第4节　基本不等式

1/1第4节基本不等式1.了解基本不等式的推导过程.2.能用基本不等式解决简单的最值问题.3.掌握基本不等式在实际生活中的应用.知识梳理1.基本不等式ab≤a（1）基本不等式成立的条件是：a＞0，b＞0；（2）等号成立的条件是：当且仅当a＝b时，等号成立；（3）其中a＋b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何提醒：应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错.2.基本不等式与最值已知x＞0，y＞0，则（1）如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P（简记：积定和最小）；（2）如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值14S2（简记：和定积最大1.a2＋b2≥2ab；ab≤（a＋b2）2（a，b2.ba＋ab≥2（a，b3.a2＋b22≥（a＋b2）4.a2＋b22≥a＋b2≥ab（以上不等式等号成立的条件均为a＝b.诊断自测1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是相同的.（（2）函数y＝x＋1x的最小值是2.（×（3）已知0＜x＜1，则x（1－x）取最大值时x＝12.（√（4）x，y＞0是xy＋yx≥2的充要条件.（×2.已知m＞0，n＞0，mn＝81，则m＋n的最小值是（）A.9 B.18C.93 D.27解析：B因为m＞0，n＞0，由基本不等式m＋n≥2mn，得m＋n≥18，当且仅当m＝n＝9时，等号成立，所以m＋n的最小值是18.3.函数y＝x＋1x+1（x≥0）的最小值为1解析：因为x≥0，所以x＋1＞0，1x+1＞0，利用基本不等式得y＝x＋1x+1＝x＋1＋1x+1－1≥2（x+1）·1x+1－1＝1，当且仅当x＋1＝1x+1，即x＝0时，等号成立4.已知x，y∈（0，＋∞），若2x＋3y＝1，则1x＋1y的最小值为5＋26解析：1x＋1y＝（1x＋1y）（2x＋3y）＝5＋3yx＋2xy≥5＋26，当且仅当3yx＝2xy，5.（2025·云南昆明模拟）若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是25m2.解析：设矩形场地的长为xm，宽为ym，则x＋y＝10，所以矩形场地的面积为S＝xy≤（x＋y2）2＝25，当且仅当x＝y＝基本不等式的理解（基础自学过关）1.已知实数a，b，则“ab≥0”是“a＋b≥2ab”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：B当a＜0，b＜0时，a＋b＜2ab，充分性不成立；因为a＋b≥2ab等价于（a－b）2≥0，所以a≥0，b≥0，ab≥0，必要性成立.所以“ab≥0”是“a＋b≥2ab”的必要不充分条件.故选B.2.若实数a，b满足a＞b＞0，则下列不等式中恒成立的是（）A.a2＋2b＞2ab B.a2＋2b＜C.a＞a＋b2＞b＞ab D.a＞a＋解析：D因为a＞0，b＞0，所以a2＋2b≥2a2×2b＝2ab，当且仅当a2＝2b，即a＝4b时取等号，故A、B错误；因为a＞b＞0，所以2a＞a＋b＞2ab，所以a＞a＋b2＞ab，又ab＞b2，所以ab＞b，故a＞a＋b23.〔多选〕（2026·山西大同模拟）下列命题正确的是（）A.若x＜0，则x＋1x≤－B.若x＞0，则x－1x≤－C.若x∈R且x≠0，则x＋1x≥2D.当x∈（0，π2］时，sinx＋4sin解析：AC当x＜0时有－x＞0，则x＋1x＝－（－x＋1－x）≤－2－x·1－x＝－2，当且仅当－x＝1－x，即x＝－1时等号成立，A正确；当x＞0时，y＝x－1x单调递增，其值域为R，B错误；若x∈R且x≠0，则x＋1x＝｜x｜＋1｜x｜≥2｜x｜·1｜x｜＝2，当且仅当｜x｜＝1｜x｜，即x＝－1或x＝1时，等号成立，C正确；当sinx＞0时，sinx＋4sinx≥2sinx·4sinx＝4，当且仅当sinx＝4sin利用基本不等式判断命题真假的步骤（1）检查是否满足应用基本不等式的条件；（2）应用基本不等式；（3）检验等号是否成立.