湖北楚天协作体2026-2027学年高三上学期9月起点考试数学+答案

高三数学

一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的)

1.定义在R上的函数f(x),若f'(1)=1,贝

A.-1B.1C.2026D.-2026

2.已知集合A={1,2,a²},B={1,a+2},若B≌A,则a的取值是()

A.-1或0B.-2或0C.0或2D.-2或2

3.“m<0”是“关于x的方程x²+2x+m=0有一正一负根”的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

4.已知函数f(x)=lg(√x²+1-x),若正实数a、b满足f(a)+f(b-1)=0,则的最小值为

()

A.2B.5C.8D.9

5.已知一元二次方程x²-x-1=0的两个根为α和β,若数列{a,}满足aₙ=a”+β”(n∈N'),

则a₆=()

A.11B.18C.29D.47

6.某中学举办生物知识竞赛，设置10道题目，比赛规则如下：每答对一道题目得10分，答错

一道题目扣5分.已知甲答对每道题目的概率均,甲需要答满10道题，且每道题答对

与否相互独立.设随机变量X表示甲最后的得分，则()

A.E(X)=8B.E(X)=15C.D(X)=270D.D(X)=540

7.某人工智能社团有6位同学(含甲、乙),计划对ChatGPT、Sora、GPT-4这3种人工智

能模型展开学习调研.每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择一种模型.若甲、乙

不能调研同一种模型，且ChatGPT模型恰由2人负责，共有()种不同的安排方案.

A.160B.320C.480D.540

8.设x∈R,计算机程序中的命令函数INT(x)表示不超过x的最大整数，例如：INT(-2.3)=-3,

INT(-0.1)=-1,INT(2.1)=2,若函(a>0,a≠1),则下列说法

正确的有()

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A.f(x)在(-∞,0)上为单调函数

B.f(x)在(-∞0,0)有最大值

C.f(x)在[-4,4]恰好有8个零点

D.若f(x)的图象上恰好有4对关于原点对称的点，贝

二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)

9.下列结论正确的是()

A、若样本点都落在同一条直线上，则相关系数r=1

B.已知J关于x的回归方程为j=-0.7x+0.3,则样本数据点(3,-4)的残差为2.2

C.以模型y=ce去拟合一组数据时，为了求回归方程，设z=Iny,将其变换后得到经验

回归方程z=0.2x+5,则c=e⁵,k=0.2

D.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到x²≈9.852,根据小概率值α=0.005的x²

独立性检验：xo.005=7.879,可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5%

10.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个

正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，

再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，若图①中的正三角形边长

为1,记第n个图形的边数为an,第n个图形的边长为bn,第n个图形的周长为L,第n个

图形的面积为Sₙ,n∈N.则下列命题正确的是()

①②③④

A.aₙ=3×4”-1

D.数列{L}的前n项和为

11.已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,f(x+1)是奇函数，且f(1-x)+g(x)=2,

f(x)+g(x-3)=2,则()

A.f(x)为偶函数B.g(O)=0

C.f(1)+f(2)+…+f(20)=0D.g(1)+g(2)+…+g(20)=40

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三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

12.函数f(x+1)的定义域为(-2,2),则函数f(x)的定义域为

13.已知,则P(B)=

14.已知函数f(x)=ae×-x,.若关于x的不等式xf(x)+g(x)≤0有解，则a

的取值范围为

四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(本小题13分)

设函数f(x)=aˣ+ka×(k∈R,a>0,a≠1)且f(x)为奇函数.

(1)若,求f(x)的解析式；

(2)在(1)的条件下，若函数h(x)=a²x+a-²×-f(x)≥λ在x∈[1,+∞]上恒成立，求实数λ的

取值范围.

16.(本小题15分)

暑假期间，某景区的文创店在平台开启了直播销售，周一到周五的五个工作日内，直播时长

x(小时)与直播时在线观看人数y(千人)如下表：

星期一二三四五

直播时长x(小时)12345

直播时在线观看人数y(千人)1.31.72.22.83.5

参考数据：

参考公式：相关系数,回归方程

y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

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(1)试根据样本相关系数r的值判断该直播的在线观看人数y(千人)与直播时长x(小时)

的线性相关性的强弱(若0.75≤|r|≤1,则认为y与x的线性相关性较强；若|·<0.75,则认为y

与x的线性相关性较弱);

(2)利用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程，并预测直播时长为9小时时的在线观看

人数.

17.(本小题15分)

已知数列{a,}的前n项和为Sn,a₁=2,且满

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足对任意n∈N',2b1=b+bn+2,且b₁=3,b₃=a₃+1,设其前n项和为Sₙ.

(i)设数列的前n项和为T,求证：

(ii)若对任意n∈N,bn-5≤λa,恒成立，求实数λ的取值范围.

