6 扭曲风险度量

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风险度量孟生旺扭曲风险度量（DistortionRiskMeasures）目录CONTENTS02扭曲风险度量的特点01扭曲算子（扭曲函数）04扭曲函数与风险态度的关系03扭曲风险度量举例：PH，Wang扭曲风险度量扭曲函数是定义在区间[0，1]上的递增凹（concave）函数，即假设X是一个非负损失随机变量。对X的风险度量为：g(.)被称作扭曲函数（distortionfunction）注：仍是一个生存函数（下页）

是定义在区间[0,∞)的生存函数：记生存函数对应的随机变量为X*

解释：对密度函数进行加权变换，对右尾赋予较大权重对扭曲风险度量的解释：对尾部赋予更大权重X*

的密度函数权重扭曲风险度量与均值的比较

令：u=F(x)注：对超越概率进行扭曲=对损失分位数进行加权例：x=seq(0.01,10,0.001)a=2f1=1/a*exp(-x/a)f2=1/(2*a)*exp(-x/(2*a))plot(x,f1,pch='',ylab='密度函数',main='对参数为2的指数分布进行扭曲,扭曲算子为g(t)=t^0.5')lines(x,f1,col=1)lines(x,f2,col=2)text(3.5,0.4,expression(指数分布的密度函数:f(x)==frac(1,theta)*e^(-x/theta)),col=1)text(6.5,0.15,expression(扭曲后的密度函数:tilde(f)(x)==frac(1,2*theta)*e^(-x/(2*theta))),col=2)s1=exp(-x/a)s2=s1^0.5plot(x,s1,pch='',ylab='生存函数',main='对参数为2的指数分布进行扭曲,扭曲算子为g(t)=t^0.5')lines(x,s1,col=1)lines(x,s2,col=2)text(2.5,0.2,expression(指数分布的生存函数:S(x)==e^{x/theta}),col=1)text(6,0.6,expression(扭曲后的生存函数:g(S(x))==e^{x/(2*theta)}),col=2)扭曲风险度量的特例1：PH风险度量PH（ProportionalHazard）：比例危险率变换

假设新的危险率为（r≥1）则相应的生存函数为基于PH变换的风险度量为

PH的扭曲算子为：g(t)=t1/r

，r≥1（ProportionalHazard）r称作风险厌恶指数:PH风险度量值是r

的增函数.<0<0

经PH变换以后的生存函数，尾部增大。PH扭曲变换后的生存函数r=1r=2r=3例：参数为(a,b)的Pareto分布生存函数期望值PH变换：

是参数为(a/r,b)的Pareto分布

PH风险度量例：损失服从指数分布，均值为10。当

r=50时，计算PH风险度量值。PH风险度量值##方法一s1=function(x)(1-pexp(x,rate=1/10))^(1/50)

integrate(s1,0,Inf)$value##[1]263.5##方法二s2=function(x)exp(-x/500)

integrate(s2,0,Inf)$value##[1]500提醒：数值计算问题扭曲风险度量的特例2：Dual-Power风险度量

扭曲风险度量的特例3：Wang风险度量令F(x)为标准正态分布的分布函数，密度函数为王变换的扭曲算子：其中k取实数。在度量保险风险时，取，a为事先选定的置信水平。王变换在k=1.645和k=2.326时的扭曲算子，分别对应α

=95％和α=99％。注：k

或

α

的取值越大，扭曲程度越大。k=0时，α=0.5，g(t)=t，无扭曲

王变换的一个重要性质：

例：将王变换应用于对数正态分布(m,s)，可以得到对数正态分布(m+ks,s)，风险度量值为exp(m+ks+0.5s2)解：对数正态分布的生存函数正态分布的对称性：Pr（Z<-a）=Pr(Z>a)上式是参数为(m+ks,s)的对数正态分布的生存函数。实施王变换以后的生存函数为Wang风险度量的拓展Wang：t-Wang：t-t：扭曲函数的比较选择哪种扭曲函数，体现了管理者如何看待和加权不同区域的风险，例如：如果你认为“超过阈值的损失都一样糟糕”，用TVaR。如果你认为“损失越极端，其单位增量带来的边际忧虑越大”，用PH变换。如果你基于“金融市场为风险所要求的价格”来定价风险，用Wang变换。VaR的哲学是“我只想知道最坏的情况会不会发生，至于多坏，我先不管”。扭曲函数与风险态度的关系扭曲函数的本质是对概率分布的“重加权”：通过调整不同分位数对应的概率权重，反映决策者对“损失概率”的敏感度。不同的扭曲函数，对应的风险偏好截然不同，如：风险厌恶，风险偏好，逆S型

正参数：风险厌恶型负参数：风险追求型例：Wang变换的正负参数比较3.逆S型扭曲函数（InverseS-ShapedDistortion）逆S型扭曲函数是先凹后凸的分段函数，其核心是“高估小概率极端事件、低估中等概率事件”，符合前景理论（ProspectTheory）中决策者的“非线性概