利用基本不等式求最值（定向精析突破）考向1配凑法（1）函数f（x）＝4x＋9x+1，x∈（－1，＋∞）的最小值为（BA.6 B.8C.10 D.12解析：（1）因为x∈（－1，＋∞），则x＋1＞0，则f（x）＝4x＋9x+1＝4（x＋1）＋9x+1－4≥24（x+1）·9x+1－4＝12－4＝8，当且仅当4（x+1）＝9x+1，x＞－1，（2）已知0＜x＜22，则x1－2x2的最大值为A.22 B.C.14 D.解析：（2）因为0＜x＜22，则1－2x2＞0，x1－2x2＝x2（1－2x2）＝12·2x2·（1－2x配凑法求最值的实质及关键点配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.考向2常数代换法（1）（2025·山东齐鲁名校大联考一模）已知实数x＞0，y＞0，x＋3y＝2，则1x＋1y的最小值为（DA.3 B.1＋3C.2＋32 D.2＋解析：因为x＞0，y＞0，且x＋3y＝2，所以1x＋1y＝12（1x＋1y）（x＋3y）＝12（4＋3yx＋xy）≥2＋3yx·xy＝2＋3，当且仅当3y（2）已知正数a，b满足4a＋b＝ab，则a＋b的最小值为9.解析：因为正数a，b满足4a＋b＝ab，所以1a＋4b＝1，所以a＋b＝（a＋b）（1a＋4b）＝5＋ba＋4ab≥5＋2ba·4ab＝9，常数代换法求最值的基本步骤（1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）；（2）把确定的定值（常数）变形为1；（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；（4）利用基本不等式求最值.考向3消元法教材母题：〔人A必修一P58复习参考题5题〕若a，b＞0，且ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围.解：法一（代入消元）由题意得a＝b+3b－1且b－∴ab＝b（b+3）b－1＝（b－1）2+5（b－1）+4故ab的取值范围为[9，＋∞）.法二（换元消元）∵a，b＞0，且ab＝a＋b＋3，由a＋b≥2ab，得ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，当且仅当a＝b时取等号，即ab－2ab－3≥0，设ab＝t（t＞0），则t2－2t－3≥0，解得t≥3，故ab≥9.故ab的取值范围为[9，＋∞）.法三（化归函数，导数求解）由法一得ab＝b（令f（b）＝b（b+3）b－1（b＞1），则f'（b）＝b2－2b－3（b－1故f（b）在（1，3）上单调递减，在（3，＋∞）上单调递增，当b＝3时，f（b）取得最小值9，故ab的取值范围为[9，＋∞）.细研教材：当所求最值的代数式中变量比较多时，通常是利用已知条件消去部分变量，然后配凑出“和为常数”或“积为常数”，再利用基本不等式求最值，也可采用整体换元思想转化为一元二次不等式求解，当消元后“配凑”比较困难时可考虑化归函数，利用导数求解.变式1〔一题多解〕若教材母题题干条件不变，则a＋b的最小值为6.解析：法一∵a＞0，b＞0，ab＝a＋b＋3，∴a＝b+3b－1且b－1＞0，∴a＋b＝b+3b－1＋b＝1＋4b－1＋b＝4b－1＋b－1＋2≥24b－1·（b法二∵ab＝a＋b＋3≤14（a＋b）2，故可得（a＋b）2－4（a＋b）－12≥0，即（a＋b－6）（a＋b＋2）≥0，解得a＋b≥6或a＋b≤－2，又∵a＞0，b＞0，故a＋b≥6（当且仅当a＝b＝3时取得最小值变式2若教材母题题干条件不变，则a2＋b2的取值范围为[18，＋∞）.解析：由a2＋b2＝（a＋b）2－2ab，ab＝a＋b＋3，则a2＋b2＝（a＋b）2－2（a＋b）－6，又由变式1知a＋b≥6，故令t＝a＋b（t≥6），则a2＋b2＝t2－2t－6.对于二次函数y＝t2－2t－6，其对称轴为直线t＝1，在t≥6时单调递增，且当t＝6时，y＝18，故a2＋b2的取值范围为[18，＋∞）.1.在运用基本不等式时，要特别注意等号成立的条件，尤其是题目中多次使用基本不等式，等号成立的条件必须相同，否则会造成错误.2.尽量对式子进行化简、变形，再利用一次基本不等式求最值.