第1节　集合教学课件

1/1第1节集合1.了解集合的含义，了解全集与空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算.知识梳理1.集合的概念（1）集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性；（2）元素与集合的关系有属于、不属于两种，用符号∈，∉表示；（3）集合的表示法：列举法、描述法、图示法；（4）五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示非负整数集（自然数集），Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.提醒：（1）解题时，应注意检查集合的元素是否满足互异性；（2）N为自然数集（即非负整数集），包含0，而N*（N＋）表示正整数集，不包含0.2.集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言图形语言子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素A⊆B（或B⊇A）或表示关系自然语言符号语言图形语言真子集集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉AA⫋B（或B⫌A）集合相等集合A，B中元素相同A＝B空集不含任何元素的集合⌀提醒：（1）A⊆B包含两层含义：A⫋B或A＝B；（2）若A⊆B，要分A＝⌀或A≠⌀两种情况讨论，不要忽略A＝⌀的情况.3.集合的基本运算类别表示并集交集补集图形语言符号语言A∪B＝{x｜x∈A，或x∈B}A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B}∁UA＝{x｜x∈U，且x∉A}1.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.2.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.3.等价关系：A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.诊断自测1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）任何一个集合都至少有两个子集.（×）（2）若1∈{x，x2}，则x＝1或x＝－1.（×）（3）已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，4}，则A∪B＝{0，1}.（×）（4）{x｜y＝x2＋1}＝{y｜y＝x2＋1}＝{（x，y）｜y＝x2＋1}.（×）2.（2025·全国Ⅰ卷2题）已知集合U＝{x｜x是小于9的正整数}，A＝{1，3，5}，则∁UA中元素的个数为（）A.0 B.3C.5 D.8解析：CU＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5}，故∁UA＝{2，4，6，7，8}，故∁UA中有5个元素.故选C.3.（2026·河南郑州模拟）设集合A＝{x｜x2－2＞0}，B＝{1，2，3，4}，则A∩B的子集的个数为（）A.8 B.7C.4 D.3解析：A∵集合A＝{x｜x2－2＞0}＝{x｜x＜－2或x＞2}，B＝{1，2，3，4}，∴A∩B＝{2，3，4}，∴A∩B中元素的个数为3，子集的个数为23＝8.故选A.4.〔多选〕已知集合P＝{x｜x2＝4}，则（）A.2∈P B.P＝{－2，2}C.{⌀}⊆P D.P⫋N解析：ABP＝{x｜x2＝4}＝{－2，2}，故2∈P，故A、B正确；⌀不是P中的元素，故C错误；因为－2∉N，故P⫋N错误，故D错误.5.已知集合A＝{x｜0＜x＜a}，B＝{x｜1＜x≤2}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（2，＋∞）.