18.(本小题17分)

为践行五育并举，增强学生体质，某中学高三年级开展校园篮球比赛.经过小组赛的激烈对

决后，A班和B班进入决赛.比赛采用2k+1局k+1胜制(即先赢得k+1局者获胜).

假设每局比赛中，A班获胜的概率为0.6,B班获胜的概率为0.4,且每局胜负相互独立.

(1)当k=1时，记结束比赛时的局数为X,求X的分布列和数学期望E(X);

(2)设在该赛制下A班获胜的概率为P(k).

①求P(1)和P(2)的值，并比较它们的大小，据此说明k=1和k=2哪种赛制对A班更有利；

②随着k的增大，A班获胜的可能性如何变化?证明你的结论.

19.(本小题17分)

已知函数

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)讨论关于x的方程f(x)=f(a)的零点个数；

(3)设函数g(x)=(3-a)x-f(x)有两个极值点x,x₂(x₁<x₂),证明：g(x₁)+g(x₂)<10-Ina.

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高三数学参考答案

一.单选题

12345678

CCADBDAD

8.由题意，画出f(x)的图象如图所示：

由f(x)在区间[-∞0,0]上的图象可知，f(x)在区间[-∞,0]上为非单调函数，A项错误；

在区间[-∞,0]上，f(x)<1,没有最大值，B错误；

无论0<a<1还是a>1,f(x)在区间(0,+∞0)内恒有1个零点，

由图象可知，f(x)在区间[-4,0]上有5个零点，

所以f(x)在区间[-4,4]上有6个零点，C错误；

要使f(x)的图象上至少存在4对关于坐标原点对称的点，

则函数y=-loga(-x)与y=x-INT(x),(x<0)的图象恰好有4个交点，

由图象得解得D项正确.

二.多选题

91011

BCDABDACD

11.因为f(x)+g(x-3)=2,所以f(x+3)+g(x)=2,又f(1-x)+g(x)=2,则有

f(x+3)=f(1-x);

因为f(x+1)是奇函数，所以f(-x+1)=-f(x+1),

可得f(x+3)=-f(x+1),即有f(x+2)=-f(x),

所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

所以f(x)是周期为4的周期函数，

故g(x)也是周期为4的周期函数，

对于选项A,因为f(-x+1)=-f(x+1),所以-f(-x)=f(x+2),则f(-x)=f(x),

所以f(x)为偶函数，故A正确；

对于选项B,因为f(x+1)是奇函数，将x=0代入得：f(1)=0,

且f(1-x)+g(x)=2,将x=0代入得g(0)=2,所以B错误；

对于选项C,由g(0)=2,且f(x)+g(x-3)=2,

将x=3代入得：f(3)+g(0)=2,

所以f(3)=0,

由于f(x+2)=-f(x),即f(x+2)+f(x)=0,

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得f(2)+f(4)=f(2)+f(0)=0,

因为f(x)是周期为4的周期函数，

,所以C选项正确；

对于选项D,因为g(2)=2-f(5)=2-f(1)=2,

g(1)+g(3)=[2-f(4)]+[2-f(6)]=4-[f(4)+f(2)]=4,

所以g(0)+g(1)+g(2)+g(3)=8,

因为g(x)是周期为4的周期函数，

,所以D选项正确.

三.填空题

12.(-1,3)

B

14.

解析：

若a<0,可知F(x)的定义域为(-∞0,0),

当x趋近于-∞时，F(x)趋近于-∞0,符合题意；

若a>0,可知F(x)的定义域为(0,+),

,可得ex+加x+lna+x+Inx+lna≤em²+Inx²,

h(x)=e*+x在定义域(0,+∞)内单调递增，

因为h(x+Inx+Ina)≤h(lnx²),则x+lnx+lna≤lnx²=2lnx,即-x+lnx≥lna,

可知-x+Inx≥Ina有解，-1≥Ina,解

综上所述：

四.解答题

15.【详解】(1)因为函数f(x)=a²+ka(a>0且a≠1)是R上的奇函数，则

f(-x)+f(x)=0,...1分

即f(-x)+f(x)=a*+ka⁸+a³+kaˣ=(1+k)(a²+a)=0,...3分

∴k+1=0,可得k=-1,即f(x)=a⁸-a*,.….4分

由,解得(舍)或a=2…6分

∴f(x)=2ˣ-2-…7分

(2)由(1)得f(x)=2ˣ-2×

h(x)=a²×+a²*-f(x)≥2在x∈(1,+)上恒成立，可转化为：

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h(x)=2ˣ+2²*-(2*-2*)≥λ,在x∈(1,+o)上恒成立.……8分

h(x)=22ˣ+2²ˣ-(2*-2*)=(2*-2*)²-(2-2*)+2,…9分

令t=2*-2*,则t=2*-2⁻*在x∈(1,+)上为增函数，所!,...10分

所以当时，g(1)=t²-t+2取得最小值….12分

所以λ的取值范围.…..13分

16.【详解】(1)由,...2分

,...4分

所以y与x具有较强的线性相关性……8分

a=y-bx=2.3-0.55×3=0.65,..12分

所以V关于x的回归直线方程为=0.55x+0.65,……13分

当x=9时，=0.55×9+0.65=5.6,由此预测当直播时长为9小时的时候，在线人数约为5.6

(千人)…..15分

17.【详解】(1)