训练1（1）已知0＜x＜1，则1x＋41－x的最小值为（A.2 B.4C.7 D.9解析：（1）由0＜x＜1，得1－x＞0.1x＋41－x＝（1x＋41－x）[x＋（1－x）]＝5＋1－xx＋4x1－x≥5＋21－xx·4（2）设x＞0，y＞0，x＋2y＝5，则（x+1)(2y+1解析：（2）∵x＞0，y＞0，∴xy＞0.∵x＋2y＝5，∴（x+1)(2y+1）xy＝2xy＋x+2y+1xy＝2xy+6xy＝2xy＋6xy（3）〔一题多解〕（2026·江苏南京模拟）已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则xy的最大值为3.解析：（3）法一（换元消元法）9－xy＝x＋3y≥23xy，∴9－xy≥23xy，令xy＝t，∴t＞0，∴9－t2≥23t，即t2＋23t－9≤0，解得0＜t≤3，∴xy≤3，∴xy≤3，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，∴xy的最大值为法二（代入消元法）∵x＝9－3y1+y，∴x·y＝9－3y1+y·y＝9y－3y21+y＝－3（y+1）2+15（y+1）－12y+1＝－3（y＋1）－12y基本不等式的实际应用（师生共研过关）（2026·广西南宁调研）某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用x年的维修总费用为x2＋x27万元，则该设备年平均费用y最少时的年限为A.7 B.8C.9 D.10解析：C该设备年平均费用y＝x2＋x27+0.1x+3x＝x27＋3x＋37270（x∈N*），∵x＞0，则y＝x27＋3x＋37270≥2x27×3x＋37270＝217270，利用基本不等式解决实际问题的策略（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；（2）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围；（3）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.训练2（2025·河南郑州一模）已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为AD，AB上的点，当△AEF的周长为4时，△AEF面积的最大值为12－82.解析：设AE＝x，AF＝y（0＜x≤2，0＜y≤2），则EF＝x2＋y2，因为△AEF的周长为4，所以x＋y＋x2＋y2＝4，因为x＋y＋x2＋y2＝4≥2xy＋2xy，当且仅当x＝y时取等号，故xy≤42+2＝4－22，则xy≤24－162，则△AEF面积满足12（时间：60分钟，满分：96分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]1.不等式（x－2y）＋1x－2y≥2A.x≥2y B.x＞2yC.x≤2y D.x＜2y解析：B因为不等式成立的前提条件是x－2y和1x－2y均为正数，所以x－2y＞0，即x＞2y2.若a，b都是正数，则1+ba1+4A.5B.7 C.9D.13解析：C因为a，b都是正数，所以（1＋ba）（1＋4ab）＝5＋ba＋4ab≥5＋2ba·4ab＝93.已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝2，则xy（）A.有最大值为1 B.有最小值为1C.有最大值为12 D.有最小值为解析：C因为x＞0，y＞0，x＋2y＝2，所以x＋2y≥2x·2y，即2≥22xy，xy≤12，当且仅当x=2y，x+2y=2，即x＝1，y4.要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（）A.80元 B.120元C.160元 D.240元解析：C由题意知，体积V＝4m3，高h＝1m，所以底面积S＝4m2，设底面矩形的一条边长是xm，则另一条边长是4xm，又设总造价是y元，则y＝20×4＋10×（2x＋8x）≥80＋202x·8x＝160，当且仅当2x＝8x5.已知a，b为正数，4a2＋b2＝7，则a1+b2的最大值为（A.7 B.3C.22 D.2解析：D因为4a2＋b2＝7，则a1+b2＝12×2a×1+b2＝124a2（1+b2）≤12×4a26.〔多选〕已知a＞0，b＞0，则下列命题正确的是（）A.若ab≤1，则1a＋1bB.若a＋b＝4，则1a＋9bC.