解析：由图可知a＞2.集合的基本概念（基础自学过关）1.已知集合A＝{x｜2x－a＞0}，且1∉A，2∈A，则（）A.a＞1 B.a≤2C.2＜a≤4 D.2≤a＜4解析：D∵1∉A，∴2×1－a≤0，解得a≥2，又∵2∈A，∴2×2－a＞0，解得a＜4，∴2≤a＜4.故选D.2.（2026·广东佛山模拟）已知集合A＝{x｜x∈Z，且32－x∈Z}，则集合A中的元素个数为A.2 B.3C.4 D.5解析：C因为x∈Z，且32－x∈Z，所以2－x的值有－3，－1，1，3，所以x的值有5，3，1，－1，故集合A中的元素个数为4.3.（2026·浙江宁波模拟）已知集合S＝{y｜y＝x2－1}，T＝{（x，y）｜x＋y＝0}，下列关系正确的是（）A.－2∈S B.（2，－2）∉TC.－1∉S D.（－1，1）∈T解析：D因为S＝{y｜y＝x2－1}＝{y｜y≥－1}，所以A、C错误；因为2＋（－2）＝0，所以（2，－2）∈T，所以B错误；又－1＋1＝0，所以（－1，1）∈T，所以D正确.故选D.4.已知m∈R，n∈R，若集合{m，nm，1}＝{m2，m＋n，0}，则m＋n＝－1解析：因为{m，nm，1}＝{m2，m＋n，0}，m≠0，所以nm=0，m＝m＋n，m2=1，解得n=0，m=1或n=0，m＝－1解决与集合中元素有关问题的关键点集合间的基本关系（师生共研过关）（1）设M＝{x｜x＝k2，k∈Z}，N＝{x｜x＝k＋12，k∈Z}，则（BA.M⫋N B.N⫋MC.M＝N D.M∩N＝⌀解析：（1）对于集合N，因为x＝k＋12＝12（2k＋1），k∈Z，所以集合N是由所有奇数的一半组成，而集合M是由所有整数的一半组成，故N⫋（2）（2025·江苏南京、盐城一模）设集合A＝{x｜x2－4≤0}，B＝{x｜x＋a≤0}.若A⊆B，则实数a的取值范围是（D）A.（－∞，2） B.（－∞，2]C.（－∞，－2） D.（－∞，－2]解析：（2）由x2－4≤0可得A＝[－2，2]，由x＋a≤0可得B＝（－∞，－a]，又A⊆B，用数轴表示其关系如图，所以2≤－a，即a≤－2.变式若本例（2）条件变为集合A＝{x｜－2＜x≤2}，集合B＝{x｜a＋1≤x＜－a}，若B⊆A，则实数a的取值范围为[－2，＋∞）.解析：由B⊆A，当B＝⌀时，a＋1≥－a，则a≥－12；当B≠⌀时，用数轴表示其关系如图，所以a+1<－a，－a≤2，a+1>－2，即a＜－11.空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解.2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.训练1（1）（2023·新高考Ⅱ卷2题）设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝（B）A.2 B.1C.23 D.－解析：（1）由题意，得0∈B.又B＝{1，a－2，2a－2}，所以a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A⊆B，舍去.当2a－2＝0时，a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，满足A⊆B.综上所述，a＝1.故选B.（2）已知集合A＝{x｜x2－3x＋2＝0}，B＝{x｜－1＜x＜5，x∈N}，则满足A⫋C⊆B的集合C的个数为（B）A.8 B.7C.4 D.3解析：（2）A＝{1，2}，B＝{0，1，2，3，4}，因为A⫋C⊆B，所以1，2∈C，所以集合C的个数等于集合{0，3，4}的非空子集个数，故集合C的个数为23－1＝7.集合的基本运算（定向精析突破）考向1集合的运算（1）（2025·全国Ⅱ卷3题）已知集合A＝{－4，0，1，2，8}，B＝{x｜x3＝x}，则A∩B＝（D）A.{0，1，2} B.{1，2，8}C.{2，8} D.{0，1}解析：（1）由题可得B＝{－1，0，1}，所以A∩B＝{0，1}.故选D.