重难专攻6　函数与导数中的创新交汇问题

1/1重难专攻6函数与导数中的创新交汇问题函数与导数中的创新交汇问题正逐渐成为高考命题的热点，其题型灵活，可以单独考查函数与导数知识，也可以与其他知识交汇命题，试题新颖，对学生知识迁移能力、逻辑思维能力和运算求解能力要求较高.函数、导数与其他知识的交汇问题（师生共研过关）（2025·全国Ⅰ卷19题节选）（1）求函数f（x）＝5cosx－cos5x在区间［0，π4］的最大值；（2）〔一题多解〕给定θ∈（0，π）和a∈R，证明：存在y∈[a－θ，a＋θ]使得cosy≤cosθ.解：（1）由题得f'（x）＝－5sinx＋5sin5x＝5×2cos5x＋x2sin5x－x2＝10sin由x∈［0，π4］，得sin2x≥0，故x，f'（x），f（x）的关系如表所示x0（0，π6π（π6，πf'（x）0＋0－f（x）4单调递增33单调递减因为f（π6）＝5cosπ6－cos5π6所以函数f（x）＝5cosx－cos5x在区间［0，π4］的最大值为33（2）证明：法一因为余弦函数的周期为2π，所以不妨设a∈（0，2π]，当a≤2θ时，a－θ≤θ，则θ∈[a－θ，a＋θ），此时存在y＝θ，使得cosy＝cosθ；当a＞2θ时，θ＜a－θ≤2π－θ，作出余弦函数的大致图象（如图所示），所以cos（a－θ）≤cosθ，只需要取y＝a－θ，即可得到cosy≤cosθ.综上可得，给定θ∈（0，π）和a∈R，存在y∈[a－θ，a＋θ]使得cosy≤cosθ.法二（反证法）假设cosy＞cosθ对任意y∈[a－θ，a＋θ]恒成立，由cosy＞cosθ得2kπ－θ＜y＜2kπ＋θ，k∈Z，这与a∈R，任意y∈[a－θ，a＋θ]矛盾，所以假设不正确，故一定存在y∈[a－θ，a＋θ]使得cosy≤cosθ.导数与三角函数交汇问题的解法（1）利用三角函数的有界性：在含参数的问题中，往往需要分类讨论，若能有效地利用三角函数的有界性，则能快速找到分类讨论的依据，从而实现问题的求解；（2）利用三角函数的周期性：涉及零点问题时，可根据三角函数的周期性分段来研究.训练1已知函数f（x）＝（1＋x）k－kx－1（k＞1）.（1）若x＞－1，求f（x）的最小值；解：因为f（x）＝（1＋x）k－kx－1（k＞1），则f'（x）＝k[（1＋x）k－1－1].因为k＞1，则k－1＞0，由x＞－1，当－1＜x＜0时，则0＜x＋1＜1，可得f'（x）＝k[（1＋x）k－1－1]＜k（1－1）＝0；当x＞0时，则x＋1＞1，可得f'（x）＝k[（1＋x）k－1－1]＞k（1－1）＝0.所以f（x）在（－1，0）内单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，所以f（x）的最小值为f（0）＝0.（2）设数列{an}的前n项和为Sn，若an＝（1＋12n）n，求证：Sn－n≥2－解：证明：因为an＝（1＋12n）n，若n＝1，则S1＝a1＝1＋12＝32，满足Sn－n≥若n≥2，则由（1）可知f（x）＝（1＋x）k－kx－1≥0，即（1＋x）k≥kx＋1，当且仅当x＝0时，等号成立.令x＝（12）n＞0，k＝n＞1，可得an＝（1＋12n）n＞n2n＋1＝n+12n－1－n+22n＋1，且a1＝32＝2－32＋1，可得Sn＞2－32＋32－422＋422－523＋…综上所述，Sn－n≥2－n+2函数与导数中的新定义问题（师生共研过关）（2026·河南模拟节选）若函数F（x）在开区间I内满足：∃xi∈I（i＝1，2，…，n）（n≥2，n∈N*），y＝F（x）在x＝xi处的切线的斜率均为m（m∈R），则称F（x）为I内的“n－m缘分函数”.（1）判断f（x）＝lnx－x2＋2x是否为（0，＋∞）内的“2－3缘分函数”，并说明理由；解：f（x）＝lnx－x2＋2x为（0，＋∞）内的“2－3缘分函数”当且仅当方程f'（x）＝1x－2x＋2＝3在（0，＋∞）内有两个不同的解而y＝1x，y＝－2x＋2在（0，＋∞）上单调递减，即f'（x）＝1x－2x＋2＝3在（0，＋∞）故方程f'（x）＝1x－2x＋2＝3在（0，＋∞）内最多有一个解从而f（x）＝lnx－x2＋2x不是（0，＋∞）内的“2－3缘分函数”.