若a2＋b2＝4，则ab的最大值为2D.函数y＝a＋1a+1解析：ABC因为0＜ab≤1，所以1ab≥1，所以1a＋1b≥21ab≥2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故A正确；若a＋b＝4，则1a＋9b＝14（a＋b）（1a＋9b）＝14（ba＋9ab＋10）≥14（2ba×9ab＋10）＝4，当且仅当a＝1，b＝3时，等号成立，故B正确；若a2＋b2＝4，则ab≤a2＋b22＝2，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，故C正确；由于a＞0，所以y＝a＋1a+1＝a＋1＋1a+1－1≥1，当且仅当a7.函数f（x）＝x+3x+1的最小值为2解析：函数f（x）＝x+3x+1的定义域为（－1，＋∞），f（x）＝（x+1）+2x+1＝x+1＋2x+1≥2x+1·2x+1＝22，当且仅当x+1＝2x+1，8.〔一题多解〕已知5x2y2＋y4＝1（x，y∈R），则x2＋y2的最小值是45解析：法一∵5x2y2＋y4＝1，∴y≠0且x2＝1－y45y2，∴x2＋y2＝1－y45y2＋y2＝15y2＋4y25≥215y2·4y25＝4法二由5x2y2＋y4＝1，可得y2（5x2＋y2）＝1，即4y2（5x2＋y2）＝4，又4＝4y2（5x2＋y2）≤［4y2＋（5x2＋y2）2］2＝254（x2＋y2）2，∴（x2＋y2）2≥1625，即x2＋y2≥45，当且仅当5x2＋y2＝4y2＝2，即x2＝39.（13分）已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：（1）xy的最小值；（2）x＋y的最小值.解：（1）由x＞0，y＞0，2x＋8y－xy＝0，得8x＋2y＝则1＝8x＋2y≥28x·2y＝8当且仅当8x＋2y=1，8x＝2y，即x＝16且（2）由x＞0，y＞0，2x＋8y－xy＝0，得8x＋2y＝则x＋y＝8x＋2y（＝10＋2xy＋8yx≥10＋2当且仅当2xy＝8yx，8x＋2y=1，即x＝12且10.（2026·江苏连云港模拟）设a＞0，b＞－1，且a＋b＝1，则1a＋1b+1的最小值为A.1 B.2C.4 D.8解析：B因为a＞0，b＞－1，则b＋1＞0，因为a＋b＝1，则a＋（b＋1）＝2，所以1a＋1b+1＝12[a＋（b＋1）]（1a＋1b+1）＝12（2＋ab+1＋b+1a）≥12（2＋2ab+1·b+1a）＝2，当且仅当b11.已知x＞2，且x－y－2＝0，则x24＋2xy＋4A.2 B.3C.4 D.9解析：D由题意得x＝y＋2＞2，所以y＞0，又因为x24＋2xy＋4y2＝（x2＋2y）2，x2＋2y＝y+22＋2y＝y2＋2y＋1≥2y2·2y＋1＝3（当且仅当y＝12.〔一题多解〕〔多选〕已知ab＝14且a，b∈（0，1），则（A.a2＋b2≥12 B.b＋49aC.1a＋1b≥4 D.a2＋b解析：ACDa2＋b2≥2ab＝12，当且仅当a＝b＝12时，等号成立，A正确；由ab＝14，得b＝14a，所以b＋49a＝14a＋4a9≥214a·4a9＝23，当且仅当14a＝4a9，即a＝34，b＝13时等号成立，B错误；法一1a＋1b＝a＋bab＝4（a＋b）≥8ab＝4，当且仅当a＝b＝12时，等号成立.法二1a＋1b≥21ab＝4，当且仅当a＝b＝12时，等号成立，C正确；由ab＝14，得b＝14a，所以a2＋b＝a2＋14a，令f（a）＝a2＋14a.因为ab＝14且a，b∈（0，1），所以14＜a＜1，则f'（a）＝2a－14a2＝8a3－14a2，令f'（a）＝0，得a＝12，当14＜a＜12时，f'（a）＜0；当12＜a＜1时，f'（a）＞0，所以函数f（a）在13.〔一题多解〕已知实数x，y满足xy＞0，则xx＋y＋2yx+2y的最大值为解析：法一（整体换元，化繁为简）设xx＋y＝k，2yx+2y＝m⇒ky＝（1－k）x，（2－2m）y＝mx⇒km＝2－2k－2m＋2mk（0＜k＜1，0＜m＜1），所以k＝2－2m2－m，则原式＝k＋m＝2－2m2－m＋m法二（局部换元，化难为易）设x＋y＝s，x+2y＝t⇒x=2s－t，y＝t－s（s，t同号），原式＝2s－ts＋2t－2s法三（化归函数，导数求解）令a＝yx（a＞0），原式＝11+yx＋22+xy＝