（2）（2026·贵州贵阳摸底）已知全集U＝R，集合A＝{x｜－1≤x≤3}，B＝{y｜y＝2x，x∈R}，则图中阴影部分所对应的集合为（A）A.{x｜x＜－1} B.{x｜x≤－1}C.{x｜x≤0或x＞3} D.{x｜0＜x≤3}解析：（2）因为B＝{y｜y＝2x，x∈R}，所以B＝（0，＋∞）.而题图中白色部分表示A∪B＝[－1，＋∞），故阴影部分所对应的集合为∁R（A∪B）＝（－∞，－1）.故选A.集合基本运算的方法技巧考向2利用集合的运算求参数（1）（2026·河南郑州第一次联考）已知集合A＝{x｜2x－a≤0}，B＝{x｜1＜x＜2}.若A∩B＝⌀，则a的取值范围为（D）A.（－∞，1） B.（－∞，1]C.（－∞，2） D.（－∞，2]解析：A＝{x｜2x－a≤0}＝{x｜x≤a2}，因为A∩B＝⌀，所以a2≤1，解得a≤2，所以a的取值范围为（－∞，2].故选（2）设集合A＝{x｜x＜a2}，B＝{x｜x＞a}，若A∩（∁RB）＝A，则实数a的取值范围为（A）A.[0，1] B.[0，1）C.（0，1） D.（－∞，0]∪[1，＋∞）解析：因为B＝{x｜x＞a}，所以∁RB＝{x｜x≤a}，又A∩（∁RB）＝A，所以A⊆（∁RB），又A＝{x｜x＜a2}，所以a2≤a，解得0≤a≤1，即实数a的取值范围为[0，1].利用集合的运算求参数的方法（1）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍；（2）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解.训练2（1）（2026·广东调研考试）设全集U＝M∪N＝{1，2，3，4}，N＝{1，2}，则M∩（∁UN）＝（A）A.{3，4} B.{3}C.{4} D.⌀解析：（1）因为U＝M∪N＝{1，2，3，4}，N＝{1，2}，所以∁UN＝{3，4}，集合M必含有元素3，4，元素1，2可任取或不取，所以M∩（∁UN）＝{3，4}.故选A.（2）已知集合A＝{x｜x2－x－6≤0}，B＝{x｜－4≤x≤a}，且A∪B＝{x｜－4≤x≤3}，则实数a的取值范围是（D）A.（－4，－2] B.（－3，－2]C.[－3，3] D.[－2，3]解析：（2）因为A＝{x｜x2－x－6≤0}＝{x｜－2≤x≤3}，B＝{x｜－4≤x≤a}，且A∪B＝{x｜－4≤x≤3}，画出数轴如图所示，所以－2≤a≤3.故选D.集合的创新问题（师生共研过关）（1）（2026·北京海淀模拟）定义差集A－B＝{x｜x∈A，且x∉B}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－（A－B）用阴影部分表示正确的为（A）解析：如图所示，A－B表示图中阴影部分，故集合C－（A－B）所含元素属于C，但不属于图中阴影部分.故选A.（2）（2025·广西南宁适应性测试）已知集合A＝{2，4，6，8，9}，B＝{1，2，3，4，5，8}，又知集合C是这样一个集合：若集合C的各元素都加上2，它就变成A的一个子集；若集合C的各元素都减去2，它就变成B的一个子集.试写出这样的一个集合C＝{4，7}（答案不唯一）.解析：逆向思维，即A中的元素都减去2得到集合D＝{0，2，4，6，7}，B中的元素都加上2得到集合E＝{3，4，5，6，7，10}.因此集合C是集合D和集合E的公共元素所组成的集合G＝{4，6，7}的非空子集，故这样的集合C有7个，答案不唯一，如C＝{4，7}.解决以集合为背景的创新问题的关键（1）紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程中，这是破解新定义集合问题的关键所在；（2）用好集合的性质：解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质.训练3已知集合A，B与集合A·B的对应关系如下表所示：A{1，2，3，4，5}{－1，0，1}{－4，8}B{2，4，6，8}{－2，－1，0，1}{－4，－2，0，2}A·B{1，3，5，6，8}{－2}{－2，0，2，8}若A＝{－2026，0，2026}，B＝{－2026，0，2027}，试根据表中的规律写出A·B＝{2026，2027}.