（2）若g（x）＝－lnx－x2＋ax为（13，1）内的“2－3缘分函数”，求实数a的取值范围解：由题意知g'（x）＝－1x－2x＋a＝3在（13，1）内有两个不同的解，即a＝3＋2x＋1x在（13，设u（x）＝3＋2x＋1x，x∈（13，1），由对勾函数性质可知u（x）＝3＋2x＋1x在（13，22）上单调递减，在（22，1）上单调递增，注意到u（13）＝203，u（1）＝6，u（22）＝3＋22，故实数a的取值范围为对于以函数与导数为背景的新定义问题的求解，要紧扣新定义，分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；同时要用好函数的性质，善于从试题中发现可以使用函数的性质的一些因素.训练2设函数f（x）＝（x2＋ax＋2a）ex，其中a为常数.对于给定的一组有序实数（k，m），若对任意x1，x2∈R，都有[kx1－f（x1）＋m]·[kx2－f（x2）＋m]≥0，则称（k，m）为f（x）的“和谐数组”.（1）若a＝0，判断数组（0，0）是否为f（x）的“和谐数组”，并说明理由；解：当a＝0时，数组（0，0）是f（x）的“和谐数组”，理由如下：当a＝0时，f（x）＝x2ex.根据幂函数、指数函数的性质，对任意x∈R，都有f（x）＝x2ex≥0.对任意x1，x2∈R，代入k＝m＝0，得：[kx1－f（x1）＋m]·[kx2－f（x2）＋m]＝f（x1）·f（x2）≥0.∴当a＝0时，数组（0，0）是f（x）的“和谐数组”.（2）若a＝42，求函数f（x）的极值点.解：当a＝42时，f（x）＝（x2＋42x＋8）ex，∴f'（x）＝[x2＋（2＋42）x＋8＋42]ex＝（x＋22）（x＋2＋22）ex，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表所示：x（－∞，－2－22）－2－22（－2－22，－22）－22（－22，＋∞）f'（x）＋0－0＋f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增∴x＝－2－22为函数f（x）的极大值点，x＝－22为f（x）的极小值点.（时间：60分钟，满分：69分）[备注：单选题5分，多选题6分]1.若称方程f（x）＝x＋1的根为函数f（x）的“＋1点”，则函数f（x）＝12x－1，x≥0，A.－2 B.－4或－2C.－2或1 D.－4解析：A由题意可得，当x≥0时，由12x－1＝x＋1，解得x＝－4（舍去），当x＜0时，由2x＝x＋1，解得x＝－2或x＝1（舍去）.综上所述，函数f（x）的“＋1点”为－2.故选2.（2026·浙江稽阳模拟）下列可以作为方程x3＋y3＝4xy的图象的是（）解析：D当x＜0时，x3＝4xy－y3＝y（4x－y2）＜0，若y＜0，则4x－y2＞0，即y2＜4x＜0，不符合，故x＜0，y＜0不可能同时成立，故A、B、C选项错误.故选D.3.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”如下：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数.例如，[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f（x）＝x2｜x｜+1，若函数y＝[f（x）]的值域为Q，则下列集合不是A.[0，＋∞） B.{0，2}C.{1，2} D.{1，2，3}解析：A当x≥0时，f（x）＝x2x+1＝x－1＋1x+1＝x＋1＋1x+1－2≥21－2＝0，当且仅当x＝0时取等号，此时函数f（x）的值域为[0，＋∞），由题知函数f（x）的定义域为R，f（－x）＝（－x）2｜－x｜+1＝x2｜x｜+1＝f（x），所以f（x）为偶函数，故f（x）的值域为[0，＋∞），则y＝[f（x4.（2026·黑龙江哈尔滨六中模考）定义双曲余弦函数为coshx＝ex＋e－x2，双曲正弦函数为sinhx＝ex－e－x2.设函数f（x）＝sinhxcoshx，若实数a满足不等式f（a2）＋A.（－1，3） B.（－3，1）C.（－∞，－3）∪（1，＋∞） D.（－∞，－1）∪（3，＋∞）解析：B由题意得f（x）＝ex－e－xex＋e－x，且定义域为R，∵f（－x）＝e－x－exe－x＋ex＝－f（x），∴f（x）为奇函数，∵f（x）＝ex－e－xex＋e－x＝e2x－1e2x+1＝1－2e2x+1，且y＝2e2x+1在R上为减函数，∴f（x）＝1－2e2x+1在R上为增函数.∵f（a25.〔多选〕已知定义域为R的函数f（x）满足∀a，b∈R，f（a＋b）＋f（a）f（b）＝9ab，且f（－13）≠0，记an＝f（n），n∈N*，则下列结论正确的是（A.f（0）＝－1 B.f（1）＝2C.