∴当n≥2时，

两式相减得2,……2分

∴当n≥2时，aₙ=2”,

当n=1时，a₁=2¹=2,上式也成立，

综上，数列{a}的通项公式为aₙ=2”(n∈N')..…4分

(2)(i)因为2bₙ+=bₙ+bₙ+2,所以{b}为等差数列，...5分

设公差为d,又b₁=3,b₃=a₃+1=9,所以

所以bₙ=3n,则;;...7分

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(ii)因为对任意n∈N,b-5≤λa,恒成立，

即对任意n∈N,3n-5≤2·2”恒成立，

所以对任意n∈N,恒成立，...11分

,..13分

所以当1≤n≤2时Cn+1-c>0,当n≥3时Cn+-cn<0,

所以c₁<c₂<c₃>c₄>C₅>…,

所以,所以……15分

18.【详解】(1)当k=1时，赛制为三局两胜制，故X的可能取值为2,3,....1分

P(X=2)=0.4²+0.6²=0.52,….2分

P(X=3)=C₂×0.6×0.4=0.48……3分

所以X的分布列为：

X23

P0.520.48

E(X)=2×0.52+3×0.48=2.48.…….5分

(2)①因为每局比赛中，A班获胜的概率为p=0.6,

由题可知P(1)为3局2胜制时，A班获胜的概率，A班获胜的情形有两种：2:0或2:1,

所以P(1)=p²+C'p²(1-p)=p²(3-2p)=0.6²×(3-1.2)=0.648,……7分

P(2)为5局3胜制时，A班获胜的概率，A班获胜的情形有三种：3:0或3:1或3:2,

P(2)=p³+CP³(1-p)+C²p³(1-p)²=p³(6p²-15p+10)

=0.6³+C3×(0.6)²×0.4×0.6+C²×(0.6)²×(0.4)²×0.6=0.68256,……9分

所以P(2)>P(1),

所以k=2时，5局3胜制对A班更有利……10分

②随着k的增大，A班获胜的可能性变大，证明如下：

由①可知，

下面讨论2k+3局与前2k+1局的递推关系：

(i)若前2k+1局中A班恰好赢了k局，则后两场A班都要赢才能获胜，

其概率为C2k+P'(1-p)⁺·p²,即C2k+P+2(1-p)*……12分

(ii)若前2k+1局中A班恰好赢了k+1局，则后两场A班至少要赢一场才能获胜，

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其获胜概率,即C2k+1p+²(1-p)'(2-p)……13分

(iii)若前2k+1局中A班至少赢了k+2局，则后两场A班无论输赢都获胜，

其获胜概率

∴P(k+1)-P(k)=C2k+p+2(1-p)⁺¹+Cz+1p+2(1-p)(2-p)-C2k+1P+(1-p)

=C2k+P+(1-p)⁺¹(2p-1),.….16分

∵p=0.6,二Ck+1p+(1-p)#(2p-1)>0,即P(k+1)>P(k).

∴随着k的增大，A班获胜的可能性变大...17分

19.【详解】(1)由函数,所以函数的定义域为(0,+),

①当a≤0时：x-a>0对x>0恒成立，x∈(0,1)时f'(x)<0,f(x)单调递减；

x∈(1,+∞0)时f'(x)>0,f(x)单调递增….2分

②当0<a<1时，当x∈(0,a)时f'(x)>0,f(x)单调递增；当x∈(1,+∞0)时f'(x)>0,f(x)

单调递增；当x∈(a,1)时f'(x)<0,f(x)单调递减；

③当a=1时：恒成立，f(x)在(0,+∞)单调递增：...3分

④当a>1时：当x∈(0,1)时f'(x)>0,f(x)单调递增；当x∈(a,+∞0)时f'(x)>0,f(x)

单调递增；x∈(1,a)时f'(x)<0,f(x)单调递减；.….4分

综上所述，当a≤0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+0)上单调递增；

当0<a<1时，f(x)在(0,a),(1,+0o)上单调递增；f(x)在[a,1]上单调递减；

当a=1时，f(x)在(0,+∞)单调递增；

当a>1时，f(x)在(0,1),(a,+oo)上单调递增，在[1,a]上单调递减…….5分

(2)g(x)=f(x)-f(a).由题可知f(x)与g(x)的定义域均为(0,+∞),故a>0.

令g'(x)=0,可得x=a或x=1.

若0<a<1,则当x∈(0,a)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，当x∈(a,1)时，

g'(x)<0,g(x)单调递减，当