解析：通过对表中集合关系的分析，可以发现规律：集合A·B表示的是A∪B中的元素再去掉A∩B中的元素，故当A＝{－2026，0，2026}，B＝{－2026，0，2027}时，A·B＝{2026，2027}.容斥原理教材母题：〔人A必修一P15阅读与思考〕学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人.两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？解：法一用集合A表示田径运动会参赛的学生，用集合B表示球类运动会参赛的学生，则A∩B＝{x｜x是两次运动会都参赛的学生}，A∪B＝{x｜x是所有参赛的学生}，card（A∪B）＝card（A）＋card（B）－card（A∩B）＝8＋12－3＝17.故在两次运动会中，这个班共有17名同学参赛.法二由题意画出Venn图，如图所示.故在两次运动会中，这个班共有5＋3＋9＝17名同学参赛.细研教材：在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题，一般地，若有限集合A＝{a1，a2，…，an}，将A中的元素个数记为card（A）＝n，集合B＝{b1，b2，…，bm}，将B中的元素个数记为card（B）＝m，关于集合中的元素个数有如下关系：（1）二元容斥原理：card（A∪B）＝card（A）＋card（B）－card（A∩B）；（2）三元容斥原理：card（A∪B∪C）＝card（A）＋card（B）＋card（C）－card（A∩B）－card（C∩A）－card（B∩C）＋card（A∩B∩C）.〔一题多解〕某年级先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203人，物理179人，化学165人；至少参加两科的：数学、物理143人，数学、化学116人，物理、化学97人；三科都参加的有90人.则参加竞赛的学生总人数是（）A.280 B.281C.282 D.283解析：B法一由题意画出Venn图，如图所示，则参加竞赛的学生总人数是34＋53＋26＋7＋90＋29＋42＝281.法二由题意，设A，B，C分别表示参加数学竞赛、物理竞赛和化学竞赛的学生构成的集合，则card（A）＝203，card（B）＝179，card（C）＝165，card（A∩B）＝143，card（B∩C）＝97，card（A∩C）＝116，card（A∩B∩C）＝90，因此card（A∪B∪C）＝card（A）＋card（B）＋card（C）－card（A∩B）－card（B∩C）－card（A∩C）＋card（A∩B∩C）＝203＋179＋165－143－97－116＋90＝281.所以参加竞赛的学生总人数是281.（时间：45分钟，满分：78分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]1.（2025·八省联考）已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，4}，则A∩B＝（）A.{0} B.{1}C.{0，1} D.{－1，0，1，4}解析：C由题意可得A∩B＝{0，1}.故选C.2.（2026·山西大同模拟）设集合A＝{x｜－1＜x≤4}，B＝{x｜x2＜4}，则A∪B＝（）A.{x｜－2＜x≤2} B.{x｜－2＜x≤4}C.{x｜－2≤x＜2} D.{x｜－2≤x＜4}解析：B由题意得B＝{x｜－2＜x＜2}，画出数轴如图所示，故A∪B＝{x｜－2＜x≤4}.3.（2025·河南郑州模拟）已知全集U＝{x｜－1＜x＜5}，集合A满足∁UA＝{x｜0≤x＜3}，则（）A.0∈A B.1∉AC.2∈A D.3∉A解析：B由题意得A＝{x｜－1＜x＜0或3≤x＜5}，所以0，1，2∉A，3∈A.故选B.4.