{an}为等差数列 D.∑i=120a解析：ABC对于A，令a＝－13，b＝0，则f（－13）＋f（－13）f（0）＝0，又f（－13）≠0，所以1＋f（0）＝0，即f（0）＝－1，故A正确；对于B、C，令a＝13，b＝－13，则f（0）＋f（13）f（－13）＝9×13×（－13）＝－1，由f（0）＝－1，f（－13）≠0，可得f（13）＝0，令b＝13，则f（a＋13）＝3a，f（1）＝2，所以f（a）＝3a－1，an＝f（n）＝3n－1，故B、C正确；对于D，由an＝3n－1，可得∑i=120ai＝6.（13分）（2026·江苏淮阴模拟节选）若函数y＝f（x）对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f（x1）f（x2）＝1成立，则称该函数为“依赖函数”.（1）判断函数g（x）＝sinx是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数f（x）＝2x－1在定义域[m，n]（m＞0）上为“依赖函数”，求mn的取值范围.解：（1）对于函数g（x）＝sinx的定义域R内存在x1＝π6，则g（x2）＝2无解故g（x）＝sinx不是“依赖函数”.（2）因为f（x）＝2x－1在[m，n]上为“依赖函数”且单调递增，故f（m）f（n）＝1，即2m－12n－1＝1，m＋n＝2，由n＞m＞0，故n＝2－m＞m＞0，得0＜m＜1.从而mn＝m（2－m）在m∈（0，1）上单调递增，故mn∈（0，1）.故mn的取值范围为（0，1）.7.（15分）在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，另一个顶点B在函数f（x）＝lnxx（1）当顶点B在x轴上方时，求Rt△OAB以x轴为旋转轴，边AB和边OB旋转一周形成的面所围成的几何体体积的最大值；（2）已知函数g（x）＝eax2－ex＋ax2－1x，关于x的方程f（x）＝g（x）有两个不等实根x1，解：（1）因为顶点B在x轴上方，所以lnxx＞0⇒x＞由题意知AB⊥x轴.设A（x，0），则B（x，lnxx），所得圆锥体体积V＝13·π（lnxx）2·x＝π3·设m（x）＝ln2xx（x＞1），则m'（x）＝2lnx－ln2xx2，由m'（x）＞0⇒2lnx－ln2x＞0⇒因为x＞1，所以2－lnx＞0⇒x＜e2，所以m（x）在（1，e2）上单调递增，在（e2，＋∞）上单调递减，所以m（x）max＝m（e2）＝ln2e从而Vmax＝4π（2）因为f（x）＝g（x），即eax2－ex＋ax2－1＝lnx，即eax2＋ax2＝eln（ex）令u（t）＝et＋t，所以u（ax2）＝u（ln（ex）），因为u（t）＝et＋t为增函数，所以ax2＝ln（ex），即ax2＝lnx＋1，所以方程f（x）＝g（x）有两个不等实根x1，x2等价于a＝lnx+1x2有两个不等实根x1令h（x）＝lnx+1x2，则h'（当x∈（0，1e）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增当x∈（1e，＋∞）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减所以h（x）max＝h（1e）＝12当x→0时，h（x）→－∞；当x→＋∞时，y＝lnx＋1与y＝x2均为增函数，且y＝x2的增长速度更快，故h（x）→0，所以实数a的取值范围为（0，12e）8.（15分）（2026·江苏宿迁模拟）已知函数f（x）＝ex－1－nx，n∈N*（1）证明：f（x）有唯一零点；（2）记f（x）的零点为an，数列{an}中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由.解：（1）证明：当x＜0时，f（x）＞0，所以f（x）在（－∞，0）上无零点，因为f'（x）＝ex－1＋nx2＞0，所以f（x）在（0，＋∞）所以f（x）在（0，＋∞）上至多有一个零点，当n＝1时，f（x）有唯一零点1.当n≥2时，因为f（1）＝1－n＜0，f（n）＝en－1－1≥e－1＞0，所以函数f（x）有唯一零点.（2）由（1）知，ean－1＝nan，两边取自然对数，得an＋lnan＝lnn＋1，①所以an＋1＋lnan＋1＝ln（n＋1）＋1，两式相减，得an＋1－an＋lnan＋1－lnan＝lnn+1n＞所以an＋1＋lnan＋1＞an＋lna