法向量为（1，-1，2），直线l方向向量为0，距离为|1×1-1×0+2×0-1|/√(1²+(-1)²+2²)=1/√6，错误。9.若直线l₁：x=1与直线l₂：y=2在空间中垂直，则直线l₁与平面α：x+y+z=1的位置关系是垂直。（√）解析：l₁方向向量为0，l₂方向向量为0，二者平行，平面α法向量为（1，1，1），与l₁方向向量垂直，故l₁⊥α，正确。10.已知平面α：x-y+z=0与平面β：2x+y-z=1相交，则两平面的夹角余弦值为1/√6。（×）解析：法向量分别为（1，-1，1）和（2，1，-1），夹角余弦值为（1×2+(-1)×1+1×(-1)）/√(1²+(-1)²+1²)√(2²+1²+(-1)²)=0/√6=0，错误。四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.已知平面α：x-y+z=0与平面β：2x+y-z=1相交，求两平面的交线方程。解：交线方向向量为（1，-1，0）×（2，1，-1）=（1，-3，3），取平面α上点（0，0，0），交线方程为x-3y+3z=0，化简得x-y=0。2.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点A到平面BCC₁B₁的距离为√2/2，求平面BCC₁B₁的法向量。解：平面BCC₁B₁的法向量为（0，1，1），点A到平面的距离为|0×0+1×0+1×1|/√(0²+1²+1²)=1/√2=√2/2，正确。3.已知直线l：x=1与平面α：x-y+2z=1平行，求直线l与平面α的距离。解：平面α的法向量为（1，-1，2），直线l方向向量为0，距离为|1×1-1×0+2×0-1|/√(1²+(-1)²+2²)=1/√6。4.若直线l₁：x=1与直线l₂：y=2在空间中垂直，求直线l₁与平面α：x+y+z=1的位置关系。解：l₁方向向量为0，l₂方向向量为0，二者平行，平面α法向量为（1，1，1），与l₁方向向量垂直，故l₁⊥α。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.已知平面α：x-y+z=0与平面β：2x+y-z=1相交，求两平面的夹角余弦值。解：法向量分别为（1，-1，1）和（2，1，-1），夹角余弦值为（1×2+(-1)×1+1×(-1)）/√(1²+(-1)²+1²)√(2²+1²+(-1)²)=0/√6=0。2.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点A到平面BCC₁B₁的距离为√2/2，求平面BCC₁B₁的法向量。解：平面BCC₁B₁的法向量为（0，1，1），点A到平面的距离为|0×0+1×0+1×1|/√(0²+1²+1²)=1/√2=√2/2，正确。3.已知直线l：x=1与平面α：x-y+2z=1平行，求直线l与平面α的距离。解：平面α的法向量为（1，-1，2），直线l方向向量为0，距离为|1×1-1×0+2×0-1|/√(1²+(-1)²+2²)=1/√6。4.若直线l₁：x=1与直线l₂：y=2在空间中垂直，求直线l₁与平面α：x+y+z=1的位置关系。解：l₁方向向量为0，l₂方向向量为0，二者平行，平面α法向量为（1，1，1），与l₁方向向量垂直，故l₁⊥α。【标准答案及解析】一、单选题1.B2.D3.D4.C5.B6.C7.D8.A9.B10.C二、填空题1.√6/62.x-y=03.√2/24.√6/65.垂直