设集合A＝{－1，0，1}，B＝{y｜y＝｜x｜，x∈A}，则下列选项中正确的是（）A.B⫋A B.A＝BC.A∩B＝A D.A∪B＝B解析：A由B＝{y｜y＝｜x｜，x∈A}，得B＝{0，1}，故B⫋A，A∩B＝B，A∪B＝A.故选A.5.（2026·豫西北教研联盟第一次质检）已知集合A＝{x｜1＜x≤6}，B＝{x｜a＋2≤x＜2a}，若B⊆A，则实数a的取值范围为（）A.（2，3] B.（1，3]C.（－∞，3] D.[2，3）解析：C当B＝⌀时，a＋2≥2a，得a≤2；当B≠⌀时，画出数轴如图所示，由B⊆A，得a+2<2a，2a≤6，a+2>1，解得2＜6.（2026·山东齐鲁名校大联考模拟）已知全集U＝R，集合A＝{x｜log2x≤2}，B＝{x｜1＜x＜5}，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{x｜x≤5} B.{x｜0＜x≤1}C.{x｜x≤4} D.{x｜1＜x≤5}解析：B易知题图中阴影部分表示的集合为（∁UB）∩A，因为log2x≤2＝log24，所以A＝{x｜0＜x≤4}，因为B＝{x｜1＜x＜5}，所以∁UB＝{x｜x≤1或x≥5}，所以（∁UB）∩A＝{x｜0＜x≤1}.故选B.7.〔多选〕已知集合A＝{x｜（x－1）（x－2）≤0}，B＝{x｜1＜x≤3}，则下列判断正确的是（）A.（∁RA）∩B＝BB.（∁RB）∪A＝RC.A∩B是{x｜1＜x＜3}的真子集D.（∁RB）∪（∁RA）＝{x｜x≤1或x＞2}解析：CD由（x－2）（x－1）≤0，解得1≤x≤2，所以A＝{x｜1≤x≤2}，∁RA＝{x｜x＜1或x＞2}.由B＝{x｜1＜x≤3}，∁RB＝{x｜x≤1或x＞3}，所以（∁RA）∩B＝{x｜2＜x≤3}≠B，故A错误；（∁RB）∪A＝{x｜x≤2或x＞3}，故B错误；又A∩B＝{x｜1＜x≤2}，所以A∩B是{x｜1＜x＜3}的真子集，故C正确；（∁RB）∪（∁RA）＝{x｜x≤1或x＞2}，故D正确.8.设集合A＝{x｜1≤x≤3}，集合B＝{x｜y＝x－1}，若A⫋C⫋B，写出一个符合条件的集合C＝{x｜1≤x≤4}（答案不唯一）解析：A＝{x｜1≤x≤3}，B＝{x｜x≥1}，故若A⫋C⫋B，则可有C＝{x｜1≤x≤4}.9.（2025·山东潍坊一模）已知集合A＝{0，1，a＋2}，B＝{1，a2}，若A∪B＝A，则实数a＝0或2.解析：因为A∪B＝A，所以B⊆A.根据集合中元素的互异性，可知a2≠1⇒a≠1且a≠－1.若a2＝0⇒a＝0，此时A＝{0，1，2}，B＝{0，1}，满足B⊆A；若a2＝a＋2⇒a2－a－2＝0⇒（a－2）（a＋1）＝0⇒a＝2或a＝－1（舍去），此时A＝{0，1，4}，B＝{1，4}，满足B⊆A.综上a＝0或2.10.（2026·山东聊城模拟）已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{z｜z＝x＋y＋1，x∈A，y∈A}，则集合B的真子集个数为（）A.8 B.16C.31 D.63解析：C由题，z＝－1－1＋1＝－1；z＝－1＋0＋1＝0；z＝－1＋1＋1＝1；z＝0－1＋1＝0；z＝0＋0＋1＝1；z＝0＋1＋1＝2；z＝1－1＋1＝1；z＝1＋0＋1＝2；z＝1＋1＋1＝3.故B＝{－1，0，1，2，3}，其真子集的个数为25－1＝31.故选C.11.（2025·辽宁省部分重点中学协作体考试）图中阴影部分用集合符号可以表示为（）A.B∩（A∪C） B.B∩（A∩C）C.B∩∁U（A∪C） D.（A∪B）∩（B∪C）解析：A在阴影部分区域内任取一个元素x，则x∈A∩B或x∈B∩C，故阴影部分所表示的集合为B∩（A∪C）或者（A∩B）∪（B∩C）.故A正确.12.〔多选〕（2025·重庆一模）已知I为全集，集合M，N⊆I，若M⊆N，则（）A.M∪N＝N B.M∩N＝NC.（∁IM）⊆（∁IN） D.（∁IN）∩M＝⌀解析：AD因为M⊆N，则M∪N＝N，M∩N＝M，则A正确，B错误；又I为全集，集合M，N⊆I，则（∁IM）⊇（∁